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Mathematik » Stochastik und Statistik » Zähldichte einer gemeinsamen Verteilung
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Universität/Hochschule J Zähldichte einer gemeinsamen Verteilung
shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hey,

ich habe Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu lösen:
Es seien $X,Y$ zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung definiert wird durch die Zähldichte $\rho_{X,Y} (k,l)= (\frac{1}{3})^k (\frac{1}{2})^l$ für $k \in \mathbb{N},l\in \mathbb{N_0}$
a) Überprüfen Sie, dass es sich um eine Zähldichte handelt
Also die natürlichen Zahlen sind abzählbar und $\rho_{X,Y}(k,l)>0$
bleibt nur noch zu zeigen das die Summe über die Funktion $1$ ergibt.
$\sum_k\sum_l (\frac{1}{3})^k (\frac{1}{2})^l$
Wenn ich das jetzt jedoch mit der geometrischen Reihe ausrechne komme ich jedoch auf $\frac{3}{2}*2=3$ Also nicht $1$



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 15:22 - shirox im Themenstart schreibt:
Hey,

ich habe Schwierigkeiten folgende Aufgabe zu lösen:
Es seien $X,Y$ zwei Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung definiert wird durch die Zähldichte $\rho_{X,Y} (k,l)= (\frac{1}{3})^k (\frac{1}{2})^l$ für $k \in \mathbb{N},l\in \mathbb{N_0}$
a) Überprüfen Sie, dass es sich um eine Zähldichte handelt
Also die natürlichen Zahlen sind abzählbar und $\rho_{X,Y}(k,l)>0$
bleibt nur noch zu zeigen das die Summe über die Funktion $1$ ergibt.
$\sum_k\sum_l (\frac{1}{3})^k (\frac{1}{2})^l$
Wenn ich das jetzt jedoch mit der geometrischen Reihe ausrechne komme ich jedoch auf $\frac{3}{2}*2=3$ Also nicht $1$

Moin, hast du bedacht, dass $k$ bei $1$ und $l$ bei $0$ beginnt?

vg Luis



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


ohje, vielen Dank!



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03


Das mit der Zähldichte hat jetzt schon mal funktioniert. Nun soll ich die Randverteilungen  bestimmen. Da bin ich mir noch unsicher, mein Vorschlag wäre für die Randverteilung dass ich nur den $Y$ Teil laufen lasse und $X$ festhalte, das heißt: $(\frac{1}{3})^k \sum_l (\frac{1}{2})^l$
Und für $Y$ dann analog 🤔



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-04


2020-06-03 22:56 - shirox in Beitrag No. 3 schreibt:
Das mit der Zähldichte hat jetzt schon mal funktioniert. Nun soll ich die Randverteilungen  bestimmen. Da bin ich mir noch unsicher, mein Vorschlag wäre für die Randverteilung dass ich nur den $Y$ Teil laufen lasse und $X$ festhalte, das heißt: $(\frac{1}{3})^k \sum_l (\frac{1}{2})^l$
Und für $Y$ dann analog 🤔

Im Prinzip 👍. Aber nicht so faul: $(\frac{1}{3})^k \sum_l (\frac{1}{2})^l=(\frac{1}{3})^k$.

vg Luis



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


(2020-06-04 09:01 - luis52 in <a href=viewtopic.php?

Im Prinzip 👍. Aber nicht so faul: $(\frac{1}{3})^k \sum_l (\frac{1}{2})^l=(\frac{1}{3})^k$.

vg Luis
Danke, meinst du mit "nicht so faul" die Notation oder die fehlende Rechnung? Dein Gleichheitszeichen kann ich irgendwie nicht nachvollziehen
Vielen Dank nochmal :)



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-04


2020-06-04 12:11 - shirox in Beitrag No. 5 schreibt:
(2020-06-04 09:01 - luis52 in <a href=viewtopic.php?

Im Prinzip 👍. Aber nicht so faul: $(\frac{1}{3})^k \sum_l (\frac{1}{2})^l=(\frac{1}{3})^k$.

vg Luis
Danke, meinst du mit "nicht so faul" die Notation oder die fehlende Rechnung? Dein Gleichheitszeichen kann ich irgendwie nicht nachvollziehen
Vielen Dank nochmal :)
Okay, dann ausfuehrlicher:

$P(X=k)=\sum_{l=0}^\infty\rho_{X,Y} (k,l)= \sum_{l=0}^\infty(\frac{1}{3})^k (\frac{1}{2})^l= (\frac{1}{3})^k \sum_{l=0}^\infty(\frac{1}{2})^l=(\frac{1}{3})^k$ fuer $k=1,2,3,\dots$

vg Luis




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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Danke,aber es gilt doch
$\sum_{l=0}^\infty(\frac{1}{2})^l=2$ Daher versteh ich einfach das letzte Gleichheitszeichen nicht. Irgendwie muss ich also dermaßen auf dem Schlauch stehen, tut mir leid.



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shirox
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Okay, ich bin mir eigentlich sicher, dass als Ergebnis $2(\frac{1}{3})^k=\frac{2}{3} (\frac{1}{3})^{k-1}$ also eine geometrische Verteilung



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-04


2020-06-04 14:14 - shirox in Beitrag No. 7 schreibt:
Danke,aber es gilt doch
$\sum_{l=0}^\infty(\frac{1}{2})^l=2$ Daher versteh ich einfach das letzte Gleichheitszeichen nicht. Irgendwie muss ich also dermaßen auf dem Schlauch stehen, tut mir leid.

*Ich* stehe auf dem Schlauch. Es muss heissen:


$P(X=k)=\sum_{l=0}^\infty\rho_{X,Y} (k,l)= \sum_{l=0}^\infty(\frac{1}{3})^k (\frac{1}{2})^l= (\frac{1}{3})^k \sum_{l=0}^\infty(\frac{1}{2})^l=(\frac{1}{3})^k\cdot 2$ fuer $k=1,2,3,\dots$

Danke fuer die Korrektur.

vg Luis



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