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Universität/Hochschule J periodische Punkte
fhannes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-03


Hallo :-)

Ich bin gerade etwas am verzweifeln. Ich lese relativ viel dazu doch weiß ich nicht, wie ich die periodischen Punkte genau berechne.

Der Punkt x ist ein periodischer Punkt einer Periode n, wenn f^n (x)=x.

Doch was sagt das genau aus? und wie berechne ich den Punkt, wenn ich ihn in den Taschenrechner eingebe? Beispielsweise von den Funktionen

f(x)= -3x

f(x) = 1/2(x^3 +x)


Ich hoffe, mir kann dabei geholfen werden :-)



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-03


2020-06-03 21:25 - fhannes im Themenstart schreibt:
Hallo :-)

Ich bin gerade etwas am verzweifeln. Ich lese relativ viel dazu doch weiß ich nicht, wie ich die periodischen Punkte genau berechne.

Der Punkt x ist ein periodischer Punkt einer Periode n, wenn f^n (x)=x.

Doch was sagt das genau aus?
Es besagt, dass die <math>n</math>-fache Anwendung der Funktion <math>f</math> auf <math>x</math>, wieder <math>x</math> ergibt.


 und wie berechne ich den Punkt, wenn ich ihn in den Taschenrechner eingebe?
Verstehe ich nicht: wie willst Du den Punkt in den Taschenrechner eingegeben haben, wenn Du ihn noch nicht kennst?


Beispielsweise von den Funktionen

f(x)= -3x

f(x) = 1/2(x^3 +x)


Ich hoffe, mir kann dabei geholfen werden :-)

Beispiele.
1) Für <math>f(x)= \frac{1}{x}</math> ist <math>1</math> ein Pukt der Periode <math>1</math>, denn <math>f(1)= 1</math>.

Um alle Punkte der Periode <math>1</math> zu berechnen, löst Du die Gleichung <math>\frac{1}{x}=x</math>.

2) Sei <math>f(x)= 3x^{2}</math>. Um alle Punkte der Periode <math>n</math> zu berechnen, löst Du die Gleichung <math>3^{2^{n-1}}x^{2^n}=x</math> (denn <math>f^{n}(x)= 3^{2^{n-1}}x^{2^n}</math>).



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-03


Hallo fhannes,

ich verstehe das so, dass Zahlen gesucht sind, die, wenn man sie abbildet und das Bild erneut abbildet und so weiter, irgendwann wieder auf die  Ausgangszahl abgebildet werden.

Nehmen wir etwa dein Beispiel:

Für die Funktion
\[
f\,\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x):=-3\,x
\] ist 0 ein periodischer Punkt der Periode 2 (und jeder anderen Periode \(n\)), denn die Null wird immer wieder auf sich selbst abgebildet. Weitere periodische Punkte gibt es nicht.

Ein komplizierteres Beispiel:
Für die Funktion
\[
g\,\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\,,0\,,1\}\to\mathbb{R},\quad g(x):=x-\frac{1}{x}
\] ist \(1/\sqrt2\) ein periodischer Punkt der Periode 2, denn die Gleichung
\[g(g(x)) = x\] führt auf
\[
-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=x
\] also auf
\[\frac{{{x}^{4}}-3\,{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-x}=x\] und Standardverfahren (Wegschaffen der Nenner, Streichen identischer Terme) führen dann auf zwei Lösungen, von denen eine \(1/\sqrt2\) ist.

Hilft dir das?

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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fhannes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-03






Verstehe ich nicht: wie willst Du den Punkt in den Taschenrechner eingegeben haben, wenn Du ihn noch nicht kennst?

Du hast es mir unten erklärt, war etwas unglücklich ausgedrückt :-)



Beispiele.
1) Für <math>f(x)= \frac{1}{x}</math> ist <math>1</math> ein Pukt der Periode <math>1</math>, denn <math>f(1)= 1</math>.

Um alle Punkte der Periode <math>1</math> zu berechnen, löst Du die Gleichung <math>\frac{1}{x}=x</math>.

ok, in dem Fall würde der periodische Punkt dem Fixpunkt entsprechen und es gibt keine weiteren periodischen Punkte?


2) Sei <math>f(x)= 3x^{2}</math>. Um alle Punkte der Periode <math>n</math> zu berechnen, löst Du die Gleichung <math>3^{2^{n-1}}x^{2^n}=x</math> (denn <math>f^{n}(x)= 3^{2^{n-1}}x^{2^n}</math>).

Wie genau bist du auf diese Gleichung gekommen? Ich verstehe es nicht ganz.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-03


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fhannes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Hallo thureduehrsen,

ich habe leider deinen Beitrag gestern übersehen.

2020-06-03 22:10 - thureduehrsen in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo fhannes,

ich verstehe das so, dass Zahlen gesucht sind, die, wenn man sie abbildet und das Bild erneut abbildet und so weiter, irgendwann wieder auf die  Ausgangszahl abgebildet werden.

