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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Robinsons Arithmetik - gelten diese Gesetze?
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Universität/Hochschule J Robinsons Arithmetik - gelten diese Gesetze?
Pwin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-29


Hallo, wir haben die Theorie Q definiert durch folgende Axiome:

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Wir sollen nun eine Reihe von Rechenregeln dahingehend überprüfen, ob sie in Q beweisbar sind oder nicht. Einige folgen leicht aus den Axiomen, für die Nichtbeweisbarkeit habe ich bis jetzt immer ein Nonstandardmodell von  N gewählt mit zwei zusätzlichen Elementen a und b. Der Graph der Nachfolgerfunktion s und die Rechenregeln sind auf folgendem Bild:




Die meisten Rechenregeln habe ich hinbekommen, gescheitert bin ich aber daran, ob die Ordnung <= stets reflexiv, transitiv und total ist,
also

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Leider sind die Operationen i.A. weder assoziativ noch kommutativ.

Wäre sehr dankbar für einen Hinweis (informelle Argumente reichen).





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Pwin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-29


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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-05-30


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Pwin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


Danke für die Antwort, ja sollte x+0=x heißen, aber wie folgt daraus (1)? Es muss ja ein z geben, sodass z+x=x, und i.A. gilt nicht 0+x=x (siehe Nonstandardmodell).



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StefanVogel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-30


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Pwin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Danke, aber das stimmt nicht, du müsstest das ja für jedes z zeigen, hast es aber nur für z = 0 gezeigt. Weil 0+x=x in Q eben nicht gilt, sondern nur x+0=x, ist die Reflexivität auch nicht erfüllt (man kann das Nonstandardmodell modifizieren und ein Gegenbeispiel finden). LG



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