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Universität/Hochschule J Widerspruch vs. Kontraposition
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-29


Hallo zusammen😄,

Ich möchte den Unterschied zwischen einem Beweis per Widerspruch oder Kontraposition noch ein bisschen genauer verstehen und dabei sind mir einige Fragen aufgetaucht. Ich werde diese hier kurz auflisten:

(1): Einen Beweis per Kontraposition kann man ausschliesslich verwenden, um eine Implikation zu zeigen oder?
Dabei nutzt man ja die Äquivalenz der beiden Aussagen $A\Rightarrow B$ und $\neg A\Rightarrow \neg B$ aus. Somit müssen wir für den Beweis eine Aussage A und eine Aussage B haben, die per Implikation miteinander verknüpft sind oder?

(2): Wenn wir eine Implikation über einen Widerspruchsbeweis zeigen möchten, könnten wir doch $\neg (A\Rightarrow B)$ annehmen, was wiederum äquivalent zu $A \land \neg B$ ist, und daraus einen Widerspruch herleiten oder?

Für die Frage (2) hätte ich zudem noch eine Beispielaufgabe:

Sei $I$ ein Intervall und $f\colon I\rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige, injektive Abbildung. Zeigen Sie, dass f streng monoton ist.

Wäre es für diese Aufgabe also zulässig, anzunehmen, dass f eine stetige, injektive Funktion ist, welche zudem nicht streng monoton ist und daraus einen Widerspruch zu formen?

Vielen Dank jetzt schon für eure Antworten😃



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Pwin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-29


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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


2020-05-29 19:11 - Pwin in Beitrag No. 1 schreibt:
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Stimmt, da hast du natürlich absolut Recht. Dann habe ich das mit der Implikation über einen Widerspruchsbeweis also wohl richtig verstanden. Danke für deine Hilfe😁

Zu deiner Frage, ob denn nicht jede mathematische Aussage eine Implikation ist, fällt mir spontan gerade der folgende Satz ein:

"$\mathbb{R}$ ist überabzählbar."

Wäre das dann nicht einfach eine Aussage A?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Aus $A\land \lnot B$ einen Widerspruch herzuleiten ist eigentlich dasselbe wie $A \implies \lnot\lnot B$ zu beweisen oder auch $\lnot B \implies \lnot A$. Insofern kann man einen Beweis durch Kontraposition als Spezialfall eines Beweises durch Widerspruch ansehen. Umgekehrt ist eine beliebige Aussage $A$ äquivalent zu $\top\implies A$, dessen Kontraposition $\lnot A \implies \bot$ ist, a.k.a. $\lnot\lnot A$. Insofern ist Beweis durch Widerspruch  (statt A zeigt man einfach nur $\lnot\lnot A$) als Spezialfall eines Beweises durch Kontraposition ansehbar.
\(\endgroup\)


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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Danke tactac für deine Erklärungen. Ich kann eigentlich alles verstehen und nachvollziehen.
2020-05-30 16:51 - tactac in Beitrag No. 3 schreibt:
Umgekehrt ist eine beliebige Aussage $A$ äquivalent zu $\top\implies A$, dessen Kontraposition $\lnot A \implies \bot$ ist, a.k.a. $\lnot\lnot A$. Insofern ist Beweis durch Widerspruch  (statt A zeigt man einfach nur $\lnot\lnot A$) als Spezialfall eines Beweises durch Kontraposition ansehbar.

Willst du damit jedoch sagen, dass jede mathematische Aussage $A$ zu einer zugehörigen Implikation äquivalent ist?
Also was ich eigentlich vorhin mit Pwin besprochen habe...
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ja, unter anderem. Ganz konkret und trivialerweise ist $A$ äquivalent zu $\top \implies A$.
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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


Für mich ist das eben noch nicht so trivial😄😂.

Wenn ja $A$ eine wahre Aussage ist, kann die Implikation $\top \implies A$ gar nicht mehr falsch sein, da hierfür die Aussage A falsch sein müsste, was wiederum unserer Annahme widerspricht. Umgekehrt, falls $\top \implies A$ eine wahre Aussage ist, muss A doch nicht unbedingt wahr sein, da die Implikation auch bei $\neg A \land \neg B$ wahr ist. Weisst du was ich meine oder habe ich etwas durcheinander formuliert?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Mit $\top$ ist die wahre Aussage gemeint. Sie hat per Definition einen trivialen Beweis. Und da $\top$ immer gilt, ist auch $A$ wahr, wenn $\top\implies A$ es ist.
Mir ist übrigens unklar, was $\lnot A \land \lnot B$ hiermit zu tun haben soll, und was B dabei ist.
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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Ach, jetzt habe ich verstanden, was du meinst, denke ich: Du meinst, dass, falls $\top\implies A$ wahr ist, das ja auch daher rühren kann, dass $\top$ falsch ist und ebenso A, richtig?
Nun, $\top$ ist aber eben nie falsch.
\(\endgroup\)


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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


Ja genau, sorry für das Missverständnis😁. Dein letzter Beitrag hat jetzt aber alles geklärt, da mir nicht bewusst wahr, was diese Notation für die "immer wahre" Aussage bedeutet.

Vielen lieben Dank!😄



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