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Analysis » Funktionen » Funktion und / oder Kurve durch beliebige endliche Punktemenge
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Ausbildung Funktion und / oder Kurve durch beliebige endliche Punktemenge
Mandelbrat1729
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Dabei seit: 06.06.2020
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06 17:29


Hallo zusammen

Ich bin mir nicht sicher ob ich die Frage im korrekten Forum gestellt habe.
Wusste aber nicht sicher in welches sie gehört...


Frage:
Sei P eine beliebige endliche Menge von Punkten (bspw. im \(R^2\)).

Gibt es einen Satz der beweist oder widerlegt, dass es zu jeder Menge P eine Funktion
und / oder Kurve gibt, dessen Graph P enthält?
Daher: Kann ich durch jede Punktemenge eine Funktion / Kurve zeichnen?

Wenn ja: Wie allgemein muss mein Funktionsbegriff / Kruvenbegriff sein und welche Typen von Funktionen muss ich voraussetzen, dass ein allfälliger Satz gilt?



Danke für all eure Antworten.
Jegliche Informationen zu diesem Thema sind mir willkommen.


Gruss

Mandelbrat1729



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viertel
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Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06 18:03


Hi Mandelbrat1792

Wenn es für die Kurve keine Restriktionen gibt ist die Aufgabe doch trivial:
Fange bei einem beliebigen Punkt an und verbinde sie der Reihe nach mit einem Streckenzug (also immer zu einem noch nicht benutzten Punkt).

Gruß vom ¼


-----------------
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Mandelbrat1729
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06 18:28


Hallo \(1/4\)

Ja natürlich, tut mir leid, dass ich mich nicht richtig ausgedrückt habe!
Das mit der Kurve ist so schon trivial.

Was ich vergessen habe zu schreiben:

Ich möchte nur Funktionen / Kurven zulassen, welche analytisch formuliert werden können.
Daher beispielsweise nur Polynome oder andere Typen von Funktionen.

Was ich suche ist daher natürlich nicht einfach ein "Strich durch meine Punkte" ;-), sondern ein "Strich durch meine Punkte, den ich formal definieren kann".
Daher sollen nur Funktionen / Kurven zugelassen werden, welche auch durch die herkömmlichen Mathematischen Mittel exakt beschrieben werden können...

Es tut mir Leid, dass ich diese Frage so hier stellen muss, denn ich weiss nicht sicher ob sich durch die oben genannte Voraussetzung etwas am Problem ändert.
Mein Bauchgefühl sagt mir natürlich auch, dass es zu jedem P eine solche Kurve gibt.
Aber erstens weiss ich es nicht mit Sicherheit und zweitens möchte ich ja ein Schritt später auch Kurven Konstruieren können, welche durch meine Punkte verlaufen.

Und:
Falls es so einfach ist (analytische) Kurven zu konstruieren welche durch ein P verlaufen, wieso muss ich dann in der Praxis bspw. eine Interpolation durchführen um eine Lösung zu finden und vor allem, wieso ist dann die Interpolation als Beispiel nicht (zwingend?) exakt?


Ich hoffe damit die Unklarheit geklärt zu haben.


Gruss

Mandelbrat1729








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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06 19:43


Hallo,

wenn \((x_i,y_i)\in\IR^2\) (i = 0, ..., n) und alle \(x_i\) paarweise verschieden sind, dann gibt es stets ein Polynom p (höchstens) n-ten Grades mit \(p(x_i)=y_i\) für alle i.

Wenn n groß ist, ist auch der Grad solch eines Polynoms groß. Deswegen wird in der Praxis interpoliert.



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-06 19:57


Ja, jede endliche Stützstellenvorgabe kann durch Interpolationsfunktionen abgebildet werden.

a) Polynominterpolation

und weitere NICHT-analytische:

b) Trigonometrische Interpolation

c) Nachkommastellen irrationaler Zahlen

d) Pseudozufallsgeneratoren (Iterationsformeln)

...
Hatte ich mal unter hier
vorgestellt.

Der Algorithmus für a) kann bis etwa 8 Stützstellen
hier oben unter y[i] kommagetrennt eingegeben werden und man bekommt unten das fertige Polynom (n-1) Grades.



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-06 20:55


Dass die Interpolation auch praktisch mit zig 1000 (Stützstellen-)Punkten funktioniert zeigen geplottete Bilder unter
Beispielbilder_zum_Universal_Diagramm_Plotter

Für Vektorgrafiken (besonders svg ist geeignet) habe ich einen Konverter "gebastelt", der die Stützstellenpunkte einliest und die trigonometrische Funktion ausgibt.






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