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Universität/Hochschule Eigenschaften von differenzierbaren Funktionen
hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-04


Hallo,

Sei \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) eine beliebige stetige,  in \( (0,1) \) differenzierbare Funktion mit \(f(0) = 0\). Welchen Wert muss die Ableitungsfunktion \(f' : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \)  auf jeden  Fall annehmen?

Ich kann mir auf diese Frage keinen Reim bilden. Außerdem bin ich mir auch nicht sicher was mit (0,1) gemeint ist, das Intervall oder der Punkt?

Vor allem macht die darauf anschließenden Frage:
Beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes dass folgende Ungleichung für alle \( x>0\) gültig ist:
\[\sqrt{1+x} \leq 1+\frac{x}{2}\] für mich, in diesem Context auch keinen Sinn.

Danke Lg Hari



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-04


Hi,

ein Tip für die anschließende Frage: Nach dem Mittelwertsatz gibt es $\xi$

$$\sqrt{1+x}-\sqrt{1+0}=\frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}(x-0)$$



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Der Mittelwertsatz lautet:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Durch deine Antwort zeigst du mir, dass du annimmst dass \(f(x) = \sqrt{1+x} \) ist und du a = 0 und b = x setzt.

Warum darfst du das? mit welcher Begründung?

<math>
\begin{align*}
& f"(\xi) = \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}} \text{ und }  \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+0}}{x-0} \quad /\cdot (x-0)\\
& \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}} \cdot (x-0) = \sqrt{1+x}-\sqrt{1+0} \\
& \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}} \cdot x = \sqrt{1+x}-1\\
& 1+ \frac{1}{\sqrt{1+\xi}} \cdot \frac{x}{2} = \sqrt{1+x}
\end{align*}
</math>

Soweit so gut, nur was mache ich jetzt damit? und was hat das mit dem ersten Teil zu tun?






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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-04


Die Funktion $f:[0,x]\to \mathbb{R}:f(t)=\sqrt{1+t}$ ist für alle $x\in \mathbb{R}_{>0}$ stetig auf $[0,x]$ und auf $]0,x[$ differenzierbar. Also gilt der Mittelwertsatz und es gibt $\xi \in ]0,x[$ mit $f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ Wie du siehst, habe ich eine andere Notation für die offenen Intervalle gewählt. Da gibt es keine Irritation mit den Punkten.



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-04


und $f'(\xi)=\frac{1}{2\sqrt{1+\xi}}$ ist sicher kleiner oder gleich $\frac{1}{2\sqrt{1+0}}=\frac{1}{2}$ wg. monoton fallend und dann steht's fast da



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-04


Vielen Dank für deine Hilfe.

<math>
\begin{align*}
& f"(\xi) = \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}} \text{ und }  \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+0}}{x-0} \quad /\cdot (x-0)\\
& \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}} \cdot (x-0) = \sqrt{1+x}-\sqrt{1+0} \\
& \frac{1}{2\sqrt{1+\xi}} \cdot x = \sqrt{1+x}-1\\
& 1+ \frac{1}{\sqrt{1+\xi}} \cdot \frac{x}{2} = \sqrt{1+x} \\
\\
&\sqrt{1+x} = 1+ \frac{1}{\sqrt{1+\xi}} \cdot \frac{x}{2}  \leq 1+ \frac{1}{\sqrt{1+0}} \frac{x}{2} = 1 + \frac{x}{2} \\
&\sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2} \hspace{1cm} \square
\end{align*}
</math>

Hat das ganze, irgendwas mit dem ersten Teil zu tun?



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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-04


Na ja, der erste Teil ist auch eine Anwendung des MWS. Wenn $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ stetig mit $f(0)=0$ und $f$ auf $]0,1[$ diff.bar. Dann existiert ein $\xi \in ]0,1[$ mit

$$f'(\xi)=\frac{f(1)-\overbrace{f(0)}^{=0}}{1-0}=f(1)$$
d. h. die Ableitungsfunktion nimmt auf jeden Fall den Wert $f(1)$ an



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hari01071983
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Vielen Dank.

Ich habe die ganze Zeit bei "Wert" daran gedacht dass es eine bestimmte feste Zahl \(  \in \mathbb{R}\) sein muss. Habe dazu schon zig Gegenbeispiel gefunden?

Dass aber der Wert ja in Abhängigkeit zur Funktion angegeben werden kann, daran hatte ich ja überhaupt nicht gedacht.

Alle meine Gegenbeispiel sind nun Beispiele für Funktionen bei denen die Aussage stimmt.

Vielen Dank für dein Hilfe!




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SabineMueller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-05


Cool. Bis demnächst 😂



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