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Funktionentheorie » Integration » Berechnung eines Reihengrenzwerts durch komplexe Integration
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Universität/Hochschule Berechnung eines Reihengrenzwerts durch komplexe Integration
Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-27


Hallo, ich habe leider ein Problem mit einer Aufgabe zur Berechnung einer Reihe.

In this exercise we consider the cotangent function $\text{cot(z)}=\frac{\cos(z)}{\sin(z)}$.

a) Show that $\text{cot}$ has simple poles at all integer multiples of $\pi$ and is defined on all other points $\mathbb{C} \setminus \pi \mathbb{Z}$.

b) For fixed $z_0 \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$ consider the function

$$ f(z)=\frac{\pi \text{cot}( \pi z)}{z_0-z}.
$$ Calcute the residues of $f$ at all of its singularities.
(Hint: Use  $\underset{z=z_0}{ \text{res}} \ f(z)=\lim_{z \to z_0} (z-z_0) f(z)$).

c) Show that $ \lim_{N \to \infty} \oint_{|z|=N+\frac{1}{2}} f(z)dz=0$.
(Hint: Consider the integral $\oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} z^{-1} \pi \text{cot}(\pi z) dz$.)

d) Use your results to calculate, for $z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}$,

$$ \lim_{N \to \infty} \sum_{n=-N}^{N} \frac{1}{z-n}.
$$
e) (Bonus) Use the methods from the problems above to give a proof that

$$ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}.
$$
Ich habe das Problem mit c) and d). Ich betrachte die Integrale

$$ \oint_{|z|=N+\frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}( \pi z)}{z_0-z} dz \tag{1} \\
$$
$$ \oint_{|z|=N+\frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}( \pi z)}{z} dz \tag{2}.
$$
Aus b) weiß ich wie die Residuen von $f$ aussehen

$$ \underset{z=z_0}{\text{res}}f(z)=- \pi \text{cot}(\pi z_0).
$$
$$ \underset{z=k}{\text{res}}f(z)=\frac{1}{z_0-k}, \ \ k \in \mathbb{Z}.  
$$
Insbesondere gilt:

$$ \frac{\pi \text{cot}( \pi z)}{z}=\frac{z_0-z}{z} f(z) $$
und

$$ \oint_{|z|=N+\frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}( \pi z)}{z_0-z} dz-\oint_{|z|=N+\frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}( \pi z)}{z} dz
=\oint_{|z|=N+\frac{1}{2}} \frac{2z-z_0}{z} f(z)dz.$$
Ich weiß auch, dass die Integranden von (1) und (2) eine Übereinstimmung in ihrer Polstellenmenge (nämlich die ganzen Zahlen) haben. Nun sehe ich aber nicht, was als nächstes passieren soll. Da ich die Residuen von $f$ bereits kenne, vermute ich, dass es auf eine Anwendung des Residuensatzes hinauslaufen wird. Aber da sehe ich nicht wie das Integral aus dem Hinweis dazu passt. Ebenso habe ich eine Schwierigkeit bei d), weil ich noch nicht sehe, wie die dargestellte Reihe mit den vorherigen Resultaten zusammengeht.  Das einzige was ich sehe, ist dass die Reihe als Polstellen die ganzen Zahlen hat, welche ja auch zu den Polstellen der zuvor betrachteten Funktionen zählen.  

\Edit: Ergebnis für die Residuen auf der reellen Achse korrigiert.



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-27

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Mandacus,

mir ist ein kleiner Fehler bei dir aufgefallen. In (a) zeigst du, dass bei der Funktion Polstelln bei allen gannzzahligen Vielfachen von $\pi$ auftreten.
In (b) untersucht man jedoch eine leicht modifizierte Funktion, und diese hat, bedingt durch die Modifikation, die Polstellen bei allen ganzen Zahlen, also $z_p = 0, \pm 1,\pm2,\pm3,\ldots$
Dadurch ändern sich auch deine Residuen, das solltest du nochmal überprfen.

Viele Grüße
OS


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If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
\(\endgroup\)


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-27


Ja ich hatte einen Fehler gemacht. Die Residuen lauten richtig

$$ \underset{z=z_0}{\text{res}}f(z)=- \pi \text{cot}(\pi z_0).
$$
$$ \underset{z=k}{\text{res}}f(z)=\frac{\pi}{z_0-k}. \ \ k \in \mathbb{Z}.  
$$
Leider sehe ich immer noch nicht wie ich weiter vorgehen kann.



