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Mathematik » Topologie » Gibt es abgeschlossene Mengen, deren Summe nicht abgeschlossen ist?
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Universität/Hochschule Gibt es abgeschlossene Mengen, deren Summe nicht abgeschlossen ist?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-29


Hi,
eigentlich sagt der Titel schon fast alles zu meiner Frage: Gibt es zwei abgeschlossene Mengen aus R^n, deren Summe nicht abgeschlossen ist?
VG:)



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

\( \IR^n\) ist so gross... Überlege das doch zunächst mal für \( \IR\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-05-29 19:24 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

\( \IR^n\) ist so gross... Überlege das doch zunächst mal für \( \IR\).

Viele Grüße

Wally

Hallo Wally,
danke für deine Antwort und bitte entschuldige meine späte Rückmeldung. Ich hab nochmal etwas weiter zu der Frage recherchiert und und einen weiteren Satz gefunden, welcher besagt, dass die Vereinigung von zwei abgeschlossenen Mengen immer abgeschlossen ist. Nun verstehe ich allerdings den Unterschied zwischen Summe und Vereinigung in diesem Zusammenhang nicht so ganz. Ich vermute, dass das auch das eigentliche Problem von mir an der Frage ist.
\(\endgroup\)


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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-31


Hallo daenerystargaryen,

wie ist denn die Aufgabe im Wortlaut?
Benutzt ihr das Wort "Summe" für die disjunkte Vereinigung?

mfg
thureduehrsen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-31

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle} \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2020-05-31 09:27 - daenerystargaryen in Beitrag No. 2 schreibt:
Nun verstehe ich allerdings den Unterschied zwischen Summe und Vereinigung in diesem Zusammenhang nicht so ganz. Ich vermute, dass das auch das eigentliche Problem von mir an der Frage ist.

Vermutlich ist doch \(A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}\) gemeint.
\(\endgroup\)


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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


2020-05-31 10:27 - thureduehrsen in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo daenerystargaryen,

wie ist denn die Aufgabe im Wortlaut?
Benutzt ihr das Wort "Summe" für die disjunkte Vereinigung?

mfg
thureduehrsen

Hallo dank für deine Antwort:) Ich denke auch, dass damit die Darstellung von StrgAltEntf gemeint ist, da wir diese, zwar nicht in der Aufgabe, aber in einer anderen Aufgabe, verwendet haben.:)

Der genaue Wortlaut ging so:
"Man bestimme zweie abgeschlossene Mengen A,B ⊂R^n, für die A+B nicht abgeschlossen ist"



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


danke für den Hinweis StrgAltEntf, ich glaube auch, dass das hier gemeint ist:)



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-05-31


Hallo, daenerystargaryen,

weil Pfingsten ist, noch ein Tipp: keine der beiden Mengen sollte kompakt sein.

Viele Grüße

Wally



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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-31


Wähle $A=\{n+2|n\in\IN\}$, $B=\{-n-2 + \frac{1}{n+2}|n\in\IN\}$. Dann gilt $0\not in A+B$, da $\IZ$ eine additive Untergruppe von $\IR$ ist. Aus $\frac{1}{n+2}\in A+B$ folgt, dass $A+B$ nicht abgeschlossen ist.

Im $\IR^2$: Definiere $A:=\{(x,y)|x^2y\geq 1\}$. Dann gilt $A+A=\{(x,y)|y> 1\}$, was offensichtlich nicht abgeschlossen ist.



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


2020-05-31 18:00 - JonyGo in Beitrag No. 8 schreibt:
Wähle $A=\{n+2|n\in\IN\}$, $B=\{-n-2 + \frac{1}{n+2}|n\in\IN\}$. Dann gilt $0\not in A+B$, da $\IZ$ eine additive Untergruppe von $\IR$ ist. Aus $\frac{1}{n+2}\in A+B$ folgt, dass $A+B$ nicht abgeschlossen ist.

Im $\IR^2$: Definiere $A:=\{(x,y)|x^2y\geq 1\}$. Dann gilt $A+A=\{(x,y)|y> 1\}$, was offensichtlich nicht abgeschlossen ist.

Hallo, vielen Dank:)Ganz dumme Frage: Wie genau hast du die mengen addiert und kommst auf das ergebnis? Wenn ich die Mengen in die Darstellung von StrgAltEntf einsetzte, kommt bei mir etwas anderes heraus...
(ich meine dein zweites Beispiel für den R^2)



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