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Universität/Hochschule Wieso darf ich diesen Satz hier anwenden (DGL)?
daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06 17:29


Hi,

ich versuche gerade eine Stelle aus unserem Skript zu verstehen:
$A(X):=\int P(X)dx$ kommutieren für alle $x/in I$
Satz dazu: Es sei I⊂R ein Intervall,x0∈I und P∈(I,Mn(K). Für jedes X∈I gelte A(x)P(x)=P(x)A(x). Dann ist durch Φ(x)=exp(A(x)) ein LFS von y'=Py gegeben.

Jetzt wurde das ganze in einer Aufgabe so angewendet:

P(X)= $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
und man soll dasjenige Lösungsfundamentalsystem Y von y'=Py, für dasY(0)=E2 gilt.

Ich verstehe aber nicht so ganz, wieso ich diesen Satz jetzt verwenden darf. Was ist überhaupt A(X) in diesem Beispiel? Weil in der Aufgabe nur P(X) gegeben ist.
Es wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.

Viele Grüße



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-07 09:40


Hallo,
es geht darum, den recht allgemeinen Satz im Skript auf ein einfaches Beispiel anzuwenden (man könnte auch sagen "mit Kanonen auf Spatzen schießen").

Deine Matrix <math>P(X)</math> hängt überhaupt nicht explizit von <math>X</math> ab, von daher ist <math>A(X)=\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix} X</math>.

Viele Grüße,
haerter


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"The best way to have a good idea is to have lots of ideas."
 - Linus Pauling



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daenerystargaryen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 10:33


Hallo haerter,
vielen Dank für deine Antwort:) Gilt das Prinzip im Allgemeinen für symmetrische Matrizen? Es tut mir schon mal leid, falls dass jetzt eine total dumme Idee ist, aber dürfte ich auch so vorgehen, dass ich P auf obere Dreiecksgestalt bringe und dann den Ansatz mit y'=Py über unsere Lösungsformel machen? Oder wäre dass dann nicht mehr richtig, wenn ich vorher Umformungen an P vorgenommen habe?
LG



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-08 09:58


Hallo,

ich verstehe die Rückfrage nicht ganz.
Zunächst gilt das Prinzip für alle Matrizen <math>P</math> mit konstanten Koeffizienten (die also nicht von <math>X</math> abhängen), ganz unabhängig davon, ob sie symmetrisch sind.
Wenn die Matrix von <math>X</math> abhängt, dann muss man <math>A(x)P(x)=P(x)A(x)</math> nachprüfen, das kann für symmetrische Matrizen verletzt sein (und wird es in den meisten Fällen auch sein), die Symmetrie hilft hier nicht viel.

Dass man die Differentialgleichung leichter löst, indem man <math>P</math> in eine einfachere Form bringt, ist schon eine gute Idee, neben Dreiecksgestalt könnte man auch versuchen die Matrix zu diagonalisieren und damit dann <math>\Phi(x)=\exp(Px)</math> ausrechnen.

Viele Grüße,
haerter


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 - Linus Pauling



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