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Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Gesamtheit algebraischer Erweiterungen ist keine Menge?
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Universität/Hochschule J Gesamtheit algebraischer Erweiterungen ist keine Menge?
LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Hey,

wieso ist die Gesamtheit aller algebraischen Erweiterungen eines Körpers K im Allgemeinen keine Menge?

Grüße
Lukas


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-27


Hallo LukasNiessen,

2020-05-27 11:23 - LukasNiessen im Themenstart schreibt:
wieso ist die Gesamtheit aller algebraischen Erweiterungen eines Körpers K im Allgemeinen keine Menge?

Schlicht, weil es zu viele davon gibt.

Nimm etwa Q. Dann kannst du jedes beliebige Element x, das nicht in Q liegt hinzufügen und definieren x² = -1. Die so erhaltenen Körper sind zwar alle isomorph, aber alle paarweise verschieden.



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-27


Hallo,
wer sagt das denn?
Es gibt glaube ich zu jedem Körper einen
algebraischen Abschluss, und da müssten
ja alle Zwischenkörper mit drin sein...

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-27


2020-05-27 11:50 - ollie3 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,
wer sagt das denn?
Es gibt glaube ich zu jedem Körper einen
algebraischen Abschluss, und da müssten
ja alle Zwischenkörper mit drin sein...

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Es gibt sehr viele algebraische Abschlüsse ;) Isomorphie ist nicht Gleichheit.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Wie kann das sein, das es zu viele Elemente gibt, damit es eine Menge ist?
Kann eine Menge nicht beliebig viele Elemente haben?

Und kann eine Menge nicht verschiedene isomorphe Elemente enthalten, inwiefern ist das ein Problem?


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Beste Grüße, Lukas Nießen
PS: Schreibt mir gerne :-)



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27


Kennst du Russells Paradox? Falls nicht, solltest du das mal nachschlagen.


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LukasNiessen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Ja, ich kenne das Paradoxon. Jedoch sehe ich hier bis auf den Fakt, dass beides anscheinend keine Mengen sind, keine weiteren Analogien.

Es erscheint mir natürlich auch etwas seltsam, dass man hier im Grunde genommen zu jeder beliebigen algebraischen Körpererweiterung unendlich viele völlig willkürliche (isomorphe) weitere Elemente der "Menge" findet.
Aber führt dies tatsächlich bereits dazu, dass dies keine Menge mehr ist?

Wäre beispielsweise die Vereinigung aller (isomorphen) Mengen der natürlichen Zahlen keine Menge mehr?

Und ggf.: Wie könnte man das auf Grundlage von ZFC beweisen? Oder eine grobe Beweisskizze/-idee falls es umfangreicher ist.


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Beste Grüße, Lukas Nießen
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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-27


2020-05-27 16:01 - LukasNiessen in Beitrag No. 4 schreibt:
Wie kann das sein, das es zu viele Elemente gibt, damit es eine Menge ist?
Kann eine Menge nicht beliebig viele Elemente haben?

Eine Menge ist immer gleichmächtig zu einer sog. Karndinalzahl. Für die Allklasse (in der sich alle Mengen befinden) trifft das nicht zu, obwohl die Allklasse beliebig viele Elemente enthält. Und tatsächlich ist die Allklasse keine Menge. Es gibt also keine Menge aller Mengen - was eben auch zu Paradoxien führen würde.

Und so weit ist man von allen möglichen algebraischen Körpererweiterungen eines Körpers zur Allklasse nicht entfernt. Das exakt zu formulieren bedürfte noch einiger technischer Details.



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