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Strukturen und Algebra » Gruppen » G hat Untergruppe der Ordnung p
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Universität/Hochschule J G hat Untergruppe der Ordnung p
Carmen_Wag
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05



Guten Morgen nochmal.

Es ist heute morgen schon das zweite Mal, dass ich wieder poste, aber es geht um einen anderen Satz und ich wollte nicht den ersten Post damit belasten.


Ich habe zu einem Satz, den ich gestern versucht habe zu verstehen, noch 2 - 3 Fragen.


Dazu noch kurz ein Lemma, den wir im Beweis benötigen:


Lemma:

Sei $G$ endlich und abelsch, $m = Exp(G)$.

Dann ex. ein $k \in \mathbb{N}_{> 0}$ mit $\vert G \vert \mid m^{k}$





Satz:


Sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und $p$ eine Primzahl mit $p \mid \vert G \vert$.

Dann hat $G$ eine Untergruppe der Ordnung $p$.



Beweis:



Da $G$ eine endliche abelsche Gruppe ist, existiert nach Lemma ein $k \in \mathbb{N}_{> 0}$ mit $\vert G \vert \mid Exp(G)^{k}$.

Da $\vert G \vert \mid Exp(G)^{k}$ und nach Voraussetzung $p \mid \vert G \vert$, folgt $p \mid Exp(G)^{k}$

Daraus folgt, dass $p \mid Exp(G)$, da $p$ prim ist.



Nun ist $Exp(G) = kgv (\{ Ord(g) \in \mathbb{N}\; \vert \, g \in G \})$.

Es existiert also ein $g \in G$ mit $p \mid Ordg(g)$.

Weil $p \mid Ord(g)$, ex. ein $r \in \mathbb{N}$ mit $ Ord(g) = r \cdot p$.


Dann hat $g^{r}$ die Ordnung $p$ und $\langle g^{r} \rangle$ ist eine (notwendigerweise zyklische) Untergruppe der Ordnung $p$.




An einigen Stellen komme ich nicht ganz  mit.


Warum folgt, dass $p \mid Exp(G)$, nur weil $p$ prim ist ?


Warum existiert ein $g \in G$ mit $p \mid Ordg(g)$ ?

Und warum hat $g^{r}$ die Ordnung $p$ ?



Der Rest sollte klar sein. Weil $Ord(g^{r}) = p$, hat die Untergruppe $\langle g^{r} \rangle$ Primzahlordnung $p$.

Und damit wäre der Beweis erbracht.



Ich bedanke mich im Voraus.

Lg, Carmen



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05


2020-06-05 07:49 - Carmen_Wag im Themenstart schreibt:

Guten Morgen nochmal.

Es ist heute morgen schon das zweite Mal, dass ich wieder poste, aber es geht um einen anderen Satz und ich wollte nicht den ersten Post damit belasten.


Ich habe zu einem Satz, den ich gestern versucht habe zu verstehen, noch 2 - 3 Fragen.


Dazu noch kurz ein Lemma, den wir im Beweis benötigen:


Lemma:

Sei <math>G</math> endlich und abelsch, <math>m = Exp(G)</math>.

Dann ex. ein <math>k \in \mathbb{N}_{> 0}</math> mit <math>\vert G \vert \mid m^{k}</math>





Satz:


Sei <math>G</math> eine endliche abelsche Gruppe und <math>p</math> eine Primzahl mit <math>p \mid \vert G \vert</math>.

Dann hat <math>G</math> eine Untergruppe der Ordnung <math>p</math>.



Beweis:



Da <math>G</math> eine endliche abelsche Gruppe ist, existiert nach Lemma ein <math>k \in \mathbb{N}_{> 0}</math> mit <math>\vert G \vert \mid Exp(G)^{k}</math>.

Da <math>\vert G \vert \mid Exp(G)^{k}</math> und nach Voraussetzung <math>p \mid \vert G \vert</math>, folgt <math>p \mid Exp(G)^{k}</math>

Daraus folgt, dass <math>p \mid Exp(G)</math>, da <math>p</math> prim ist.



Nun ist <math>Exp(G) = kgv (\{ Ord(g) \in \mathbb{N}\; \vert \, g \in G \})</math>.

Es existiert also ein <math>g \in G</math> mit <math>p \mid Ordg(g)</math>.

Weil <math>p \mid Ord(g)</math>, ex. ein <math>r \in \mathbb{N}</math> mit <math> Ord(g) = r \cdot p</math>.


Dann hat <math>g^{r}</math> die Ordnung <math>p</math> und <math>\langle g^{r} \rangle</math> ist eine (notwendigerweise zyklische) Untergruppe der Ordnung <math>p</math>.




An einigen Stellen komme ich nicht ganz  mit.


Warum folgt, dass <math>p \mid Exp(G)</math>, nur weil <math>p</math> prim ist ?
Das folgt aus der Definition eines Primelementes: teilt eine Primzahl ein Produkt, so wird einer der Faktoren geteilt.



