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Mathematik » Topologie » Einheitskreislinie ohne die Null nicht zusammenhängend, warum?
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Universität/Hochschule J Einheitskreislinie ohne die Null nicht zusammenhängend, warum?
Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-29


Hallo,

ich soll untersuchen, ob die Menge $\partial(K_1(0)\setminus\{0\}) = \{x \in \mathbb{R}^2\; | \; \|x\| = 1\}$ bezüglich des $\mathbb{R}^2$ zusammenhängend ist. In der Lösung steht:

Diese Randmenge ist nicht zusammenhängend, da ihre äußere Komponente $\{x \in \mathbb{R}^2 \; | \; \|x\| = 1\}$ offenbar von der inneren $\{x \in \mathbb{R}^2 \; | \; x = 0\}$ durch eine relativ-offene Zerlegung separiert werden kann.


Mir ist diese Lösung irgendwie überhaupt nicht klar; was ist mit "äußerer" und "innerer" Komponente gemeint?

Grüße, Shurian



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-29


Hallo Shurian,

es ist doch \(\partial(K_1(0)\setminus\{0\})=\{x\in\mathbb{R}^2\,|\,\|x\|=1\}\cup\{0\}\), Du hast die \(0\) vergessen.

Die Mengen \(\{x\in\mathbb{R}^2\,|\,\|x\|=1\}\) und \(\{0\}\) sind offene Teilmengen von \(\{x\in\mathbb{R}^2\,|\,\|x\|=1\}\cup\{0\}\) (Relativtopologie).

"Äußere" und "innere" Komponente sind hier nicht streng mathematisch, sondern nur anschaulich zu verstehen (Skizze hilft).



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Shurian
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-29


Vielen Dank für die Erklärung sonnenschein :)!



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