Nehmen wir etwa dein Beispiel:

Für die Funktion
\[
f\,\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x):=-3\,x
\] ist 0 ein periodischer Punkt der Periode 2 (und jeder anderen Periode \(n\)), denn die Null wird immer wieder auf sich selbst abgebildet. Weitere periodische Punkte gibt es nicht.

Ich denke das habe ich verstanden, weil fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Wäre dann fed-Code einblenden


Ein komplizierteres Beispiel:
Für die Funktion
\[
g\,\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\,,0\,,1\}\to\mathbb{R},\quad g(x):=x-\frac{1}{x}
\] ist \(1/\sqrt2\) ein periodischer Punkt der Periode 2, denn die Gleichung
\[g(g(x)) = x\] führt auf
\[
-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=x
\] also auf
\[\frac{{{x}^{4}}-3\,{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-x}=x\] und Standardverfahren (Wegschaffen der Nenner, Streichen identischer Terme) führen dann auf zwei Lösungen, von denen eine \(1/\sqrt2\) ist.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Wie genau bist du auf die Gleichung gekommen? Ich komme auf:

fed-Code einblenden

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]



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fhannes
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


2020-06-03 22:40 - Caban in Beitrag No. 4 schreibt:
fed-Code einblenden

Würde es nicht immer zwischen den Punkten:

fed-Code einblenden



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-04


2020-06-03 22:15 - fhannes in Beitrag No. 3 schreibt:
[...]
Wie genau bist du auf diese Gleichung gekommen? Ich verstehe es nicht ganz.
Durch die konsequente Häufung von Fehlschlüssen; leider kein Schreibfehler.

Zur Herleitung gehe induktiv vor:
<math>f(f(x))= 3*(f(x))^{2}= 3*(3x^{2})^{2}= 3^{3} x^{4}</math>.

<math>f^{3}(x)= 3*(3^{3} x^{4})^{2}= 3^{7}x^{8}</math> usw.

Mittel Induktion folgt: <math>f^{n}(x)= 3^{2^n-1}x^{2^n}</math>.



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thureduehrsen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-04


Hallo fhannes,

2020-06-04 05:52 - fhannes in Beitrag No. 5 schreibt:
Hallo thureduehrsen,

ich habe leider deinen Beitrag gestern übersehen.

2020-06-03 22:10 - thureduehrsen in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo fhannes,

ich verstehe das so, dass Zahlen gesucht sind, die, wenn man sie abbildet und das Bild erneut abbildet und so weiter, irgendwann wieder auf die  Ausgangszahl abgebildet werden.

Nehmen wir etwa dein Beispiel:

Für die Funktion
\[
f\,\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x):=-3\,x
\] ist 0 ein periodischer Punkt der Periode 2 (und jeder anderen Periode \(n\)), denn die Null wird immer wieder auf sich selbst abgebildet. Weitere periodische Punkte gibt es nicht.

Ich denke das habe ich verstanden, weil fed-Code einblenden fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Wäre dann fed-Code einblenden

Völlig richtig.


Ein komplizierteres Beispiel:
Für die Funktion
\[
g\,\colon\mathbb{R}\setminus\{-1\,,0\,,1\}\to\mathbb{R},\quad g(x):=x-\frac{1}{x}
\] ist \(1/\sqrt2\) ein periodischer Punkt der Periode 2, denn die Gleichung
\[g(g(x)) = x\] führt auf
\[
-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=x
\] also auf
\[\frac{{{x}^{4}}-3\,{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-x}=x\] und Standardverfahren (Wegschaffen der Nenner, Streichen identischer Terme) führen dann auf zwei Lösungen, von denen eine \(1/\sqrt2\) ist.


Wie genau bist du auf die Gleichung gekommen? Ich komme auf:

fed-Code einblenden

Ich habe (bzw. mein Rechner hat) eingesetzt und bruchgerechnet:
Mit \(g(x):=x-\frac{1}{x}\) gilt

\[
\begin{array}{rclll}
g^2(x)&=&g(g(x))&&\text{Definition Hintereinanderausführung}\\&=&g\left(x-\frac{1}{x}\right)&&\text{$g(x)=x-\frac{1}{x}$, inneres $g$ ersetzen}\\&=&x-\dfrac{1}{x}-\frac{1}{x-\frac{1}{x}}&&\text{Definition von \(g\), äußeres $g$ ersetzen}\\&=&x-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2-x}&&\text{Doppelbruch durch Erweitern auflösen}\\&=&x-\dfrac{x^2-x}{x\cdot(x^2-x)}-\dfrac{x}{x\cdot(x^2-x)}&&\text{Hauptnenner bilden}\\&=&\ldots
\end{array}
\]
Und so arbeitet man sich bis zur Form
\[\frac{{{x}^{4}}-3\,{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-x}\] vor, die man dann mit \(x\) gleichsetzt.

mfg
thureduehrsen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Vielen Dank euch beiden, ich denke das ich es nun verstanden habe :-)



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fhannes hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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