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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Existenz einer beliebig oft differenzierbaren Funktion, die auf Teilintervallen von R konstant ist
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Universität/Hochschule Existenz einer beliebig oft differenzierbaren Funktion, die auf Teilintervallen von R konstant ist
jlw
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06


Hallo,
ich habe mir mit meinen Kommilitonen nun bereits mehrere Stunden über die folgende Aufgabe den Kopf zerbrochen, jedoch konnten wir sie leider noch nicht lösen:

fed-Code einblenden

Im folgenden bezeichne ich mit fed-Code einblenden den Teil von fed-Code einblenden auf dem Intervall fed-Code einblenden , da ja nur diese Stelle interessant ist und man das andere Intervall ja durch Symmetrie lösen kann. Herausgefunden haben wir bereits, dass es sich bei fed-Code einblenden weder um eine Polynomfunktion, noch um einen Potenzreihe handeln kann. Wir haben dann an etwas in Richtung fed-Code einblenden gedacht. Das Problem ist halt, dass nicht nur fed-Code einblenden und fed-Code einblenden gelten, sondern zusätzlich die Ableitung für x gegen fed-Code einblenden und für x gegen a gegen 0 gehen muss. Um dies zu schaffen, haben wir versucht, das Intervall fed-Code einblenden in zwei Hälften zu teilen und dann zwei modifizierte Exponentialfunktionen zu nutzen, die sich gerade im Punkt fed-Code einblenden treffen. Diese "Lösung" war dann allerdings nur einmal differenzierbar, da es einen Krümmungsruck gab.

Hat irgendjemand eine Idee, wie man das lösen könnte?



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sonnenschein96
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06


Hallo jlw,

der Ansatz \(e^{-\frac{1}{x^2}}\) ist schonmal sehr gut. Zunächst musst Du Dir induktiv überlegen, dass die Funktion \(f\), welche für \(x>0\) durch \(e^{-\frac{1}{x^2}}\) und für \(x\leq0\) durch \(0\) definiert ist, beliebig oft differenzierbar ist. Dies ist der entscheidende Teil, der Dir einen glatten Übergang von der konstanten Nullfunktion zu einer positiven Funktion liefert.

Dann ist natürlich auch \(g(x):= f(x-(a-\varepsilon))f(a-x)\) beliebig oft differenzierbar und gleich \(0\) für \(x\leq a-\varepsilon\) und \(x\geq a\).

Für den glatten Übergang von konstant \(0\) zu konstant \(1\) betrachstest Du eine Stammfunktion: Definiere \(h(x):=\frac{1}{c}\int_{a-\varepsilon}^xg(y)\,dy\) mit einer geeigneten Normierungskonstanten \(c\). Du erhälst dann eine glatte Funktion \(h\), welche \(0\) ist für \(x\leq a-\varepsilon\), streng monoton wachsend auf \((a-\varepsilon,a)\) und \(1\) ist für \(x\geq a\).

Ein ähnliches Prinzip funktioniert dann natürlich auch bei \(b\).





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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-06


In Ergänzung zu den Ideen von sonnenschein96: Weißt du, jlw, was eine Faltung ist?

Viele Grüße

Wally



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jlw
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Dabei seit: 06.06.2020
Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Vielen Dank sonnenschein96,
auf die Idee mit dem Integral sind wir einfach nicht gekommen.

Hallo Wally,
Faltung sagt mir nur was bezüglich arithmetischen Funktionen.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Nuramon
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Mitteilungen: 2235
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Die Abbildung
\[x\mapsto \begin{cases}0 & x \leq 0 \\
 1/\left(1+\exp(\frac 1x +\frac 1{x-1})\right) & 0< x < 1\\
1 & x\geq 1 \end{cases}\] müsste glatt sein (bin mir noch nicht ganz sicher).

Damit sollte man sich dann auch $\varphi$'s bauen können.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8812
Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-06


Hallo, jlw,

dann geh einfach sonnenscheins Weg weiter.

Viele Grüße

Wally



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jlw hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
jlw hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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