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Analysis » Funktionen » Funktion ℝ → ℝ² invertieren
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Beruf Funktion ℝ → ℝ² invertieren
beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05


Hallo Forum,

Ich hab' mir mal wieder die Ohren eingeklemmt:
2 Funktionen x(t) und y(t) sollen umgeschrieben werden in t(x,y).
Im Prinzip keine Affäre, aber hier bin ich ins Straucheln geraten
\[
x(t)=cos(0,9 \cdot t)\cdot(19.696155 \cdot cos(-t)-1.476009)-20 \cdot sin(0.9 \cdot t)\cdot sin(-t)
\] und
\[
y(t)=20 \cdot cos(0,9 \cdot t)\cdot sin(-t)+sin(0,9 \cdot t)\cdot (19.696155  \cdot cos(-t)-1.476009)
\] Gesucht wird:
\[
t(x,y)
\] Nun, ich hab' schon viel versucht, auch die Taylor-Reihe hab' ich bemüht, sowohl "zu Fuß" als auch mit maxima, aber ohne Erfolg.
Vielleicht hat jemand eine Lösung auf Lager - dafür wäre ich sehr dankbar.
Schöne Grüße
Harald



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05


Hallo

Ich würde beide Funktionen dividieren und dann die Kosinusterme so ausklammern, dass nut noch Tangensterme existieren.

Gruß Caban



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luis52
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-05


2020-06-05 11:12 - beetle_shoe im Themenstart schreibt:
Ich hab' mir mal wieder die Ohren eingeklemmt:

😄😄😄👌

Mit sowas laufe ich seit Geburt rum.

vg Luis



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


#Caban,
hab' ich ausprobiert: teilen, multiplizieren quadrieren(geht in der Regel gut) - aber das Problem (0,9t) und (t) bringt mich an meine Grenzen.

#luis52,
das klingt ja richtig ernüchternd. Ich hatte bis jetzt noch nie, im Rahmen von Aufgaben in der "normalen Schulmedizin", eine unlösbare Umformung auf meinem Papier. Zumal diese Gleichungen aus einer einfachen Koordinaten-System-Transformation stammen: Drehen um Achsen mit unterschiedlichen Winkeln. Das wird also lustig.
Trotzdem danke.
Harald



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haegar90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-05


Mit $k=0,9$ und $\ell=0,1$

$sin(k+\ell) = sin(k) cos(\ell) + cos(k) sin(\ell)$
$cos(k+\ell) = cos(k) cos(\ell) - sin(k) sin(\ell)$


-----------------
Gruß haegar



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05


Hallo haegar90,

ja, das verleitet. Aber es steht 20,0 zu 19,696155, was die Additionstheoreme leider kaputt macht.
Aber danke.
Gruß Harald



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-05


Hallo

Dann denke  ich, dass die einzige Möglichkeit darin besteht die erste Gleichung nach t umzustellen und dann in die zweite einzusetzen, falls das möglich ist. Wie lautet die Orginalaufgabe. Würden dir Näherungslösungen reichen?

Gruß Caban



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-05


Das Problem hier ist wohl auch, dass es für \((x_0,y_0)\) i. A. kein t gibt, sodass \(x(t)=x_0,y(t)=y_0\).

Nimm mal eine einfachere Funktion: \(x(t)=\sin(t),y(t)=\cos(t)\). (Also die Parametrisierung des Einheitskreises.)

Wie sähe denn hier \(t(x,y)\) aus?



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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-05


Hallo
 warum formst du nicht vor deinen Koordinaten-System-Transformationen um, Wa wurde da denn transformiert?
die geplattete Kurve sieht grausig aus.
lul


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Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06 12:49


#Caban
Das ist ja die Vorgehensweise. Aber genau dabei entstehen die Komplikationen.

#StrdAltEntf
Nun, beim Kreis ensteht: \(x^2+y^2=1\).
Heißt das, dass es hierfür keine Lösung t(x,y) gibt? Gäbe es dafür einen Beweis?
Eigentlich ist dies lediglich ein Versuch die Prameterform einer Hypozykloide in die Koordinatenform zu wandeln. Ich muß gestehen, dass mir etwas die Übung fehlt.

