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Analysis » Stetigkeit » Fixpunkte einer Involution
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Universität/Hochschule J Fixpunkte einer Involution
arisoto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hallo,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) stetig mit \(f\circ f=Id_\mathbb{R}\). Es soll gezeigt werden:

1. $f$ hat einen Fixpunkt.

2. Wenn $f$ monoton wachsend ist, dann gilt $f=Id_\mathbb{R}$.

(\(Id_\mathbb{R}\) ist die Identitätsfunktion)

Bei 1. ist meine Idee, dass $f$ ihre eigene Umkehrfunktion ist, also dass wenn der Graph den Punkt $(x;y)$ enthält, dann auch den Punkt $(y;x)$ (da weiß ich aber auch noch nicht, wie ich das zeigen soll). Jedenfalls müsste der Graph dann "auf dem Weg" von $(x;y)$ nach $(y;x)$ den Graphen der Identitätsfunktion schneiden. Dieser Schnittpunkt wäre dann natürlich Fixpunkt von $f$. Ich habe aber absolut keinen Ansatz, wie ich zeigen soll, dass dieser Schnittpunkt existiert.

Zu 2. habe ich auch nach langem Überlegen überhaupt keinen Ansatz.

Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar!

LG
arisoto



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


Hallo,

Betrachte die Hilfsfunktion h(x)=f(x)-x und zeige dass falls sie bei einer Stelle x positiv ist, dass sie dann bei einer geeigneten anderen Stelle (nennen wir sie Mal y) negativ ist.

Grüße
Creasy

2. Ist sehr kurz. Kannst du einmal aufschreiben, was es bedeutet monoton steigend zu sein?


-----------------
Smile (:



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arisoto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


Hallo Creasy,

danke für die schnelle Antwort.

1. Aber wie findet man solche Stellen \(x,y\)? Es kommt doch auf die konkrete Funktion \(f\) an, oder?

2. Monoton steigend bedeutet, dass \(x_1\leq x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)\). Aber ich verstehe nicht, was das mit der Identität zu tun hat.




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JonyGo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-03


zu 1) Falls $f(0)=0$ ist nicht zu zeigen. Sei nun $f(0)=b>0$ (der Fall $<0$ wird analog behandelt). Dann gilt für die Funktion $g(x):=f(x)-x$: $g(0)=b>0$ und $g(b)=-b<0$. Somit hat $g$ eine Nullstelle auf dem Intervall $(0,b)$ damit $f$ ein Fixpunkt.

zu 2) Zunächst: Aus $f^{\circ 2}=id_\IR$ folgt, dass $f$ injektiv ist: Seien $a,b\in\IR$ mit $f(a)=f(b)$. Anwenden von $f$ ergibt $a=f(f(a))=f(f(b))=b$, also ist $f$ injektiv. Daher folgt aus monoton steigend bereits streng monoton steigend.

Anngenommen $f\neq id_\IR$. Dann gibt es ein $a\in\IR$ mit $f(a)\neq a$ Berachte $a<f(a)$. Dann gilt $a<f(a)\Rightarrow f(a)<f(f(a))=a$, was ein Widerspruch ist. Analog $a>f(a)$.



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-03


Zusatzaufgabe für JonyGo:

Untersuche, ob man auf die Stetigkeit von \(f\) verzichten kann.

mfg
thureduehrsen



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arisoto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


Vielen Dank, JonyGo und Creasy! Jetzt verstehe ich es. :)



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Creasy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-03


Hallo erneut,

2020-06-03 11:03 - arisoto in Beitrag No. 2 schreibt:
1. Aber wie findet man solche Stellen \(x,y\)? Es kommt doch auf die konkrete Funktion \(f\) an, oder?
Es ging nicht darum, ob du eine Stelle $x$ finden kannst, sodass $h(x)$ positiv ist, sondern darum, was danach passiert. Aber ja: y ist selbstverständlich dann von $f$ abhängig. Wenn du jetzt den Beweis durchgehst von JonyGo, dann siehst du, dass y=f(x) die richtige Wahl gewesen wäre (also genau was du in deinem ersten Beitrag mit y meintest :) )

Dass JonyGo hier x=0 wählt ist eigentlich unnötig. Das funktioniert auch für jede Stelle: ist h(x) = f(x)-x = 0, dann ist x ein Fixpunkt, ist h(x) > 0 (für < analog), so ist f(x)> x und damit h(f(x) ) = f(f(x))-f(x) = x-f(x)<0, also hat h eine Nullstelle im Intervall (x,f(x)) (absolut identisch zu JonyGo)


2. Monoton steigend bedeutet, dass $x1\leq x2⇒f(x1)\leq f(x2)$. Aber ich verstehe nicht, was das mit der Identität zu tun hat.
Obwohl bereits eine komplettlösung gepostet wurde, vllt ein Kommentar:
Der nächste Tipp wäre vielleicht gewesen, obige Ungleichung auf $x_1 =x $ und $x_2 =f(x)$ anzuwenden (wobei x beliebig).
Das ergibt nämlich: Angenommen $x\leq f(x)$ dann ist $f(x) \leq f(f(x)) = x$ und damit $x\leq f(x) \leq x$, also $x=f(x)=x$.  Ist $x\geq f(x)$ so ist wieder $f(x)\geq f(f(x)) = x$, also $x\geq f(x) \geq x$ also Gleichheit überall und damit auch $x=f(x)$.
Die Vorarbeit zur Injektivität ist unnötig

Beste Grüße
Creasy



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