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Mathematik » Notationen, Zeichen, Begriffe » Verständnis von Tensoren und Tensorenverjüngung.
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Universität/Hochschule Verständnis von Tensoren und Tensorenverjüngung.
psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Wir lernen gerade die Tensoren kennen und haben als erstes Beispiel $a \equiv x_1^2+x_2^2$ gesehen, welches ein Tensor ist, da es die Verjüngung des Tensorprodukts $\{x_i\}$ mit sich selbst ist, wobei $\{x_i\}$ ein Tensor erster Stufe in zwei Dimensionen ist. In der Vorlesung habe ich die Verjüngung als Spur einer Matrix kennengelernt, bedeutet dann in diesem Fall Spur einfach das Skalarprodukt der Vektoren "selbst"? Oder kann ich $\{x_i\}$ als eine $2 \times 2$ Matrix verstehen und somit zeigen, dass $b \equiv x_1+x_2$ ein Tensor ist, da er die Spur von $\{x_i\}$ ist? Wie sonst würde ich die Tensoreigenschaft von $b$ zeigen? Vielen Dank für eure Hilfe oder ein paar erklärende Worte.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-27


Hallo!

Ich wage mich mal so weit vor, zu behaupten, dass Tensoren erster Stufe nicht einfach verjüngt werden können.

Eine Tensorverjüngung ist eine lineare Abbildung, die aus einem (i,j)-Tensor (also i-fach ko- und j-fach kontravariant, ein Tensor i+j-ter Stufe) einen (i-1,j-1)-Tensor macht.
Ein (i,j)-Tensor ist z.B. eine multilineare Abbildung, die i Vektoren aus einem Vektorraum V und j Kovektoren aus dem Dualraum $V^*$ ein Element aus dem V zugrunde liegenden Körper, also z.B. eine Zahl, zuordnet. "Visuell" ist das wie eine kleine Maschine mit Steckern (sprich Vektoren, die in einzelne Steckdosen gesteckt werden können) und Steckdosen (in die einzelne Stecker von außen gesteckt werden können): sobald alle Stecker und Steckdosen des Gerätes verbunden sind (also alle (Ko-)vektoren gegeben wurden), zeigt sie dir eine Zahl an.
Verjüngung ist in diesem Bilde, du einen Stecker der Maschine selbst in eine der Dosen steckst. Dann hast du eine Maschine mit je einem Stecker und einer Dose weniger. Wenn sie nur einen Stecker und eine Dose hatte, dann sind alle Ein/Ausgänge belegt und sie zeigt dir eine Zahl an: die Spur der Matrix, die diese Maschine repräsentiert.
Jede Matrix (bzw. die dazugehörige lineare Abbildung) ist nämlich isomorph zu einer Summe von Tensorprodukten $\sum\limits_{ij}a_{ij}\theta^i\otimes e_j$, mit $\theta^i\in V^*$ und $e_j\in V$. Die duale Paarung $V^*\times V\to K$ induziert dir damit die Abbildung der Verjüngung.
Ein Vektor ist ein (0,1)-Tensor. Für den kann man die obige Prozedur nicht ohne Weiteres anwenden (in welches Loch soll man den Stecker stecken?).
Dafür jetzt einfach die Norm (oder ein Skalarprodukt) des Vektors mit sich selbst zu definieren, halte ich für ad hoc, denn Tensoren (und die Verjüngung selbiger) sind eigentlich unabhängig von Normen und Skalarprodukten definiert.

p.s. Natürlich kannst du durch "Indexziehen" z.B. auch aus einem (0,2)-Tensor einen (1,1)-Tensor machen, den du dann verjüngen kannst. Das setzt dann aber eine Metrik voraus. Aus einem (0,1) einen (1,0)-Tensor zu machen, hilft hier aber auch nicht.



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Ersteinmal danke für die gedankliche Stütze, die hilft mir, nachdem ich ko- und kontravariant nachgelesen habe (wurde nicht in der Vorlesung eingeführt) schonmal weiter. Aber wie würdest du denn dann den Beweis für mein Beispiel $b$ machen?



