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Mathematik » Stochastik und Statistik » P(beide sind Asse | Herz-Ass ist dabei) = 1/2 ist falsch (warum?)
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Universität/Hochschule P(beide sind Asse | Herz-Ass ist dabei) = 1/2 ist falsch (warum?)
math_help
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06


Hat jemand eine Idee dazu? Hab zwar schon einen Ansatz, aber bin nicht sicher ob der passt.

Jemand zieht aus drei Spielkarten {Herz-Ass, Pik-Ass, Bube} zufällig zwei Karten heraus. Überlegen Sie zunächst auf mindestens zwei verschiedene Arten, dass P(beide gezogene Karten sind Asse) = 1/3 ist. Was ist an folgender Argumentation, die zum Wert 1/2 führt falsch:
Klar: P(beide sind Assen | Herz-Ass ist dabei)=1/2 (warum?)
      P(beide sind Assen | Herz-Pik ist dabei)=1/2
Ein Ass ist ja sicher dabei, und in beiden Fällen beträgt die W', dass die andere Karte auch ein Ass ist, 1/2; also beträgt die gesuchte W' 1/2.

Besonders bei (2) bräucht ich einen Tipp. (Also warum die Argumente falsch sind)



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06


Hallo math_help und willkommen hier im Forum!

Überlege einmal: schaffst du es, aus diesen drei Karten zwei Asse zu ziehen, ohne dass das Herz-As dabei ist? ...


Gruß, Diophant



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math_help
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


ja klar, der bube könnte auch dabei sein.
aber die bedingung P(beide sind Assen | Herz-Ass ist dabei)ist ja schon eingeschränkt, dass ein Ass dabei ist...



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06


Hallo,

ich glaube, du hast den Sinn meiner Andeutung noch nicht ganz verstanden (ich habe da auch ein wenig über die Bande gespielt...).

Dann werfe ich mal noch ein weiteres Stichwort in den Raum: Ziegenproblem©...


Gruß, Diophant

© by StrgAltEntf 😎



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-06


2020-06-06 20:27 - Diophant in Beitrag No. 3 schreibt:
Dann werfe ich mal noch ein weiteres Stichwort in den Raum: Ziegenproblem©...

Gruß, Diophant

© by StrgAltEntf 😎

Hallo,

ich schrieb, dass es mich an das Ziegenproblem erinnert. Die völlige Analogie sehe ich aber ehrlich gesagt noch nicht.



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-06


Den Zusammenhang mit dem Ziegenproblem sehe ich nicht.

P(Beide sind Asse) = P(Herz-Ass ist dabei) * P(Beide sind Asse | Herz-Ass ist dabei) = P(Pik-Ass ist dabei) * P(Beide sind Asse | Pik-Ass ist dabei) = 2/3 * 1/2 = 1/3

Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind korrekt und liefern das richtige Ergebnis.

Falsch ist nur die (woher auch immer genommene Vermutung), dass allgemein $P(A|B)=P(A)$ gelten würde.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-06


@StrgAltEntf:
ja du hast mit deinen Zweifeln recht. Da bin ich etwas vorschnell gewesen.

@mathe_help:
Das verwirrende an der Aufgabe ist die Tatsache, dass das Ergebnis stimmt.

Man soll also herausfinden, warum die beiden "Begründungen" nicht ausreichend sind.

Mache dir dazu klar, dass es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt und zeichne vielleicht einmal ein Baumdiagramm.


Gruß, Diophant



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-06


Dass die fragwürdige Argumentation aus dem Themenstart nicht stimmt, ist klar. Hier mal ein anderes Beispiel.

An der Universität Klein Wümmede studieren alle Sozialpädagogik oder sie sind Vegetarier. Etliche der Studierenden sind sogar vegetarische Sozialpädagogen.

Eine Zählung ergab, dass die Hälfte der Sozialpädagogen männlich sind. Eine weitere Zählung ergab, dass die Hälfte der Vegetarier männlich sind.

Naiv könnte man nun annehmen, dass die Hälfte der Studierenden männlich sind.

Es stellt sich aber heraus, dass das nur für ein Drittel der Fall ist.

Des Rätsels Lösung: Unter den vegetarischen Sozialpädagogen ist der Anteil der männlichen Studierenden besonders hoch.

Übersetzung zum ursprünglichen Problem:

männlich \(\hat=\) beide Karten sind Asse
Sozialpädagogik \(\hat=\) eine der beiden Karten ist Herz-Ass
Vegetarier \(\hat=\) eine der beiden Karten ist Pik-Ass

Des Rätsels Lösung \(\hat=\) wenn beide Karten Asse sind, dann ist das Herz-Ass und das Pik-Ass dabei



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-06


@StrfAltEntf:
2020-06-06 22:37 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
Dass das Ergebnis nicht stimmt, ist klar...

Das verstehe ich nun nicht. Wenn man sich die Karten als hintereinander gezogen denkt, dann ist das ein zweistufiges Zufallsexperiment mit sechs gleichwahrscheinlichen Ausgängen. Vier davon enthalten das Herz-As (oder eine der beiden anderen Karten).

Zwei Ausgänge bestehen darin, dass beide Asse gezogen werden.

Dein Gedankenexperiment konnte ich jetzt mit der vorliegenden Aufgabe nicht identifizieren. Könntest du das noch näher erläutern?


