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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Eigenschaften symmetrischer Matrizen
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Universität/Hochschule Eigenschaften symmetrischer Matrizen
jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-26


Kann mir jemand helfen, einen Ansatz zur (ii) und (iii) zu finden? Ich glaube, man kann (iii) aus der (ii) schlussfolgern, nur ich bin mir nicht sicher und finde auch leider keinen Ansatz.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-26

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

bei Teil (ii) fehlt die Voraussetzung, dass $A$ positiv semidefinit sein muss.

Du musst zeigen, dass $r\geq \rg A$ und $r\leq \rg A$.
Für ersteres solltest du dir überlegen, welchen Rang die Matrix $vv^t$ für einen Vektor $v\in \IR^n$ hat.
Für letzteres benutze, dass symmetrische Matrizen orthogonal diagonalisierbar sind, es also eine Orthonormalbasis von $\IR^n$ aus Eigenvektoren von $A$ gibt.
\(\endgroup\)


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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Also bei (ii) der Rang der einzelnen Matrizen 1, weil alle Spalten und Zeilen linear abhängig sind. Ist die Idee dahinter, dass wenn man die Matrizen addiert, wie Zeilen/Spalten nicht mehr linear abhängig sind? Ich müsste mir noch überlegen, wie man das richtig beweisen kann.

Zu (iii) überleg ich das mir danach.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-27


Die Idee ist,dass der Rang einer Summe höchstens so groß ist wie die Summe der Ränge.



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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


um zu zeigen, dass r >= Rang A habe ich mir überlegt, den Rangsatz zu nutzen, nur ich weiß gerade nicht, ob das der richtige Ansatz ist



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Benutze die Formel $\rg(X+Y)\leq \rg X + \rg Y$ (siehe z.B. hier.)
\(\endgroup\)


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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


daraus folgt doch aber, dass Rang(A) =< r, oder? Weil das habe ich schon, aber ich muss zeigen, dass Rang (A) = r ist, also fehlt mir r =< Rang A



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ja, dann hast du dich aber in No.4 verschrieben. Edit: Ich kann nicht lesen, du hast recht.

Für $r\leq \rg A$ kannst du benutzen, dass wenn $b_1,\ldots, b_n$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $A$ ist, mit zugehörigen Eigenwerten $\lambda_k$, dann gilt $A= \sum_{k=1}^n\lambda_k b_kb_k^t$. (Warum gilt das?)

Beachte außerdem, dass wie gesagt in Teil (ii) in der Angabe die Voraussetzung fehlt, dass $A$ positiv semidefinit ist. Was sagt das über die Eigenwerte von $A$ aus?

\(\endgroup\)


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jaz1905
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


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