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Lineare Algebra » Eigenwerte » Komplexe Eigenwerte von Matrizen
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Universität/Hochschule Komplexe Eigenwerte von Matrizen
LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-05


Hallo,
ich verstehe folgende Aufgabe einfach gar nicht und würde mich über Hilfe freuen!

Sei $A \in M_{n,n}(\mathbb{R})$ und sei $\lambda = a + ib \in \mathbb{C}
 (b\neq0)$ ein nicht-reeller Eigenwert von A mit zugehörigem Eigenvektor $u + iv \in \mathbb{C^n}, u, v \in \mathbb{R^n}$ (1)

Zeigen Sie, dass $A(u) = au − bv, A(v) = bu + av$ und dass $u, v \in \mathbb{R}$ von (1) linear unabhängig sind.

Was genau verstehe ich unter A(u) und A(v) und wie komme ich drauf?
Tipps? :(



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

$A(u)\in \IR^n$ ist einfach das Ergebnis der Multiplikation der Matrix $A$ mit dem Vektor $u$. Meistens schreibt man dafür einfach $Au$.

Zum Eigenwert $\lambda \in \IC$ von $A$ gibt es einen Eigenvektor $w\in \IC^n$, $w\not=0$.
Wenn man $w$ komponentenweise in Real- bzw. Imaginärteil zerlegt, erhält man $w=u+iv$ mit eindeutig bestimmten $u,v\in \IR^n$.

Zur Aufgabe:
Kannst du zeigen, dass $\overline w := u-iv$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\overline \lambda$ ist?

Wenn du anschließend $u$ als eine Linearkombination von $w$ und $\overline w$ darstellst, dann kannst du $Au$ ausrechnen. Analog für $Av$.

 
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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)

Erstmal vielen Dank für deine Hilfe, Nuramon!

Nach Definition des Komplexkonjugierten ist $\bar{\lambda}=a-ib \in \mathbb{C}$ auch ein Eigenwert.

Bei einem anderen Prof hatten wir mal als Bemerkung, dass für konjugiert komplexe Eigenwerte $\lambda$ und $\bar{\lambda}$ gilt: v ist EV von A zum EW $\lambda \iff \bar{v}$ ist EV von A zum EW $\lambda$, was wir leider nicht bewiesen haben :(

Aber in der Vorlesung hatten wir den Satz "für alle $\lambda \in \mathbb{C}$ gilt $V_{\bar{\lambda}} = \overline{V_{\lambda}}$
(wobei $V_{\lambda}$ $\lambda$-Eigenraum)" Reicht das wegen $Aw=\lambda w \iff \overline{Aw} = \overline{\lambda w} = \overline{\lambda} \cdot \overline{w}$ und $\overline{w}\in V_{\bar{\lambda}}$ EV, um zu zeigen, dass $\overline w := u-iv$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\overline \lambda$ ist?

2020-06-05 23:08 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:

Wenn du anschließend $u$ als eine Linearkombination von $w$ und $\overline w$ darstellst, dann kannst du $Au$ ausrechnen. Analog für $Av$.
Wie mach ich das denn?? u ist doch der Realteil von w, wie kann ich ihn dann als Linearkombination schreiben?

Danke im Voraus!

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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-05 23:39 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
Nach Definition des Komplexkonjugierten ist $\bar{\lambda}=a-ib \in \mathbb{C}$ auch ein Eigenwert.
Also aus der Definition allein folgt nicht, das $\overline \lambda$ ein Eigenwert ist.


Bei einem anderen Prof hatten wir mal als Bemerkung, dass für konjugiert komplexe Eigenwerte $\lambda$ und $\bar{\lambda}$ gilt: v ist EV von A zum EW $\lambda \iff \bar{v}$ ist EV von A zum EW $\lambda$, was wir leider nicht bewiesen haben :(
Zum Glück darf man als Mathestudent manchmal auch selber denken.😉


Aber in der Vorlesung hatten wir den Satz "für alle $\lambda \in \mathbb{C}$ gilt $V_{\bar{\lambda}} = \overline{V_{\lambda}}$
(wobei $V_{\lambda}$ $\lambda$-Eigenraum)"
Dann habt ihr es ja doch schon bewiesen.


Reicht das wegen $Aw=\lambda w \iff \overline{Aw} = \overline{\lambda w} = \overline{\lambda} \cdot \overline{w}$ und $\overline{w}\in V_{\bar{\lambda}}$ EV, um zu zeigen, dass $\overline w := u-iv$ ein Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\overline \lambda$ ist?
Das ist beinahe ein Beweis. Du hast bisher gezeigt, dass $\overline w$ ein Eigenvektor von $\overline A$ zum Eigenwert $\overline \lambda$ ist. Wir wollen aber, dass $\overline w$ ein Eigenvektor von $A$ ist. Woraus folgt das?