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-28

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Mandacus,

Bei den Residuen auf der reellen Achse hast du immernoch einen Fehler, da sollte kein Faktor $\pi$ mehr vorkommen.

Mich wundert noch, dass es überhaupt möglich ist, die Summe dieser Reihe zu berechnen. Konvergiert sie überhaupt? Sie sieht doch so ähnlich aus wie die harmonische Reihe. Müsste für die Konvergenz der Reihe $\sum_n a_n$ nicht gelten $\lim_{n\to\infty}|a_n|<\frac{1}{|z|^k}$ mit $k>1$ ?

Das sollte sich mal ein Mathematiker anschauen.

Viele Grße
OS



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Die Reihe komvergiert außerhalb von \( \IZ\), weil man immer zwei Glieder \( \D\frac{1}{z-n}+\frac{1}{z+n}=\frac{2z}{z^2-n^2}\) zusammenfassen kann, und das verhält sich wie \(\D \frac{1}{n^2}\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-28

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Danke Wally.

So langsam verstehe ich die Aufgabe. Die Idee fußt auf der allgemeinen Beobachtung dass die Funktion
$$ g(z) = f(z) \pi \cot(\pi z)
$$ einfache Singularitäten an den Stellen z=n besitzt, wobei die Funktion  $f(z)$ Singularitäten haben darf, bloß nicht bei $z=n$. Die Residuen an den Stellen $z=n$ sind gerade $\text{Res}(g(z),z=n) = f(n)$ wie du mehr oder weniger am Spezialfall $f(z) = \frac{1}{z_0-z}$ gezeigt hast.

Der Residuensatz über die gegebene Kontur (ein Kreis mit Radius $R_N=N+1/2$) sagt demnach
$$ \oint_C g(z)\, dz = 2\pi i \left(\sum_{n=-N}^N f(n) + \sum_k \text{Res}(g(z),z=z_k) \right)
$$ wobei die zweite Summe über die Stellen $z_k$ läuft, an denen $f(z)$ Singularitäten besitzt.  

Ziel der Aufgabe ist es nun zu beweisen, dass das Integral auf der linken Seite verschwindet im Grenzfall $N\rightarrow\infty$, denn dann kann die unendliche Summe auf der der rechten Seite leicht durch Umstellen der Gleichung berechnet werden, also durch eine Summe über die endliche Anzahl der Singularitäten von $f(z)$ ausgedrückt werden.  

Vielleicht hilft dir das erstmal um die Idee hinter der Aufgabe zu verstehen.

Viele Grüße
OS


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Mandacus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-28


Ich habe noch ein wenig über c) nachgedacht. Bisher konnte ich folgendes zeigen.

Wir betrachten die Funktion $h(z)=\frac{\pi \text{cot}(\pi z)}{z}$. Die Singularitäten von $h$ sind genau die ganzen Zahlen. Ich kann zeigen

$$ \underset{z=0}{\text{res}} \ h(z)=0 \\
\underset{z=k}{\text{res}} \ h(z)=\frac{1}{k}, k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}.
$$
Mithife des Residuensatzes folgt

$$ \oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} h(z) dz
= 2 \pi i \left( \underset{z=0}{\text{res}} \ h(z) + \sum_{ \substack{k=-N \\ k \neq 0}}^{N} \frac{1}{k} \right)
=0. \\
\oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}(\pi z)}{z_0-z} dz
= 2 \pi i \left(- \pi \text{cot} (\pi z_0) + \sum_{k=-N}^{N} \frac{1}{z_0-k} \right).
$$
Wenn ich jetzt z.B. zeigen könnte

$$ \left| \oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}(\pi z)}{z_0-z} dz \right|
\leq \left| \oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} h(z)dz \right| \tag{*}
$$
wäre ich fertig, denn dann würde die zu zeigende Aussage sofort folgen und ich könnte mithilfe von Orangenschales Anmerkungen leicht d) lösen. Mein Probblem ist aber, dass ich nicht sehe, wie ich eine Abschätzung der Form (*) zeigen könnte und mir auch nichts anderes einfällt wie ich das Integral aus dem Hinweis einsetzen kann.  



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-28


Hallo

2020-05-28 20:37 - Mandacus in Beitrag No. 6 schreibt:
Wenn ich jetzt z.B. zeigen könnte

$$ \left| \oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} \frac{\pi \text{cot}(\pi z)}{z_0-z} dz \right|
\leq \left| \oint_{|z|=N+ \frac{1}{2}} h(z)dz \right| \tag{*}
$$
wäre ich fertig, denn dann würde die zu zeigende Aussage sofort folgen und ich könnte mithilfe von Orangenschales Anmerkungen leicht d) lösen. Mein Probblem ist aber, dass ich nicht sehe, wie ich eine Abschätzung der Form (*) zeigen könnte und mir auch nichts anderes einfällt wie ich das Integral aus dem Hinweis einsetzen kann.  