#lula
das ist eine Hypozykloide. Hier aus maxima:
oben: die Originalform aus den Achs-Drehungen;
unten: unter Berücksichtigung der Punkt- bzw. Achssymetrie für sin und cos.


Ich hoffe ich hab' keine Tipfehler eingebaut.

Danke Euch für die Mühe.
Gruß
Harald



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-06 14:32


2020-06-06 12:49 - beetle_shoe in Beitrag No. 9 schreibt:
#StrdAltEntf
Nun, beim Kreis ensteht: \(x^2+y^2=1\).
Heißt das, dass es hierfür keine Lösung t(x,y) gibt? Gäbe es dafür einen Beweis?
Eigentlich ist dies lediglich ein Versuch die Prameterform einer Hypozykloide in die Koordinatenform zu wandeln. Ich muß gestehen, dass mir etwas die Übung fehlt.

Du müsstest die Funktion t einschränken auf diejenigen (x, y), für die x² + y² = 1 gilt. Solch eine Funktion gibt es dann und die Funktionsgleichung ist in diesem Fall auch nicht schwer zu finden.

Bei deinem komplizierteren Beispiel sehe ich allerdings schwarz.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-06 17:12

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi beetle_shoe

Du weißt schon, was eine Funktion ist?
Jedem x ist eindeutig ein y-Wert zugeordnet.
Und jetzt denke dir mal nahe am linken oder rechten Rand ($x=\pm 19$) deines Bildchens eine Vertikale eingezeichnet. Wie oft schneidet diese die Kurve?
Dafür kann es keine Funktion geben.

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-06 19:02


hallo
 wie kommst du zu dieser Darstellung, die normale Darstellung ist doch
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bis dann, lul

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06 20:54


#viertel
Nun, sofern es keine politische oder gesellschaftliche ist, ja, grob.
Du hast schon recht - für den Rand. Klar. Aber sonst gibt es für jeden x-Wert 1(einen) bis 4(vier) y-Werte(in unserem Fall). Das macht die Parametrik. Und da kommt mein Nichtwissen ins Spiel: ich denke man kann die parametrische Form in die Koordinaten-Form umschreiben, indem man den beschreibenden Teil der Funktion, der durch ein zuweisendes Teil mit dem benennden Teil der Funktion verbunden ist, als "Ausdruck" behandelt. Und zwar kann man den Ausdruck so umschreiben, dass jedes x,y-Paar einem bestimmten Winkel t zugeordnet werden kann. Das kann unter Umständen auch nur in einem Teilbereich von \( \pi \) gültig sein. Hier könnte das \(\frac{\pi}{10}\) sein. In der eingangs gestellten Aufgabe wird jedem t ein x,y-Paar, durch die beiden parametrischen Gleichungen zugeteilt. Beim (Einheits-)Kreis ist es einfach. Mit \(x(t)=sin(t)\) und \(y(t)=cos(t)\) kommt man durch das Umschreiben auf \(x^2+y^2=1\), womit das Problem gelöst wäre. Nicht aber bei meinem Problem.
Wenn das in meinem Fall nicht gehen sollte, dann bräuchte ich einen Beweis - den hab' ich nirgends in meinen Büchern gefunden. Auch hab' ich keinen Vermerk gefunden, der sagt, dass das in bestimmten Fällen nicht geht.
Ich wollte keine großen Umstände machen. Ich bin kein großer Mathe-Spezialist, weil ich meine mechanischen Problem mit einfachen mathematischen Mittel bewältigen kann. Das hier ist ein Ausnahme - aber ich gestehe, für mich hoch interessant.

#lul
Die von Dir gebrachten param. Gleichungen sind eine Art der Beschreibung einer Hypozykloide - kommt in den Lehrbücher sehr oft vor. Aber es gibt noch mindesten zwei (oder mehr) weitere Beschreibungsformen.
Die von mir verwendete stammt aus dem Abwälzen eines Zahnrades mit 10 Zähne über ein feststehndes Zahnrad mit 9 Zähne - dann ensteht diese Kurve. Ich verwende die von Dir gebrachte Form nicht, weil R, r und a nur einen indirekten Bezug zu meiner Verzahnung haben. Du wirst sehen die beiden Radien sind sehr klein und liegen im Zentrum des CSys.
Zu den Werten:
19,696155 - 1,476009 = 18,220145 ist der kleinste Abstand zur Mitte und
19,696155 + 1,476009 = 21,172164 ist der größte Abstand zur Mitte. (Und wenn mich nicht alles täuscht, dann ist 1,476009 = R -r.)
Aber auch hier, angenommen man kennt R, r und a zeigt sich ein Problem: es steht \(cos(\phi)\) neben \(cos(\phi \frac{R-r}{r})\).

