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Analysis » Funktionentheorie » Funktion eindeutig durch Pole und Residuen bestimmt
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Universität/Hochschule Funktion eindeutig durch Pole und Residuen bestimmt
Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-05-30


Im Buch "Selected Special Functions for Fundamental Physics" von Akhmedov/Akhmedova (Springerlink: wird auf Seite 5 ein vermeintlicher Beweis von
\[ \Gamma (z) \Gamma (1-z) = \frac{\pi}{\sin (\pi z)} \] angedeutet. Wortwörtlich:

"This relation can be shown in the following way: both sides of it are analytic in the
entire complex z-plane (including infinity) and have the same poles and residues in
them. Hence, the difference of these two functions is a constant according to the
Cauchy theorem. The constant can be calculated at any regular point in the complex
z-plane and can be shown to be zero. This proves the relation in question"

Mir ist nicht klar, inwiefern das aus dem Satz von Cauchy folgen soll (oder irgendeinem Satz aus der Funktionentheorie).
Nun muss ich zugeben, dass ich nie Funktionentheorie II gehört habe und auch Funktionentheorie I schon sehr lange her ist.

Ich gehe mal davon aus, dass mit "both sides of it are analytic in the
entire complex z-plane (including infinity)" gemeint ist, dass beide Seiten als Abbildungen \( f : \overline{\mathbb C} \to \overline{\mathbb C} \) holomorph sind... Aber ehrlich gesagt ist mir nicht klar, wieso das so sein soll (und intuitiv denke ich eigentlich nicht, dass es stimmt).

[ EDIT: Wie gesagt, ich habe nie Funktionentheorie II gehört... aber ich habe (reelle) Differentialgeometrie gehört und würde jetzt einfach mal leichtfertig mit Riemannschen Flächen umgehen. Also um \(\infty\) wäre \(z \mapsto 1/z \) eine geeignete Karte; und \( \pi / \sin (\pi / z) \) bzw. \( \sin (\pi / z) / \pi \) sind beide nicht stetig um \( z = 0 \), was bedeutet, dass die RHS nicht stetig und schon gar nicht komplex differenzierbar bei \( z = \infty \) sein kann (egal, ob man einen endlichen Funktionswert oder Unendlich bei \(z = \infty\) unterstellt). ]

Ich erinnere mich an den Satz von Liouville und würde vermuten, dass das Argument, insofern es stimmt, irgendwie darauf hinausläuft...

Hat jemand eine Idee?

EDIT: Wenn jemand, der sich mit Funktionentheorie auskennt, der Meinung ist, dass das Argument Quatsch ist, würde ich es auch begrüßen, wenn er diese Einschätzung teilt. Das Buch ist von Physikern geschrieben, also ein gewisses Misstrauen ist wohl auch angebracht... Mich macht es misstrauisch, dass ich diesen Beweis der Reflexionsformel nirgends finden kann, und ein so kurzer und eleganter Beweis würde ja sicher öfter erwähnt werden, wenn er richtig wäre.

EDIT2: Zunächst einmal: Wenn man zwei holomorphe Funktionen \[ f, g: \overline{\mathbb C} \to \overline{\mathbb C} \] hat mit \[ f^{-1} (\infty ) = g^{-1} (\infty ), \] so folgt daraus zunächst einmal, dass \( f - g : \overline{\mathbb C} \to \mathbb{C} \) holomorph ist. Mit \( F(z) := (f - g)(1/z) \) folgt \(F'(z) = - z^{-2} (f' - g')(1/z) \), da nach Annahme die Ableitung \(F'(0) \) existiert, ist \( (f' - g')(\infty ) = 0 \). Somit ist \( f - g \) um \(\infty\) beschränkt. Zudem hat \(f-g\) in \(\mathbb C\) keine Pole, ist also um insgesamt beschränkt. Somit folgt in der Tat aus dem Satz von Liouville, dass \(f-g\) konstant ist.
Das Problem ist aber, dass die Annahme im vorliegenden Fall nicht erfüllt ist.



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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-05-31


Eine holomorphe Funktion $f:\overline\IC\to\overline\IC$ ist zwingend eine gebrochenrationale Funktion. Aus $\IC$ kompakt folgt, dass f eine endliche Überlagerung ist und nur endlich viele NST hat.

Das Argument zu
\[ \Gamma (z) \Gamma (1-z) = \frac{\pi}{\sin (\pi z)} \] funktioniert dann und nur dann, wenn gezeigt wird, dass $H:=\Gamma (z) \Gamma (1-z) - \frac{\pi}{\sin (\pi z)}$ in $\infty$ keine wesentliche Singularität hat.



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Martin_Gal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-05-31


Danke für deine Antwort!

Wenn ich es richtig sehe, hat aber \( \pi / \sin (\pi z) \) in \(\infty \) eine wesentliche Singularität, oder?
Also natürlich hat die Differenz keine (sie ist ja a posteriori 0)... Aber vermutlich ist es auch nicht so einfach zu zeigen, dass das so ist, ohne die zu beweisende Reflexionsformel vorauszusetzen(?)



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