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-27


Was ist denn überhaupt deine Aufgabe?
Zu zeigen, das b ein Tensor ist? Dafür wirst du keine Spur/Tensorverjüngung brauchen. Das hängt eher davon ab, wie ihr Tensoren in der Vorlesung definiert habt.



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Wir haben sie über ihr Transformationsverhalten eingeführt, also über$$\kappa = \kappa^{\prime}$$ für die 0. Stufe, $$u_i^{\prime} = L_{ij}u_j$$ für die 1. Stufe und $$\theta_{ij}^{\prime}= L_{ik}L_{jl}\theta$$ für die 2. Stufe. Die Aufgabe ist nun für viele unterschiedliche Größen zu untersuchen, ob sie Tensoren sind. Als Hinweis ist gegeben, dass Größen Tensoren sind, wenn sie sich aus dem Tensorprodukt zweier Tensoren ergeben oder eben aus der Verjüngung, was mich verwirrt hat. Für die Größe $a = 42$ habe ich einfach einen Tensor 0. Stufe definiert, also $\eta = 42$ und ihn mit $1$ multipliziert, was mir aber auch schon komisch vorkam... Und für die Größe $$b \equiv x_1+x_2$$ ist dann meine Frage über die Verjüngung entstanden. Verjüngung wurde bei uns eben nur als Summation über zwei Indizes und die Spur definiert.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-27


Es ist ein bekannter Treppenwitz, dass in vielen Physik- und Ingenieursvorlesungen Tensoren als das definiert werden, was wie ein Tensor transformiert. Dass so eine Definition Blödsinn ist, versteht sich von selbst, sie wird aber leider immer noch munter propagiert (und stiftet über ganze Generationen nur Verwirrung).

Ich würde argumentieren, dass $x_1$ und $x_2$ ja Vektoren sind und entsprechend der Transformationsvorschrift gehorchen. Dann tut das aber auch ihre Summe (durch die Linearität der Trafo), ist also wiederum ein Tensor.



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psyphy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Danke für den Hinweis. Aber kann ich wirklich einfach sagen, dass $x_1$ und $x_2$ Vektoren und nicht Vektorkomponenten sind? Und wie sieht es dann mit $$c \equiv x_1y_1 +x_2y_2$$ aus? Das soll nämlich denke ich ein Gegenbeispiel, also kein Tensor sein.



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Tirpitz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-27


Ach das sollen Vektorkomponenten sein? Entschuldige bitte, ich bin mit deiner Notation noch nicht ganz vertraut gewesen.

Aber ich fürchte, ich kann dir da nicht weiterhelfen, denn schon das Eingangsbeispiel "a ist ein Tensor, weil es dir Spur eines (1,1)-Tensors ist" und nicht einfach nur, weil es ein Skalar ist, ist von hinten durch die Brust ins Auge argumentiert und für mich nicht nachvollziehbar. Genau so gut ist für jeden Vektor x auch $x_1+x_2$ ein Skalar und damit trivial ein Tensor. Selbiges gilt auch für dein Gegenbeispiel. Damit die Aufgabe spannend wird, muss schon wenigstens mal ein einziger Index an der Größe stehen, die man untersuchen soll.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-28


2020-05-27 23:44 - Tirpitz in Beitrag No. 7 schreibt:
Genau so gut ist für jeden Vektor x auch $x_1+x_2$ ein Skalar und damit trivial ein Tensor.

Zwar ist ein Skalar immer eine Zahl, aber nicht jede Zahl ist ein Skalar (im Sinne eines Tensors 0. Stufe).

Und genauso wie eine einzelne Komponente eines Vektors kein Skalar in diesem Sinne ist, ist es auch die Summe $x_1+x_2$ nicht.

2020-05-27 21:31 - Tirpitz in Beitrag No. 5 schreibt:
Es ist ein bekannter Treppenwitz, dass in vielen Physik- und Ingenieursvorlesungen Tensoren als das definiert werden, was wie ein Tensor transformiert. Dass so eine Definition Blödsinn ist, versteht sich von selbst

Nein, das versteht sich nicht von selbst, denn genau diese Form der Definition lässt sich in der Differentialgeometrie sauber formulieren.



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