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Schulmathematik » Terme und (Un-) Gleichungen » Kürzen in logarithmischer Gleichung erlaubt?
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Schule J Kürzen in logarithmischer Gleichung erlaubt?
minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-29


Hallo!

Folgende logarithmische Gleichung soll gelöst werden:

\(\log _{ 10 }{ \left( x-1 \right) +\log _{ 10 }{ 3 }  } =\log _{ 10 }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }\)

Lösungsweg 1 (mit 3. Binom):

\(\log _{ 10 }{ \left( x-1 \right) +\log _{ 10 }{ 3 }  } -\log _{ 10 }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  } =0\Leftrightarrow \log _{ 10 }{ \left( \frac { 3\left( x-1 \right)  }{ { x }^{ 2 }-1 }  \right)  } =0\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac { 3 }{ x+1 } =1\Leftrightarrow x=2\)

Eine Lösung. Die Probe ergibt, x=2 ist eine Lösung.

Lösungsweg 2 (mit pq-Formel):

\(\log _{ 10 }{ \left( x-1 \right) +\log _{ 10 }{ 3 }  } =\log _{ 10 }{ \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  } \Leftrightarrow 3\left( x-1 \right) ={ x }^{ 2 }-1\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow { x }^{ 2 }-3x+2=0\Rightarrow { x }_{ 1 }=2\quad und\quad { x }_{ 2 }=1\)

Zwei potentielle Lösungen. Die Probe ergibt, x=2 ist eine Lösung, x=1 ist keine Lösung.

Meine Frage ist: sind beide Vorgehensweisen gleich richtig bzw. gleichwertig? Beim Lösungsweg 1 habe ich ja quasi eine mögliche Lösung weggekürzt, die sich aber letztlich doch nicht als Lösung erweisen würde. Vielleicht gibt es ja Fälle, wo durch Kürzen eine oder mehrere Lösungen unterschlagen werden?! Ist also vorab Kürzen erlaubt?

Ich hoffe, die Frage ist nicht zu dumm und würde mich über eine Antwort sehr freuen.

Vielen Dank und viele Grüße,

minusphalbe



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-29


Hallo,

2020-05-29 21:43 - minusphalbe im Themenstart schreibt:
\(\log _{ 10 }{ \left( \frac { 3\left( x-1 \right)  }{ { x }^{ 2 }-1 }  \right)  } =0\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac { 3 }{ x+1 } =1\)

ist KEINE Äquivalenzumformung, also hat der Doppelpfeil hier nichts zu suchen. Aber das hast du ja schon selbst gesehen. Die wegfallende Lösung $x=1$ musst du schon bis zum Ende mitnehmen. Dass diese hier in der Probe wieder wegfällt, ist eher Zufall.



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-29


Danke dir, traveller, also nicht kürzen, damit keine Lösungen verloren gehen.

Viele Grüße,

minusphalbe



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-05-29

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Der erste Schritt zur Lösung der Ausgangsgleichung ist doch der Ausschluß von $x=\pm 1$, da sonst die Logarithmen gar nicht definiert sind.
Das Kürzen ist dann durchaus erlaubt, denn es gibt ja keine „verbotenen Operationen“ (hier Division durch 0 oder die behebbare Unstetigkeit durch den Faktor $(x-1)$).


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-05-29


Viertels Vorgehen ist wohl das mathematisch sauberste: Zuerst einen sinnvollen Definitionsbereich für $x$ zu finden (wobei man noch einiges mehr ausschliessen muss als nur $x=\pm 1$).

Meines Wissens ist es aber in der Schule durchaus üblich, bei Logarithmus- und Wurzelgleichungen zuerst mal draufloszurechnen und erst am Ende die sogenannten Scheinlösungen wieder auszuschliessen.



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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-29


2020-05-29 22:29 - traveller in Beitrag No. 4 schreibt:
Zuerst einen sinnvollen Definitionsbereich für $x$ zu finden (wobei man noch einiges mehr ausschliessen muss als nur $x=\pm 1$).

Ja, der Definitionsbereich - den sollte ich zuerst wählen. Aber mir würde jetzt nicht mehr einfallen als $x\neq\pm 1$.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-05-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo zusammen,

2020-05-29 23:01 - minusphalbe in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-05-29 22:29 - traveller in Beitrag No. 4 schreibt:
Zuerst einen sinnvollen Definitionsbereich für $x$ zu finden (wobei man noch einiges mehr ausschliessen muss als nur $x=\pm 1$).

Ja, der Definitionsbereich - den sollte ich zuerst wählen. Aber mir würde jetzt nicht mehr einfallen als $x\neq\pm 1$.

Das stimmt so nicht. traveller hat es ja schon angesprochen: das Argument der reellen Logarithmusfunktion muss positiv sein. Der korrekte Definitionsbereich wären hier also alle x mit \(x>1\).