2020-06-05 23:08 - Nuramon in Beitrag No. 1 schreibt:

Wenn du anschließend $u$ als eine Linearkombination von $w$ und $\overline w$ darstellst, dann kannst du $Au$ ausrechnen. Analog für $Av$.
Wie mach ich das denn?? u ist doch der Realteil von w, wie kann ich ihn dann als Linearkombination schreiben?
Wenn du die Beziehung zwischen $w,\overline w$ und $u,v$ nicht sowieso schon kennst (z.B. aus dem eindimensionalen Fall) oder raten kannst, dann schreib doch einfach mal in Formeln auf, was ich in Worten behauptet habe und versuche es zu beweisen.
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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06

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Mhm... ich verstehe das noch nicht so ganz...

2020-06-06 00:05 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Also aus der Definition allein folgt nicht, das $\overline \lambda$ ein Eigenwert ist.
Wie zeige ich denn, dass das Komplexkonjugierte auch ein Eigenwert ist? A ist doch reell und komplexe Eigenwerte treten dann doch als konjugiert komplexe Paare auf



Wenn du die Beziehung zwischen $w,\overline w$ und $u,v$ nicht sowieso schon kennst (z.B. aus dem eindimensionalen Fall) oder raten kannst, dann schreib doch einfach mal in Formeln auf, was ich in Worten behauptet habe und versuche es zu beweisen.

Die Beziehung ist doch: $w=u + iv$ und $\bar{w}= u -iv$ und u als Linearkombination von w und $\bar{w}$ hat die Form $u= \sum_{i=1}^n s \cdot w_i + \sum_{i=1}^n t \cdot \bar{w_i}$, wie bestimme ich das und wie hilft mir das weiter?

Hilfeeee
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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-06

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2020-06-06 00:33 - LamyOriginal in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-06-06 00:05 - Nuramon in Beitrag No. 3 schreibt:
Also aus der Definition allein folgt nicht, das $\overline \lambda$ ein Eigenwert ist.
Wie zeige ich denn, dass das Komplexkonjugierte auch ein Eigenwert ist? A ist doch reell und komplexe Eigenwerte treten dann doch als konjugiert komplexe Paare auf
Wenn ihr das schon bewiesen habt ist das in Ordnung. Es ist aber halt nicht die Definition.



Wenn du die Beziehung zwischen $w,\overline w$ und $u,v$ nicht sowieso schon kennst (z.B. aus dem eindimensionalen Fall) oder raten kannst, dann schreib doch einfach mal in Formeln auf, was ich in Worten behauptet habe und versuche es zu beweisen.

Die Beziehung ist doch: $w=u + iv$ und $\bar{w}= u -iv$ und u als Linearkombination von w und $\bar{w}$ hat die Form $u= \sum_{i=1}^n s \cdot w_i + \sum_{i=1}^n t \cdot \bar{w_i}$, wie bestimme ich das und wie hilft mir das weiter?

Hilfeeee
Die Komponenten von $w$ und $\overline w$ brauchst du gar nicht.
Gesucht sind $s,t\in \IC$ mit $u= sw+t\overline w$. Setze in diese Gleichung $w=u+iv$ und $\overline w = u-iv$ ein und vergleiche Koeffizienten um ein lineares Gleichungssystem für $s,t$ zu erhalten.

Übrigens soll in deiner Aufgabe ja auch noch gezeigt werden, dass $u,v$ linear unabhängig sind. Kannst du zeigen, dass $w,\overline w$ linear unabhängig sind?
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-06 13:44 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Die Komponenten von $w$ und $\overline w$ brauchst du gar nicht.
Gesucht sind $s,t\in \IC$ mit $u= sw+t\overline w$. Setze in diese Gleichung $w=u+iv$ und $\overline w = u-iv$ ein und vergleiche Koeffizienten um ein lineares Gleichungssystem für $s,t$ zu erhalten.
Durch Einsetzen erhalte ich ja: $u=s(u+iv)+t(u-iv)$.
Ist dann das lineares Gleichungssystem für $s,t$:
$\begin{pmatrix} u & -u& \vert u \\ iv & -iv& \vert u \end{pmatrix}$ ?
Nun weiß ich nicht wie ich weiter machen soll... muss ich s,t und dann u berechnen, damit ich es dann für $Au=\lambda u$ einsetzen kann?