Die Abschätzung (*) gilt (für $z_0\not\in\mathbb Z$) gar nicht :(

Es muss anders gehen. Leider weiß ich auch nicht wie.



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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-08

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo an alle,

diese Aufgabe hat mich in den letzten Tagen irgendwie beschäftigt und ich habe mich nochmal rangesetzt, um eine Lösung zu finden.

Das Problem kann darauf reduziert werden, dass zur erfolgreichen Anwendung des Residuensatzes zur Berechnung der gegebenen unendlichen Summe das Verschwinden des Integrals
$$ \lim_{N\to\infty}\oint_{C_N} f(z) \pi\cot(\pi z)dz = 0
$$ zu zeigen ist. Dabei ist $C_N$ ein Kreis mit Radius $R=N+1/2$ in der komplexen Ebene, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden soll.

Nach reichlich Onlinerecherche bin ich immer nur auf die folgende, vergleichsweise leicht zu zeigende Abschätzung, gekommen:
Für Funktionen $f(z)$ mit $|f(z)| \leq \frac{|M|}{|z|^k}$ mit $k>1$ (!!!) und einer Konstanten $M\in\mathbb C$ findet man
$$ \lim_{N\to\infty}\oint_{C_N} |f(z) \pi\cot(\pi z)|dz = 0\,.
$$ wobei die Kontur in diesem Fall ein Quadrat mit halber Kantenlänge $R=N+1/2$ ist-
Nun ist aber das Problem, dass gerade für die in der Aufgabe gegebene Funktion $f(z)=\frac{1}{z_0-z}$ die Voraussetzung $k>1$ nicht erfüllt wird, da für $|z|>2|z_0|$ gilt $|f(z)|=\frac{1}{|z_0-z|}<\frac{1}{|z|-|z_0|} < \frac{1}{|z|-\frac12|z|} = \frac{2}{|z|} $. Demnach findet man also gerade den Fall $k=1$, der von der allgemeinen Abschätzung ausgeschlossen wird.

Ich habe dann versucht mit dem Tipp in der Aufgabe zu arbeiten, also sich die Funktion $\frac 1 z \pi\cot(\pi z)$ auf der gegebenen Kontur anzusehen. Stellt man das zu berechnende Integral über $C_N$ dar, so fällt sofort auf, dass das Integral symmetriebedingt identisch verschwindet, und zwar für alle $N\in\mathbb N_0$.  

Also um nochmal kurz zusammenzufassen, welche Schritte man vermutlich gehen müsste:

Beweisskizze
1) Beweise, dass $\oint_{|z|=N+\frac12} \frac{1}{z} \pi \cot(\pi z)\,dz=0$ für alle $N$ aus Symmetriegründen. Dieser Schritt ist fast trivial.  
2) Beweise, dass $\oint_{|z|=N+\frac 12}f(z)\pi\cot(\pi z)\, dz\rightarrow 0$ für $N\rightarrow\infty$ für Funktionen $f(z)$ mit  $|f(z)|\leq\frac{|M|}{|z|^k}$ für $M\in\mathbb C$ und $k>1$. Dieser Schritt ist nicht so leicht, aber machbar. Allerdings bietet sich hier die eingangs erwähnte Quadratkontur an.
3) Jetzt kommt der leichte Teil. Schreibe das gegeben Integral minimal um, um die bisherigen Ergebnisse nutzen zu können:
$$ \oint_{|z|=N+\frac12} \frac{1}{z_0-z} \pi \cot(\pi z)\,dz
= \oint_{|z|=N+\frac12} -\frac 1 z \left(1-\frac{z_0}{z_0-z}\right) \pi \cot(\pi z)\,dz\,.
$$ Wir können demnach das Integral als Summe von zwei Integralen darstellen. Das erste verschwindet wegen 1), das zweite Integral hat genau die Eigenschaft, die in 2) vorausgesetzt wurde mit $k=2$ und verschwindet im Grenzwert $N\rightarrow\infty$.

Damit steht der Anwendung des Residuensatzes zur Berechnung der unendlichen Summe nichts mehr im Wege.

Vielleicht sieht jemand noch eine einfachere Lösung, das wäre natürlich praktisch. 🙂


Viele Grüße
OS


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