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Analysis » Grenzwerte » Rechtsseitiger Grenzwert beschränkter Funktion
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Universität/Hochschule Rechtsseitiger Grenzwert beschränkter Funktion
cauchy31415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-26


Ich habe folgenden Beweis zu tätigen, jedoch ist es mir bisher nicht gelungen auch nur einen Ansatz zu finden.

Voraussetzung: Sei \( g : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) beschränkt. D.h. \( \exists C > 0\) mit \( |g(x)| < C, \forall x \in [0,1].\)
Behauptung: Für die Funktion \( f(x) = x \cdot g(x) \) gilt \( \lim_{x \searrow 0} f(x) = 0 = f(0) \).

Ich habe überlegt, dass \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium zu verwenden, jedoch weiß ich nicht wie man das in diesem Fall machen könnte.
Folgt der Beweis wohlmöglich aus der Addition/Multiplikation oder Hintereinanderausführung von Funktion bzw. Grenzwerten?
Außerdem Frage ich mich, was der Sinn hinter der zu beweisenden Aussage ist.
Da wir ja nur den rechtsseitigen Grenzwert betrachten können wir ja nicht darauf schließen, dass \(f\) im Punkt \(x_0 = 0\) stetig ist (oder doch?).

Ich danke ihnen im Voraus für die Hilfe.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26

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Hallo cauchy$\pi$,

zunächst mal wegen der Stetigkeit: Doch, auf die Stetigkeit können wir hier schließen, denn der beidseitige Grenzwert muss nur dann existieren, wenn man sich dem Punkt überhaupt von beiden Seiten nähern kann. Ganz allgemein geht es um den Grenzwert (unabhängig von irgendwelchen Seiten). Lediglich auf inneren Punkten einer offenen Teilmengen von $\R$ stellt sich heraus, dass die Existenz des allgemeinen Grenzwerts äquivalent zur Existenz und Gleichheit des links- und rechtsseitigen Grenzwertes ist. Hier handelt es sich aber um einen Randpunkt des Definitionsbereiches, man braucht also den (in diesem Fall) linksseitigen Grenzwert nicht.

Zur eigentlichen Aufgabe: Das $\varepsilon-\delta$-Kriterium geht hier schon in Ordnung. Verwende dabei $\vert xg(x)\vert=\vert x\vert\vert g(x)\vert$ und benutze dann die vorgegebene Abschätzung von $g(x)$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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cauchy31415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-26


Hallo  Vercassivelaunos.

Vielen Dank für ihre schnelle Antwort.
Danke für die Erklärung. Das Problem ist mir jetzt um Einiges klarer.
Ich habe das \( \varepsilon-\delta-\)Kriterium für rechtsseitige Stetigkeit in \( x_0 \) verwendet mit der Wahl von \( \varepsilon \) beliebig und \( \delta := \frac{\varepsilon}{C} \). Das hat (hoffe ich) funktioniert. 🙂  

Viele Grüße,
cauchy31415



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