2020-06-06 13:44 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Übrigens soll in deiner Aufgabe ja auch noch gezeigt werden, dass $u,v$ linear unabhängig sind. Kannst du zeigen, dass $w,\overline w$ linear unabhängig sind?
ich habe $w=u+iv$ und $\bar{w}=u-iv$ in ein LGS überführt und bekomme mit dem Gauß-Verfahren keine Nullzeile:
$\begin{pmatrix} 1 & i& \vert 0 \\ 1 & -i& \vert 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & i& \vert 0 \\ 0 & -2i& \vert 0 \end{pmatrix}$
Somit folgt $t_1w + t_2\bar{w}=0$, nur wenn $t_1=t_2=0$ und somit folgt auch die lineare Unabhängigkeit.


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-06

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2020-06-06 15:09 - LamyOriginal in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-06-06 13:44 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Gesucht sind $s,t\in \IC$ mit $u= sw+t\overline w$. Setze in diese Gleichung $w=u+iv$ und $\overline w = u-iv$ ein und vergleiche Koeffizienten um ein lineares Gleichungssystem für $s,t$ zu erhalten.
Durch Einsetzen erhalte ich ja: $u=s(u+iv)+t(u-iv)$.
Vereinfache diese Gleichung indem sie auf die Form $0=?u+??v$ bringst.
Löse dann das Gleichungsystem $?=0, ??=0$ um mögliche Werte für $s,t$ zu bestimmen.


2020-06-06 13:44 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
Übrigens soll in deiner Aufgabe ja auch noch gezeigt werden, dass $u,v$ linear unabhängig sind. Kannst du zeigen, dass $w,\overline w$ linear unabhängig sind?
ich habe $w=u+iv$ und $\bar{w}=u-iv$ in ein LGS überführt und bekomme mit dem Gauß-Verfahren keine Nullzeile:
$\begin{pmatrix} 1 & i& \vert 0 \\ 1 & -i& \vert 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & i& \vert 0 \\ 0 & -2i& \vert 0 \end{pmatrix}$
Somit folgt $t_1w + t_2\bar{w}=0$, nur wenn $t_1=t_2=0$ und somit folgt auch die lineare Unabhängigkeit.
Du benutzt hier die lineare Unabhängigkeit von $u,v$ um die lineare Unabhängigkeit von $w,\overline w$ zu folgern.
Erstere ist aber zu beweisen.
Der Tipp war so gedacht, dass du erst zeigst, dass $w,\overline w$ linear unabhängig sind (benutze dazu, dass $w,\overline w$ Eigenvektoren von $A$ sind) und daraus dann die lineare Unabhängigkeit von $u,v$ folgerst.
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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06

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2020-06-06 15:35 - Nuramon in Beitrag No. 7 schreibt:
Vereinfache diese Gleichung indem sie auf die Form $0=?u+??v$ bringst.
Löse dann das Gleichungsystem $?=0, ??=0$ um mögliche Werte für $s,t$ zu bestimmen.
ich habe $t= \frac{-i}{2v}$ und $s=\frac{-3i}{2v}$, da kommen aber dann komische zahlen raus, wenn ich sie in die Gleichung u=... einsetze...
Kann ich nicht einfach schreiben: $Au + i Av = A \cdot \underbrace{u+iv}_{=:w} = \lambda (u+iv) = (a+ib)(u+iv) = au+aiv+ibu-bv = au-bv+i(bu+av)$


Du benutzt hier die lineare Unabhängigkeit von $u,v$ um die lineare Unabhängigkeit von $w,\overline w$ zu folgern.
Erstere ist aber zu beweisen.
Der Tipp war so gedacht, dass du erst zeigst, dass $w,\overline w$ linear unabhängig sind (benutze dazu, dass $w,\overline w$ Eigenvektoren von $A$ sind) und daraus dann die lineare Unabhängigkeit von $u,v$ folgerst.
Kann ich das mit dem Satz zeigen, dass wenn $w_j$ Eigenvektor von f zum Eigenwert $\lambda_j$ für $j = 1,..., n$ und gilt $\lambda_i \neq \lambda_j$ für alle $i \neq j$, so sind $w_j$ linear unabhängig und da hier gilt: $w=u-iv$ und man ja jede komplexe Zahl als Linearkombination von zwei linear unabhängigen komplexen Zahlen mit reellen Koeffizienten darstellen kann, sind somit auch u,v linear unabhängig?

Danke!
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-06

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2020-06-06 15:58 - LamyOriginal in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-06-06 15:35 - Nuramon in Beitrag No. 7 schreibt:
Vereinfache diese Gleichung indem sie auf die Form $0=?u+??v$ bringst.
Löse dann das Gleichungsystem $?=0, ??=0$ um mögliche Werte für $s,t$ zu bestimmen.
ich habe $t= \frac{-i}{2v}$ und $s=\frac{-3i}{2v}$, da kommen aber dann komische zahlen raus, wenn ich sie in die Gleichung u=... einsetze...
Allein an der Tatsache dass da $v$ im Nenner steht, du also durch einen Vektor teilst, solltest du schon merken dass etwas falsch ist.