Warum existiert ein <math>g \in G</math> mit <math>p \mid Ordg(g)</math> ?
Nimm das Gegenteil an. Dann gilt <math>Ord(g)\vert m":= \frac{m}{p}</math> für alle <math>g</math> ...


Und warum hat <math>g^{r}</math> die Ordnung <math>p</math> ?
Gegenfrage: was ergibt <math>\left(g^{r}\right)^{p}</math>? Was impliziert dies für <math>Ord(g^{r})</math>?





Der Rest sollte klar sein. Weil <math>Ord(g^{r}) = p</math>, hat die Untergruppe <math>\langle g^{r} \rangle</math> Primzahlordnung <math>p</math>.

Und damit wäre der Beweis erbracht.



Ich bedanke mich im Voraus.

Lg, Carmen



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Carmen_Wag
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Dankeschön für die Hilfe🙂


2020-06-05 08:00 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:



Warum folgt, dass <math>p \mid Exp(G)</math>, nur weil <math>p</math> prim ist ?
Das folgt aus der Definition eines Primelementes: teilt eine Primzahl ein Produkt, so wird einer der Faktoren geteilt.



Genau, das habe ich mir auch gedacht. Aber von welchem Produkt reden wir ?

Mir fällt nur folgendes ein:


Da $Exp(G) = kgV (\{ Ord(g) \; \vert \; g  \in G \})$, gibt es ein $g \in G$ und ein $l \in \mathbb{N}$ mit $ Exp(G) = l \cdot Ord(g)$.

Damit komme ich aber nicht weit.




2020-06-05 08:00 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:

Warum existiert ein <math>g \in G</math> mit <math>p \mid Ordg(g)</math> ?
Nimm das Gegenteil an. Dann gilt <math>Ord(g)\vert m":= \frac{m}{p}</math> für alle <math>g</math> ...






Hier verstehe ich leider auch nicht, was du meinst... $Ord(g) \mid m'$ ist definiert durch $\frac{m}{p}$ ?

Würdest du mir das bitte ausführlicher erklären ?




Und warum hat <math>g^{r}</math> die Ordnung <math>p</math> ?
Gegenfrage: was ergibt <math>\left(g^{r}\right)^{p}</math>? Was impliziert dies für <math>Ord(g^{r})</math>?




Ah, wie konnte ich nur so blind sein...


Es ist $\left (g^{r} \right )^{p} = g^{r \cdot p} = g^{Ord(g)} = e \Rightarrow Ord(g) = p$




Bis auf die zwei oberen Fragen ist mir das ein bisschen klarer.

Freue mich auf eine Rückmeldung.


lg, Carmen



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hippias
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06


2020-06-06 11:49 - Carmen_Wag in Beitrag No. 2 schreibt:
Dankeschön für die Hilfe🙂


2020-06-05 08:00 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:



Warum folgt, dass <math>p \mid Exp(G)</math>, nur weil <math>p</math> prim ist ?
Das folgt aus der Definition eines Primelementes: teilt eine Primzahl ein Produkt, so wird einer der Faktoren geteilt.




Genau, das habe ich mir auch gedacht. Aber von welchem Produkt reden wir ?
Zeile 3 des Beweises.


Mir fällt nur folgendes ein:


Da <math>Exp(G) = kgV (\{ Ord(g) \; \vert \; g  \in G \})</math>, gibt es ein <math>g \in G</math> und ein <math>l \in \mathbb{N}</math> mit <math> Exp(G) = l \cdot Ord(g)</math>.

Damit komme ich aber nicht weit.




2020-06-05 08:00 - hippias in Beitrag No. 1 schreibt:

Warum existiert ein <math>g \in G</math> mit <math>p \mid Ordg(g)</math> ?
Nimm das Gegenteil an. Dann gilt <math>Ord(g)\vert m":= \frac{m}{p}</math> für alle <math>g</math> ...






Hier verstehe ich leider auch nicht, was du meinst... <math>Ord(g) \mid m"</math> ist definiert durch <math>\frac{m}{p}</math> ?

Ja: ich definiere <math>m"= \frac{m}{p}</math>.

Würdest du mir das bitte ausführlicher erklären ?
Leite eine Widerspruch her aus der Aussage: für alle <math>g</math> gilt <math>Ord(g)\vert m"</math>.




Und warum hat <math>g^{r}</math> die Ordnung <math>p</math> ?
Gegenfrage: was ergibt <math>\left(g^{r}\right)^{p}</math>? Was impliziert dies für <math>Ord(g^{r})</math>?




Ah, wie konnte ich nur so blind sein...


Es ist <math>\left (g^{r} \right )^{p} = g^{r \cdot p} = g^{Ord(g)} = e \Rightarrow Ord(g) = p</math>
Obacht: daraus folgt ersteinmal nur <math>Ord(g^{r})\vert p</math> ...




Bis auf die zwei oberen Fragen ist mir das ein bisschen klarer.

Freue mich auf eine Rückmeldung.


lg, Carmen



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