Für die Gleichung hätte ich dazu in diesem Fall noch den Tipp, dass man als erstes die rechte Seite zu

\[\lg(x^2-1)=\lg(x-1)+\lg(x+1)\]
umschreibt. Das vereinfacht dann so einiges...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


Hallo Diophant!


\[\lg(x^2-1)=\lg(x-1)+\lg(x+1)\]

Deswegen hätte ich jetzt an \(x\neq\pm 1\) gedacht. Hmm?

Viele Grüße,

minusphalbe




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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-05-30


Hallo,
und was wäre z.B. mit $x=-2$ ?


-----------------
Gruß haegar



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo minusphalbe,

sortieren wir nochmal: das Argument des (reellen) Logarithmus muss positiv sein. Daher haben wir hier \(\mathbb{D}=\lbrace x: x>1\rbrace\).

Der andere Tipp war ein Hinweis zur Vorgehensweise beim Lösen der Gleichung. Wenn man das macht, bekommt man sofort

\[\ba
\lg(x-1)+\lg(3)&=\lg\left(x^2-1\right)=\lg(x-1)+\lg(x+1)\quad\quad |\ -\lg(x-1)\\
\\
\lg(x+1)&=\lg(3)\\
\\
x&=2
\ea\]

Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Terme und (Un-) Gleichungen' von Diophant]
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30


Hallo haegar90!

Auwei, das wäre schlimm mit $x=-2$ beim Logarithmus von $lg(x-1)$ (um meine Blindheit mit Humor zu nehmen). Da sollte ich besser von Diophant lernen.


Hallo Diophant!

Wegen $lg(x-1)$ muss gelten \(\mathbb{D}=\lbrace x: x>1\rbrace\) .

Ich glaube, so sollte ich es richtig verstanden haben, oder!?

Ganz oben hatte ich versucht, das 3. Binom anzuwenden, was ich offenbar leider nicht klar machen konnte.

In meinem Lehrbuch wurden zwei Lösungen genannt (also wird der Autor nicht das 3. Binom verwendet haben) und von diesen beiden anschließend x=1 ausgeschlossen. Deshalb wurde ich unsicher und dachte, vorher zu kürzen könnte mich bei einer späteren anderen Aufgabe mal eine Lösung kosten. Das war mein Grund, hier nachzufragen. Ich finde ja auch, vorher alles zu vereinfachen ist viel angenehmer.

Viele Grüße,

minusphalbe



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2020-05-30 10:42 - minusphalbe in Beitrag No. 10 schreibt:
Wegen $lg(x-1)$ muss gelten \(\mathbb{D}=\lbrace x: x>1\rbrace\) .

Ich glaube, so sollte ich es richtig verstanden haben, oder!?

Ja, genau. Mache dir klar: die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Letztere hat als Wertemenge \(\IR_{>0}\), als Definitionsmenge jedoch ganz \(\IR\). Und bekanntlich dreht sich das ja beim Umkehren einer Funktion auch mit um: die Logarithmusfunktion hat daher \(\IR_{>0}\) als Definitions- und ganz \(\IR\) als Wertemenge.

2020-05-30 10:42 - minusphalbe in Beitrag No. 10 schreibt:
In meinem Lehrbuch wurden zwei Lösungen genannt (also wird der Autor nicht das 3. Binom verwendet haben) und von diesen beiden anschließend x=1 ausgeschlossen. Deshalb wurde ich unsicher und dachte, vorher zu kürzen könnte mich bei einer späteren anderen Aufgabe mal eine Lösung kosten. Das war mein Grund, hier nachzufragen. Ich finde ja auch, vorher alles zu vereinfachen ist viel angenehmer.

Ja, das ist dann so ein klassischer Fall von "Apparatschik-Mathematik", wie ich das zu nennen pflege. 😎

Also stures Rechnen ohne nach links und rechts zu schauen, ob es vielleicht einfacher oder gar eleganter geht...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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minusphalbe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Diophant!

Vielen Dank!

2020-05-30 10:54 - Diophant in Beitrag No. 11 schreibt:
die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Letztere hat als Wertemenge \(\IR_{>0}\), als Definitionsmenge jedoch ganz \(\IR\). Und bekanntlich dreht sich das ja beim Umkehren einer Funktion auch mit um: die Logarithmusfunktion hat daher \(\IR_{>0}\) als Definitions- und ganz \(\IR\) als Wertemenge.

So etwas steht zu Beginn in einem anderen meiner Bücher (>Grundwissen Mathematikstudium<). Das zu lesen und zu verstehen ist eines meiner Ziele, nach dem ich dann (u.a. auch mit Logarithmen) besser rechnen kann :)

Nochmals dir und allen weiteren Helfern vielen Dank, schöne Pfingsten und

viele Grüße,

minusphalbe
\(\endgroup\)


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