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Universität/Hochschule J Schwache Konvergenz
fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-04


Hallo zusammen,
ich soll zeigen, dass die schwache Konvergenz von $f_k \to f$ in $L^2(\Omega)$, mit $\Omega \subset \mathbf{R}^n$, äquivalent ist zu:

$\displaystyle\int_{\Omega}f_k \varphi\,dx \to \displaystyle\int_{\Omega}f \varphi\,dx
$
für alle $\varphi \in C^{\infty}_{cpt}(\Omega)$. Dabei ist die $L^2-$Norm der $f_k$ endlich. Natürlich stecken die Dichtheit der Testfunktionen in den $L^2-$Funktionen und der Darstellungssatz von Riesz dahinter. Die eine Richtung ist auch recht schnell überprüft, bei der anderen hänge ich allerdings leider. Hat jemand Ideen/Tipps ?


Beste Grüße



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-04


Hey fibonacciiccanobif,

2020-06-04 08:25 - fibonacciiccanobif im Themenstart schreibt:
Dabei ist die $L^2-$Norm der $f_k$ endlich.

meinst du damit, dass die Folge \(f_k\) in \(L^2\) beschränkt ist? Denn endlich sind die einzelnen \(L^2\)-Normen der \(f_k\) ja sowieso, wenn \(f_k \in L^2\) für alle \(k \in \mathbb{N}\).

Soweit ich weiß benötigt man für die Richtung von rechts nach links die Beschränktheit der \(f_k\) in \(L^2\).

Versuche mal einen \(\epsilon -k_0\)-Beweis. Für ein beliebiges \(\psi \in L^2\) betrachte \(\bigg | \int_{\Omega} (f_k - f)\psi \,dx \bigg |\) und schiebe auf geeignete Art und Weise ein geeignetes \(\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)\) dazwischen.



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Danke für deine Antwort !

Sowas in der Art hatte ich bereits versucht, allerdings komme ich nicht ganz zum gewünschten Ergebnis. Ich vermute um die Dichtheit auszunützen verwendet man erst die Dreiecksungleichung fürs Integral und dann die Hölder-Ungleichung um zur $L^2-$Norm zu gelangen, liege ich da richtig ?

Liebe Grüße



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-04


Ja genau sowas macht man.

Wie weit kommst du denn genau?



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Super danke.
Ich vermute, dass ich die Testfunktion nicht ganz passend reinschummel und es sich daher nicht ganz ausgeht. Hättest du einen Tipp, wie ich solch ein $\psi \in C^{\infty}_{kpt}(\Omega)$ geeignet reinschummeln könnte ?

Liebe Grüße



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-04


Das kannst du machen, indem du etwa
\(\bigg | \int_{\Omega} (f_k-f)\psi \, dx \bigg | = \bigg | \int_{\Omega} (f_k-f)(\psi - \varphi + \varphi) \, dx \bigg | \leq \bigg | \int_{\Omega} (f_k-f)(\psi - \varphi) \, dx \bigg | + \bigg | \int_{\Omega} (f_k-f)\varphi \, dx \bigg |\)
rechnest.



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Danke für deine schnellen Antworten, genau dies hätte ich gemacht. Allerdings scheitere ich dann beim linken Ausdruck an dem sich ergebenden: $\|f_k - f\|_{L^2(\Omega)}$, denn ich weiß ja nur, dass $f_k$ in der Norm beschränkt ist, über f weiß man ja nichts 🤔 Oder lässt sich dies irgendwie umgehen ? ich verwende jedenfalls noch nicht wirklich die $L^2-$Beschränktheit der $f_k$, daran scheitere ich gerade irgendwie...

Liebe Grüße



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-04


\(f \in L^2\) sollte auch eine der Grundvoraussetzungen sein. Ich bin mir nicht sicher, ob dies schon aus der Konvergenz der Integrale folgt, aber ich meine nicht. Ich versuche es mal herauszufinden und wenn doch, dann schreibe ich noch mal was dazu



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Alles klar, danke dir 🙂 Explizit angegeben ist es zumindest nicht.
Und du sagst, bei der Implikation von links nach rechts braucht man die $L^2-$Beschränktheit der $f_k$ gar nicht ?

Liebe Grüße



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-04


Aus der schwachen Konvergenz folgt direkt die Beschränktheit der Folge. Implizit steckt also die Beschränktheit in der linken Seite schon mit drin



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Du hast natürlich Recht, danke. Wir hatten dieses Resultat sogar in der Vorlesung, ich hatte nur nicht daran gedacht. Hm dann denke ich, dass ich meine Implikation von links nach rechts nochmals überarbeiten muss. Dass die Kovergenz für ALLE Testfunktionen funktionieren soll, macht mir Probleme.

Liebe Grüße



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-04


Ich bin mir nicht sicher, ob das als Frage gemeint war :)

Die schwache Konvergenz \(f_k \to f\) in \(L^2\) besagt ja, dass \(\int_{\Omega} f_k \varphi \, dx \to \int_{\Omega} f \varphi \, dx\) für alle \(\varphi \in L^2\) gilt. Wegen \(C_c^{\infty}(\Omega) \subset L^2(\Omega)\) folgt damit insbesondere, dass diese Konvergenz auch für alle \(\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)\) gilt.



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fibonacciiccanobif
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Danke nein, ich hatte einen Denkfehler und bin mittlerweile auch draufgekommen. danke dennoch ;)



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