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Analysis » Grenzwerte » Grenzwert n → ∞ ermitteln
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Schule J Grenzwert n → ∞ ermitteln
minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Hallo!

\(\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ n\left( 1-\sqrt [ 5 ]{ 1-\frac { 1 }{ n }  }  \right)  } = \frac { 1 }{ 5 }\)

Ich sehe leider nicht, wie dieser Grenzwert entsteht. Logarithmieren, e-Funktion? Hätte jemand freundlicherweise einen Tipp für mich? (Wenn’s geht, noch nicht gleich den Rechenweg.)

Danke ! und viele Grüße,

minusphalbe



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-27


Hallo,

Versuche L’Hospital, wobei die Klammer der Zähler ist.

Beste Grüße
Creasy


-----------------
Smile (:



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

der Weg von Creasy ist natürlich naheliegend und vorzuziehen. Dennoch: auch in diesem Fall gibt es den Erweiterungstrick (analog zum dritten Binom bei Quadratwurzeln):

\[\ba n\cdot\left(1-\sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}\right)&=n\cdot\frac{\left(1-\sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}\right)\left(\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^4}+\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^3}+\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}+\sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}+1\right)}{\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^4}+\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^3}+\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}+\sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}+1}\\
\\
&=n\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^4}+\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^3}+\sqrt[5]{\left(1-\frac{1}{n}\right)^2}+\sqrt[5]{1-\frac{1}{n}}+1}\\
\ea\]
Das ist zwar eine enorme Schreibarbeit, man sieht aber den Grenzwert hier sofort (und das angewendete Prinzip lässt sich ja durchaus auch rein gedanklich durchführen...).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Grenzwerte' in Forum 'Grenzwerte' von Diophant]
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Hallo Creasy!

Danke für deinen Tipp!

Die Regel von L’Hospital kenne ich noch nicht, habe sie mir eben angeschaut (= grob überflogen) und es scheint ein starkes, wenn nicht das starke Werkzeug in Fällen wie dem meinen zu sein. Aber dafür brauch ich noch etwas mehr Zeit, um das zu verstehen, auch das mit dem „die Klammer ist der Zähler“.


Hallo Diophant!

Auch dir vielen Dank. Und es tut mir schrecklich leid, daß die Erklärung meiner ‚kleinen‘ Aufgabe mit dieser „enormen Schreibarbeit“ für dich verbunden war, das konnte ja niemand ahnen ;-)

Obwohl, du hast das vermutlich sofort gesehen. Was mich zu meiner nächsten Frage führt, die ich mal versuche selbst zu beantworten:

Ist das, was du gemacht hast, die Erweiterung meines Terms zu einer Teleskopsumme?
Und wenn ja, konntest du das sehen, weil mein Term die Form (1 - XXX) hat, was allgemein ein Hinweis auf die Anwendung von Teleskopsummen sei kann?!

Viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo minusphalbe,

meinst du mit Teleskopsumme dieses Prinzip:

\[\left(1-x^n\right)=\left(1-x\right)\left(1+x+x^2+\dotsc+x^{n-1}\right)\]
Dann: ja, dieses Prinzip habe ich angewendet, um der "\(\infty\cdot 0\)-Problematik" zu entkommen. Denn im Zähler bekommst du so letztendlich eine 1 und die Summanden im Nenner streben auch alle gegen 1.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27


Huhu minusphalbe,

ein anderer Zugang: Substituiere \(\frac{1}{n}=:k\). Dein Grenzwert geht über in:

\(\displaystyle \lim_\limits{k\to 0} \frac{-\sqrt[5]{1-k}+1}{k} \)

Kannst du damit schon was anfangen? Wenn nicht gibt es noch Tipp 2:


Setze \(k=-h\) und schreibe etwas um:

\(\displaystyle \lim_\limits{h\to 0} \frac{-\sqrt[5]{1+h}+1}{-h}=-\lim_\limits{h\to 0} \frac{-\sqrt[5]{1+h}-\left(-\sqrt[5]{1}\right)}{h} \)



Gruß,

Küstenkind



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Hallo Kuestenkind!

