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Lineare Algebra » Eigenwerte » Kommutierende Linearabbildungen
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Universität/Hochschule J Kommutierende Linearabbildungen
MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-29


Schönen guten Morgen :-)
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:
Sei V ein $\mathbb{C}-$Vektorraum mit $dim(V)=n$ und $f:V \rightarrow V$ eine Linearabbildung mit Minimalpolynom $m_f(x)$. Wir betrachten den Untervektorraum $W \subset End(V)$ definiert durch:
$$ W= \big\{g \in End(V) \; \big|\; \; gf=fg  \big\} $$ Ich soll nun Aussage über dim(W) treffen.
 
a)
 Einer von den Fällen ist der folgende: $ \; n=3$ und $m_f(x) = (x-1)(x-2)$ ges: dim(W)
Meine Überlegungen sind die folgenden:
  I) Es gibt 4 mögliche Jordan-Normalformen für f, weil 2 Eigenwerte und n=3 (dh für einen der beiden Eigenwerte haben wir ein Jordan-kästchen der Größe 1 und für den anderen 2 Kästchen der Größe oder 1 Kästchen der Größe 2 - also 2 Möglichkeiten und das für beide Eigenwert, also 4 verschiedene Jordan-Formen). Doch das bringt mir erst mal nichts, oder?
  II) Weil $f= gfg^{-1}$ ist $\chi_f=\chi_{gfg^{-1}}$ und das wird vom Minimalpolynom geteilt. Doch auch das bringt mir erst mal nichts...

b)
Danach ist allgemein zu zeigen, dass $dim(W) \geq n$, aber das würde ich erst mal gerne selbst versuchen, wenn ich durch Aufgabe a) ein Gefühl für das Problem bekommen habe.

Vielen Dank im Voraus!

LG MaxIMP2415



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-29


2020-05-29 09:33 - MaxIMP2415 im Themenstart schreibt:
oder 1 Kästchen der Größe 2

Das kann nicht sein, weil dann das Minimalpolynom einen quadratischen Faktor enthalten müsste.

Also hat $f$ ein Jordan-Kästchen der Größe 1 zu einem der beiden Eigenwerte und zwei Kästchen der Größe 1 zum anderen.

$g$ muss die Eigenräume zu den beiden Eigenwerte invariant lassen. Diese haben, wie wir eben gesehen haben, die Dimensionen 1 und 2. Also wirkt $g$ auf diesen Eigenräumen einmal als $1\times1$- und einmal als $2\times2$-Matrix.

Das Abzählen der Dimensionen sollte dann kein Problem mehr darstellen.

--zippy



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-01


Danke für Deine schnelle Antwort und sorry für meine späte Antwort.
Könntest du vllt sagen, was du mit "wirkt als $1 \times 1$ Matrix" bzw als "$2 \times 2$ Matrix" genau meinst?

LG



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-01


2020-06-01 21:37 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 2 schreibt:
Könntest du vllt sagen, was du mit "wirkt als $1 \times 1$ Matrix" bzw als "$2 \times 2$ Matrix" genau meinst?

Du schreibst $g$ in einer Basis hin, in der $f$ JNF hat (hier also diagonal ist). Dann ist $g$ blockdiagonal mit einem $1 \times 1$- und einem $2 \times 2$-Block, wobei die Basisvektoren dieser Blöcke die beiden Eigenräume von $f$ aufspannen.



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Wieso muss g die Eigenräume Invariant lassen? Ich habe probiert damit zu argumentieren, dass Multiplikation von Links wie Zeilenoperationen wirken und von rechts wie Spaltenoperationen und daher nur das gleiche rauskommen kann, wenn die g die gleiche Blockdiagonalstruktur wie f hat.
Aber ich habe das Gefühl, dass ich nicht wirklich verstanden habe, was du meinst. Du bist ja garnicht auf die "Kommutatuvität" eingegangen.
Wäre sehr nett, wenn Du das nochmal erläutern könntest.
Ich denke der entscheidende Punkt ist, dass ich noch nicht verstanden habe, wann zwei Matritzen kommutieren.
LG



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-02


2020-06-02 06:35 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wieso muss g die Eigenräume Invariant lassen?

Wenn $v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ von $f$ ist, dann ist$$ f\bigl(g(v)\bigr)=
g\bigl(f(v)\bigr)=
g\bigl(\lambda\,v\bigr)=
\lambda\,g(v) \;.
$$Also ist $g(v)$ ein Eigenvektor zum selben Eigenwert $\lambda$, muss also im selben Eigenraum liegen.

Alternativ kannst du auch einfach die Gleichung $fg=gf$ in einer JNF-Basis von $f$ hinschreiben. Dieser Weg lässt sich auch sofort auf den Aufgabenteil b) anwenden.



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MaxIMP2415
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Ich habe es nun verstanden.
Vielen Dank für Deine Hilfe!



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MaxIMP2415 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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