Kann ich nicht einfach schreiben: $Au + i Av = A \cdot \underbrace{u+iv}_{=:w} = \lambda (u+iv) = (a+ib)(u+iv) = au+aiv+ibu-bv = au-bv+i(bu+av)$
Kannst du auch machen, ist halt ein anderer Ansatz zu der Aufgabe.
Es ist trotzdem sinnvoll (für den anderen Teil der Aufgabe), wenn du dir überlegst, wie du $u$ bzw. $v$ jeweils als Linearkombination von $w,\overline w$ darstellen kannst.


Du benutzt hier die lineare Unabhängigkeit von $u,v$ um die lineare Unabhängigkeit von $w,\overline w$ zu folgern.
Erstere ist aber zu beweisen.
Der Tipp war so gedacht, dass du erst zeigst, dass $w,\overline w$ linear unabhängig sind (benutze dazu, dass $w,\overline w$ Eigenvektoren von $A$ sind) und daraus dann die lineare Unabhängigkeit von $u,v$ folgerst.
Kann ich das mit dem Satz zeigen, dass wenn $w_j$ Eigenvektor von f zum Eigenwert $\lambda_j$ für $j = 1,..., n$ und gilt $\lambda_i \neq \lambda_j$ für alle $i \neq j$, so sind $w_j$ linear unabhängig
Ja, kannst du.


und da hier gilt: $w=u-iv$ und man ja jede komplexe Zahl als Linearkombination von zwei linear unabhängigen komplexen Zahlen mit reellen Koeffizienten darstellen kann, sind somit auch u,v linear unabhängig?
Du solltest einerseits darauf achten zwischen komplexen Zahlen und Vektoren zu unterscheiden. Andererseits hast du keine Begründung dafür gegeben, dass $u,v$ linear unabhängig sind.
Überlege dir, dass $u,v$ den gleichen Unterraum aufspannen wie $w,\overline w$.
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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-08 13:44


Hallo, ich komme bei der linearen Unabhängigkeit leider auch nicht weiter.
Ich hab gezeigt, dass \(w,\overline{w}\) linear unabhängig. Wie hilft mir die Info, dass u,v den gleichen Unterraum aufspannen wie \(w,\overline{w}\)?
LG



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-08 13:52

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Welche Dimension hat denn der von $w,\overline w$ aufgespannte Unterraum?
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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-08 14:32


n oder? spannen die beiden Vektoren nicht einfach \( \mathbb{C}^n\) auf?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-06-08 14:35

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Nein. Dann hätte $\IC^n$ ja eine Basis aus zwei Elementen, was nur für $n=2$ wahr sein kann.
\(\endgroup\)


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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-08 14:36


Dann weiß ich nicht genau wie das ist🙁
Vielleicht ein kleiner Denkanstoß?



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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-06-08 14:44


Weil \(w,\overline{w}\) den gleichen Raum wie \(u,v\) aufspannen, folgt dass u,v linear unabhängig sind und direkt auch dass u,v von u+iv linear unabhängig sind? Wolltest du darauf hinaus? Oder überspringe ich was?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-06-08 14:44

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
$w,\overline w$ ist eine Basis des von $w,\overline w$ erzeugten Unterraumes (genauer: $\IC$-Unterraumes) $U$ von $\IC^n$, denn $w,\overline w$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von $U$.

Über $u,v$ wissen wir, dass $u,v$ ein Erzeugendensystem von $U$ ist.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2020-06-08 14:49


2020-06-08 14:44 - hanuta2000 in Beitrag No. 15 schreibt:
und direkt auch dass u,v von u+iv linear unabhängig sind?
Was soll dieser Satz bedeuten? Eine Menge von Vektoren kann linear unabhängig sein. Eine Definition von "zwei Vektoren sind linear unabhängig von einem dritten Vektor" kenne ich nicht.



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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-06-08 14:51


Ich meinte, dass jeweils u von w und v von w linear unabhängig ist.
Bzw ist das doch was ich zeigen muss:


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2020-06-08 14:54

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Das ist wohl nur eine ungeschickte Formulierung. Gemeint ist es so:
Zeige, dass die in (1) definierten Vektoren $u,v\in \IR^n$ linear unabhängig sind.
\(\endgroup\)


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hanuta2000
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2020-06-08 15:03


Na toll😄 na dann setze ich mich heute Abend noch Mal dran und überlege was ich aus deiner Hilfestellung mache
Danke dir! Melde mich spätestens morgen noch Mal wenn ich nicht weiter komme



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