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Mathematik » Stochastik und Statistik » Bildmaß bezüglich Modulo 3 angeben
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Universität/Hochschule J Bildmaß bezüglich Modulo 3 angeben
schneemann1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-02


Hallo,
geg. seien $\Omega_1 = \{3,5,15,16,20\},\, \mathcal{A}_1 = 2^{\Omega_1},\, \Omega_2 = \{0,1,2,3\},\mathcal{A}_2 = 2^{\Omega_2}$.

Ich soll das Bildmaß $P_X$ bzgl. $X: \Omega_1 \to \Omega_2,\, \omega \mapsto \omega \mod 3 $ von $P$ angeben. Hierbei ist $P(\{\omega\}) =\begin{cases}\frac{1}{3} & \text{ falls } \omega < 10 \\\frac{1}{9} & \text{ sonst} \end{cases}$ das auf $(\Omega_1,\mathcal{A}_1)$ für $\omega \in \Omega_1$ festgelegte Wahrscheinlichkeitsmaß.

Ich habe bereits $X(3) = 0, X(5), ...$ und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten $P(\{3\}), ...$ berechnet.

Das Bildmaß haben wir definiert als $P_X = P_X(A_2) = P_X(X^{-1}(A_2))$ für $A_2 \in \mathcal{A}_2$.
Was genau muss ich jetzt betrachten? Ich habe bereits ermittelt
$P_X(\{0\}) = P(X^{-1}(0)) = P(\{3\},\{5\}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9},\\
... \\
P_X(\{3\}) = 0
$
Bin ich jetzt fertig, oder muss ich alle Teilmengen von $\mathcal{A}_2$ betrachten?
Im Skript steht leider nicht, wie man es berechnet, sondern nur, dass es ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(\Omega_2,\mathcal{A}_2)$ definiert.

Vielen Dank



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-02


Hallo schneemann1,

zunächst einmal ist doch \(X^{-1}(0)=\{3,15\}\) und nicht \(X^{-1}(0)=\{3,5\}\) (war wohl nur ein Tippfehler).

Da \(\Omega_2\) endlich ist, reicht es \(P_X(\{a\})\) für alle \(a\in\Omega_2\) zu kennen. Für alle \(A\in 2^{\Omega_2}\) ist dann nämlich wegen der Additivität \(P_X(A)=P_X(\cup_{a\in A}\{a\})=\sum_{a\in A}P_X(\{a\})\). Wenn Du also die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse kennst, kannst Du daraus auch direkt die Wahrscheinlichkeit für alle Ereignisse berechnen. In der Aufgabenstellung wurden die Werte von \(P\) ja auch nur für Elementarereignisse und nicht für alle Ereignisse angegeben.



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schneemann1
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-02


Hallo sonnenschein,
ja, das war ein Tippfehler.

Alles klar, dann werde ich noch die verbleibenden Vereinigungen berechnen.

Zum Verständnis, ich müsste eigentlich statt $P(X^{-1}(0))$,  $P(X^{-1}(\{0\}))$ schreiben, da es sich um eine Menge handelt, oder?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-02


Ja, eigentlich bildet man das Urbild von Mengen, also in diesem Fall \(X^{-1}(A)\) für \(A\in2^{\Omega_2}\).

Ist die Menge allerdings einelementig, so schreibt man statt \(X^{-1}(\{a\})\) für ein \(a\in\Omega_2\) oft einfach \(X^{-1}(a)\), siehe z.B. Wikipedia, Stichwort Urbild (Mathematik). Ist also auch okay.



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