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Strukturen und Algebra » Polynome » Irreduzibilität in Q[T]
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Universität/Hochschule J Irreduzibilität in Q[T]
munu
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 21.01.2015
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-28


Guten Tag ich lerne gerade auf eine Algebra Klausur
und komme bei einer Aufgabe nicht weiter
ich will die Irreduzibilität  von f(T)=\(T^4-T^2-3T-2\) in \(\mathbb{Q}\)[T] zeigen.
Eisenstein kann ich nicht anwenden. Jetzt hab ich gedacht ich wende das Reduktionskriterium an. Dazu hab ich mir folgendes überlegt
in \(\mathbb{F}_2\) hat f die Nullstelle a=0
über \(\mathbb{F}_3\) zerfällt das Polynom \(f(T)=T^4+2T^2+1\) in \((T^2+1)(T^2+1)\)
über \(\mathbb{F}_5\) hat f wieder eine Nullstelle
und jetzt weiß ich nicht weiter
stimmen die Überlegungen so weit?
Hat mir jemand einen Tip?



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Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2168
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

du könntest zuerst prüfen, dass $f$ keine Nullstelle in $\IQ$ hat.
Danach kannst du dann mit dem Ansatz $f(T)=(T^2+aT\pm 2)(T^2+bT\mp 1), a,b\in \IZ$ arbeiten. Wenn du dir zuerst den Koeffizenten von $T^3$ ansiehst, kannst du eine Variable gleich wieder beseitigen.

Nicht besonders elegant, aber gerade in einer Klausur dürfte man mit diesem Ansatz schnell ans Ziel kommen, wenn man keinen anderen Trick findet.
\(\endgroup\)


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munu
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 54
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-28


Das war jetzt fast so einfach dass es gradezu wieder elegant ist. Aber alleine saß ich da und hab's nicht gesehen. Vielen Dank



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munu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
munu hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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