Gruß, Diophant



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Cxl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-06


Hey,

also meinem Verständnis nach ist der Wert $1/2$ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit korrekt. Das kann man etwa mit Bayes sehen:
\[
   P(\text{Beide Ass} \vert \text{Herz-Ass dabei}) = \frac{P(\text{Herz-Ass dabei} \vert \text{Beide Ass}) P(\text{Beide Ass})}{P(\text{Herz-Ass dabei})}\text{,}
\] wobei
\[
   P(\text{Beide Ass}) = 1/3 \quad \text{und} \quad P(\text{Herz-Ass dabei}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\text{.}
\] Außerdem ist klar, dass $P(\text{Herz-Ass dabei} \vert \text{Beide Ass}) = 1$. Setzen wir das alles wieder oben ein, erhalten wir gerade $1/2$ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Die Aufgabe will vermutlich darauf aufmerksam machen, dass
\[
   P(\text{Beide Ass & Herz-Ass dabei}) = P(\text{Beide Ass})
\] gilt. Oder etwas abstrakter geschrieben:
\[
P(A \cap B) = P(A \vert B) P(B) = P(B \vert A) P(A) = P(A)\text{,}
\] wobei das letzte Gleichheitszeichen eben nur gilt, da in diesem Fall $P(B \vert A) = 1$ ist.

Gruß,
Cxl



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-06


2020-06-06 22:57 - Diophant in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-06-06 22:37 - StrgAltEntf in Beitrag No. 7 schreibt:
Dass das Ergebnis nicht stimmt, ist klar...

1) Das verstehe ich nun nicht.

2) Dein Gedankenexperiment konnte ich jetzt mit der vorliegenden Aufgabe nicht identifizieren. Könntest du das noch näher erläutern?

1) Ich habe es mal umformuliert. Hoffe, es ist nun klarer.

2) Ich versuche es mal.

Betrachte folgende Ereignisse:

E: Beide Karten sind Asse
A: Eine der beiden Karten ist Herz-Ass
B: Eine der beiden Karten ist Pik-Ass

Dann ist P(E | A) = 1/2, P(E | B) = 1/2, P(E) = 1/3

Nun mein Gedankenexperiment:

E: Studierender ist männlich
A: Studierender ist Sozialpädagoge
B: Studierender ist Vegetarier

Dann ist P(E | A) = 1/2, P(E | B) = 1/2, P(E) = 1/3

Hoffe, es ist nun klarer 😃

Grüße
StrfAltEntf

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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StrgAltEntf
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Hallo Cxl,

2020-06-06 23:27 - Cxl in Beitrag No. 9 schreibt:
also meinem Verständnis nach ist der Wert $1/2$ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit korrekt.

Welche gesuchte Wahrscheinlichkeit meinst du hier? Doch nicht etwa P(beide Karten sind Asse)? Die ist doch zweifelsfrei 1/3.



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Cxl
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Hi StrgAltEntf,

ich meine die in meinem Beitrag berechnete WK dafür, dass beide Karten Asse sind, gegeben, dass eine davon Herz-Ass ist. Die unbedingte WK dafür, dass man zwei Asse erhält, ist 1/3, wie ich zuvor auch angegeben habe.

Gruß,
Cxl



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math_help
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@Diophant: Baumdiagramm habe ich bereits gemacht, also Teil (1) der Aufgabe beantwortet.


und damit 1/3 * 1/2 + 1/3 * 1/2 = 1/3
oder auch

. 3 Möglichkeiten Karten zu ziehen: (Herz-Ass, Pik-Ass); (Herz-Ass, Bube); (Pik-Ass, Bube) -> P(2 Asse)=1/3

@cxl: widerspricht sich das nicht P(Beide Ass & Herz-Ass dabei)=P(Beide Ass) wäre ja 1/2=1/3, und du meintest ja dass die Annahme 1/2 richtig ist.
Könntest du mir vielleicht auch erklären, wie du auf P(Herz-Ass ist dabei)=2/3 kommst?



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Diophant
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

bei einem mehrstufigen Experiment muss man (zunächsteinmal) ja noch die Reihenfolge beachten, in der in diesem Fall die einzelnen Karten gezogen werden.

Dann wird es klarer: es gibt an deinem Baum insgesamt 4 Pfade, die das Herz-As enthalten. Es gibt aber nur zwei Pfade, die beide Asse enthalten.

Hier haben wir eine bedingte Wahrscheinlichkeit, also müssen wir die Anzahl der Pfade für beide Asse auf die Anzahl der Pfade, in denen das Herz-As gezogen wird, beziehen:

\[P(\text{2 Asse werden gezogen}|\text{Herz-As wurde bereits gezogen})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\]
Während die bloße Warhscheinlichkeit, dass zwei Asse gezogen werden, eben auf die Rechnung

\[P(\text{2 Asse werden gezogen})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]
hinausläuft.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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AnnaKath
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Aus: hier und dort (s. Beruf)
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Huhu zusammen,

meines Erachtens gehen wir hier gar nicht auf die (natürlich falsche) Argumentation der Aufgabenstellung ein.

In der Schreibweise von StrgAltEnt wird dort wie folgt argumentiert:

Es ist $P(E|A)=P(E|B)=\frac12$. Des Weiteren ist $P(A\cup B)=1$. Da also $A$ oder $B$ (fast) sicher eintritt, müsste $P(E)=P(E|A)$ oder $P(E)=P(E|B)$ sein. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten sind gleich, also sei $P(E)=\frac12$.

Ganz so einfach wie es DerEinfältige in No. 5 tut, kann man das Argument m.E. nicht abtun. Es ist natürlich trotzdem falsch.

So ist zwar $P(E)=P(E|A\cup B)$, aber daraus folgert nichts in der Art $P(E|A\cup B)\geq \mathrm{min} \{ P(E|A), P(E|B) \}$ und $P(E|A\cup B)\leq \mathrm{max} \{ P(E|A), P(E|B) \}$, was man für den entsprechenden Beweis bräuchte.

lg, AK.



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