Gruß
Harald



 
 



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-07 14:57


Hallo

Du könntest immer noch eine Näherungslösung probieren.

Gruß Caban



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-08 09:22


Hi Caban,

Eine Näherungslösung wäre natürlich auch eine Möglichkeit. Ich habe bereits den guten Taylor bemüht, aber leider scheitere ich dann an einem hochgradigen Polynom. Lediglich bei der 3. Potenz geht was. Das bedeutet dass von sin und cos jeweils bloß 2 Glieder der jeweiligen Reihe verwendbar wären. Dann jab ich es aufgegeben.
Gruß Harald



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-06-08 09:56


Hallo

ich würde für x und y Tangenten anlegen und mit diesen rechnen. Wenn die Abweichung tu groß wid, kannst du wieder Tangenten anlegen.


Gruß Caban



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-09 08:46


Hallo Caban,

das mit den Tangenten hab' ich noch nicht probiert. Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau wie das ablaufen soll. Kannst Du das näher erklären, dann probier ich es aus. Ich hab allerdings einige Versuche mit der 1. Ableitung gemacht - ist auch übel. Gestern hab' ich nochmal den Taylor, bis \(t^3\), bemüht. Das Ergebnis waren 3 imaginäre Wurzeln.
Gruß
Harald



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-06-09 10:23


Hallo

Du legst für x(t) und y(t) Tangenten an der Stelle x=0, dann legst du Tangenten an und parametrisierst damit, danach legst du Tangenten an t=0,1 an. usw.

Gruß Caban



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-09 14:21


Hallo Caban,

Damit ich Dich richtig verstehe: \(x^{'}(t)\) und \(y^{'}(t)\) für \(t=0\), für \(t=0,1\) usw. Das ginge. Aber wie komme ich dann zu \(t(x,y)\)? Da komme ich noch nicht ganz mit.
Gruß
Harald



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-06-09 22:53


Hallo
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Gruß Caban



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-10 21:05


Hallo Caban,

na ja \(m=\frac{y'}{x'}\), nach t abgeleitet. Und dann wird das Ganze noch einen Tik komplexer. Oder siehst Du etwas das ich nicht sehe?
Grß Harald



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2020-06-10 21:24


Hallo

Nein, ich meine einzelne Tangenten, eine für x eine y.

Dann kannst du die Tantente für x nach t umstellen und in y einsetzen.

Gruß Caban



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beetle_shoe
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-11 18:59


Hallo Caban,

Auch dann bleiben mir die Kombinationen vom Typ \(cos(0,9 \cdot t)\) und \(cos(t)\) erhalten.

Aber, da die beiden eingangs gezeigten Gleichungen aus einer Kinematik stammen, hab' ich in einem Buch für Robotik nachgelesen, dass es bei der Rückwärtskinematik zu Problemen kommen kann. Wie zum Beispiel: die inverse der Funktion ist u.U. nicht explizit darstellbar, oder eine Lösung ist u.U. nich eindeutig, oder es existiert keine Lösung.

Das kann hier der Fall sein. Bzw. da war bei mir die Luft 'raus.

Ich will mich nochmal bei allen bedanken, es war interssant.

Bleibt gesund
Gruß Harald



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-06-11 20:08


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Gruß Caban



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-15 18:54


Hallo Caban,

Klar, wenn ich numerisch werde, ist die Tangente eine Linie. Die Werte hab' auch ich erhalten. Aber da ich in etwa zum Beispiel 3600 Ableitungspunkte habe, würde ich das gerne literal lösen. Das heißt dass hinter 1,11 steckt eigentlich \(\frac{dx(t)}{dt}\big|_{t=1}\) und so weiter.
Kann man das überhaupt literal angehen? Kann es sein dass es ein Verfahren gibt, welches diese Tangenten verwendet um damit die von Dir angesprochene Näherung erzielen?
Gruß
Harald



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beetle_shoe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
beetle_shoe hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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