Danke dir für deine beiden Tipps.

Ich kann gerade noch erkennen, daß mir diese Umformungen etwas zeigen sollen - das war's dann aber auch schon. Ich weiß leider nicht, was du meinst.

Aber trotzdem danke vielmals!

Viele Grüße,

minusphalbe




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

nicht so schnell aufgeben. Kommt dir der Term im Limes in Kuestenkind's Tipp nicht irgendwie seltsam vertraut vor (es wurde sogar extra als 'Zaunpfahl' die Variable \(h\) verwendet... 😉)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Nein, ich geb' nicht so schnell auf :)

k -> 0 und im 2. Tipp h - das sieht schon ziemlich nach Differentialquotienten aus. Aber ich kann den noch nicht so sicher umformen in die gewünschte Lösung, zumindest nicht so schnell.

(Ich möchte immer gerne gleich eine Rückmeldung für eure Bemühungen geben, brauche aber für manche Schritte etwas länger.)

Also, bis später, würde ich sagen, und nochmals:

vielen Dank für eure großen Bemühungen ! ! !

Viele Grüße,

minusphalbe




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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-27


Huhu,

wenigstens einer hat die Variablenwahl verstanden!

Wenn es immer noch nicht klingelt kannst du auch das Minus vor dem Limes wieder reinziehen und die \(1\) erstmal durch ein \(x\) ersetzen:

\(\displaystyle-\lim_\limits{h\to 0} \frac{-\sqrt[5]{x+h}-\left(-\sqrt[5]{x}\right)}{h}=\lim_\limits{h\to 0} \frac{\sqrt[5]{x+h}-\sqrt[5]{x}}{h}\)

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Hallo!

Und bitte um Entschuldigung, konnte leider eine Zeit lang nicht online gehen.

Doch, der Zaunpfahl (und die Beule) war groß genug ;-) wie gesagt. Aber um deinen Tipp, Kuestenkind, als Differentialquotienten zuordnen zu können, fehlte mir etwas im Zähler mit dem ich hätte 'rumrechnen' können, damit am Ende 1/5 'ausgespuckt' würde. So kannte ich das bislang, wenn man z.B. eine bestimmte Ableitung beweisen wollte.

Ich habe mal Wolframalpha befragt und dort hat man mir dann das gegeben, was mir gefehlt hat:

\(\frac { { \left( 1-h \right)  }^{ \frac { 1 }{ 5 }  }-{ 1 }^{ \frac { 1 }{ 5 }  } }{ h } =\frac { \sqrt [ 5 ]{ 1 } -\frac { 1 }{ 5 } h{ \left( \frac { 1 }{ 1 }  \right)  }^{ \frac { 4 }{ 5 }  }-\frac { 2 }{ 25 } { h }^{ 2 }{ \left( \frac { 1 }{ 1 }  \right)  }^{ \frac { 9 }{ 5 }  }-\frac { 6 }{ 125 } { h }^{ 3 }{ \left( \frac { 1 }{ 1 }  \right)  }^{ \frac { 14 }{ 5 }  }+O\left( { \left( \frac { 1 }{ 1 }  \right)  }^{ 3 } \right) -\sqrt [ 5 ]{ 1 }  }{ h } =\frac { 1 }{ 5 } \)

Aber da wäre ich selbst leider nie drauf gekommen und ich weiß auch gar nicht, was das ist, so eine 'Puiseux series'.

Aber vielleicht bin ich ja auch immer noch falsch oder zu kompliziert oder beides.

Viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-27


Hallo minusphalbe,

wenn du das mit dem Differenzenquotienten erkannt hast, dann kannst den fraglichen Term doch einfach mit Hilfe der bekannten Regeln ableiten und an der fraglichen Stelle auswerten.

