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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Quotientenkörper von {a+ib, a,b in Z} isomorph zu Unterkörper von C
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Universität/Hochschule Quotientenkörper von {a+ib, a,b in Z} isomorph zu Unterkörper von C
Potheker
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Sei \(R:=\mathbb{Z}[i]=\{a+ib | a,b \in \mathbb{Z}\}\). Betrachten sie den Quotientenkörper \(K_R\) von R und geben sie einen Teilkörper von \(\mathbb{C}\) an, welcher zu \(K_R\) isomorph ist.

Offensichtlich wäre es nun einen injektiven Homomorphismus \(\Phi([a/b])=\frac{a}{b}\) zu definieren. Aber dann (falls das Zielführend ist) stellt sich die Frage was ist das Bild von \(\Phi\) ? Also wie gehe ich ran das Bild zu bestimmen?



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


Um einen EIndruck von <math>K_{R}</math> zu erlangen, nimm <math>x,y\in R</math>, <math>y\neq 0</math>, und betrachte den Quotienten <math>q= \frac{x}{y}</math>, denn dieser liegt im Quotientenkörper.  Versuche <math>q</math> in der Form <math>u+vi</math> darzustellen. Woher sind <math>u</math> und <math>v</math>? Bilden alle Zahlen dieser Form einen Körper? Kannst Du zeigen, daß es <math>K_{R}</math> ist?



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