Das ist der Witz an der Sache. 🙂


Gruß, Diophant



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minusphalbe
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Hallo Kuestenkind, hallo Diophant!

Der Lerneffekt eurer Bemühungen ist auf jeden Fall gegeben, würde ich sagen. :-)

Ausgangspunkt war ja meine Suche nach einem Grenzwert. Der Differenzen(!)quotient ist ja die Ermittlung eines Grenzwertes (kann doch so sagen, oder?!). Aber diesen Zusammenhang oder den Sinn dahinter - für diesen „Wald standen einfach zu viele Bäume rum“, so könnte man vielleicht sagen.

Jetzt weiß ich beim nächsten Mal, daß der Grenzwert

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \left( 2+x \right) -\sin { \left( 2 \right)  }  }  }{ x }  }\)

ungefähr -0,42 ist ;-)

Krass bleibt aber, wie ihr auf diese beiden Ansätze (Differenzenquotient und ‚Teleskopsumme‘ gekommen seid - das will ich unbedingt können!

Nochmals vielen Dank und

viele Grüße,

minusphalbe



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Huhu minusphalbe,

2020-05-28 12:19 - minusphalbe in Beitrag No. 12 schreibt:
Der Differenzen(!)quotient ist ja die Ermittlung eines Grenzwertes (kann doch so sagen, oder?!).

das stimmt nicht wirklich. Der Differenzenquotient ist einfach die durchschnittliche Änderungsrate (Sekantensteigung). Dort wird kein Grenzwert gebildet. Erst durch Grenzwertbildung wird der Differenzenquotient zum Differentialquotienten und gibt dann die momentane Änderungsrate (Tangentensteigung) an.

2020-05-28 12:19 - minusphalbe in Beitrag No. 12 schreibt:
Jetzt weiß ich beim nächsten Mal, daß der Grenzwert

\(\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sin { \left( 2+x \right) -\sin { \left( 2 \right)  }  }  }{ x }  }\)

ungefähr -0,42 ist ;-)

Für diese Erkenntnis hat sich der Aufwand dann wohl doch gelohnt. "Besser spät als nie!" trifft es anscheinend ganz gut.

Gruß,

Küstenkind

PS: Falls du nochmal üben möchtest, wäre dieser Grenzwert ja vll noch was dich: \(\lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+x} - 3x)\)



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Hallo Kuestenkind!

Deine neue Aufgabe hatte ich erst später entdeckt. (Eben: besser spät als nie, haha!)


Ich find’s wirklich super(!) wie du/ihr mir hier helft!!!


So richtig?:

\(\sqrt { 9{ x }^{ 2 }+x } -3x=\frac { x }{ \sqrt { 9{ x }^{ 2 }+x } +3x } =\frac { 1 }{ \sqrt { 9+\frac { 1 }{ x }  } +3 }\)

Und deshalb:

\(\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 9+\frac { 1 }{ x }  } +3 }  } =\frac { 1 }{ 6 }\)


Viele Grüße,

minusphalbe



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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

es ist alles richtig. Vor allem ist aber damit insbesondere

\[\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{9x^2+x}-3x\right)=\frac{1}{6}\]
gezeigt. Das war ja der Sinn der Übung. 🙂


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Huhu,

und nur als Alternative wieder: \(x=\frac{1}{h}\):

\(\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+x} - 3x)=\lim\limits_{h \to 0} \left(\sqrt{9\left(\frac{1}{h}\right)^2+\frac{1}{h}} - \frac{3}{h}\right)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h}\)

Und damit kannst du nun hoffentlich auch wieder was anfangen.

Gruß und schöne Pfingsten (auch an Diophant),

Küstenkind




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minusphalbe
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Hallo Kuestenkind!

Ja damit kann ich jetzt etwas anfangen (dank dir) aber es war noch zu neu (deswegen meine Zuflucht zum 3. Binom).

Dir auch schöne Pfingsten und

viele Grüße

minusphalbe



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