Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Berechnung einer Reihe
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Berechnung einer Reihe
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06


Ich komme bei der Berechnung von
fed-Code einblenden
nicht weiter. Die Summe soll als Quotient von Polynomen p/q dargestellt werden.
Wegen dem Quotienten kann ich die Summe nicht in den Zähler und Nenner aufspalten.
Der Nenner kann umgeschrieben werden:
fed-Code einblenden
Die Summe vom Zähler wäre 0, wenn ich nur den Zähler betrachten würde.
Ich kenne noch die Rekursionsformel
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und die Beziehung
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Aber wenn ich die Binomialkoeffizienten ersetze, bleibt immer noch das Summenzeichen stehen.
Hat jemand einen Tipp, wie ich die Summe als p/q schreiben kann? Wie kann ich die Summe von dem Quotienten bestimmen? Gibt da ein "Schema"? Ich habe öfters gesehen, dass man die Binomialkoeffizienten rekursiv ausdrückt. Aber dann komme ich vorerst nicht weiter.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1702
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-06


Huhu Treevision,

du kannst deine Summe als Integral schreiben:

\(\displaystyle \mathcal{S}=\int_0^1 t(1-t)^{n+1} \, \dd t\)

Das ist ein einfaches Betaintegral (oder, falls unbekannt, partiell).

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Vielen Dank für deine Antwort.
Hast du das Integralkriterium angewendet?
Ich habe inzwischen auch Beiträge gelesen über "Unendliche Reihen in Summen umwandeln." Allerdings komme ich nicht auf dein Integral.
fed-Code einblenden
??
Muss ich dann eine Partialbruchzerlegung machen?
Vielleicht kannst du mir einen Hinweis geben oder auf eine Seite verweisen, wo ich Bespiele für mein Problem nachlesen kann. Danke.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Wauzi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11395
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-06


Hallo,
auf ein geeignetes Integral kommt man, wenn man Partialbruchzerlegung anwendet, zk davor setzt und nach trivialen Umformungen ableitet.
Jetzt ist der Nenner weg, die Summe läßt sich berechnen und dann gehts mit Integration wieder rückwärts.
Gruß Wauzi


-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1702
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-06


Huhu Treevision,

um was geht es nun? Sollst du die Summe berechnen, oder geht es hier um Reihe? Sollst du vll auch nur Konvergenz nachweisen? Das Integralkriterium ist ja nur ein Konvergenzkriterium für Reihen, das solltest du vll nochmal durchlesen (auch die Voraussetzungen).

Um deine Summe zu berechnen solltest du erstmal eine PBZ für \(\frac{1}{k^2+5k+6}\) machen. Das ist nicht schwierig.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Danke euch beiden. Es soll die Summe berechnet werden.
Die PBZ habe ich und kann schreiben:
fed-Code einblenden


Mich irritiert immer noch der Binomialkoeffizient und der Faktor und weiß eben noch nicht, wie ich dies mit dem Summenzeichen "verrechnen" soll.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1702
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-06


Das sieht gut aus. Kannst du deine beiden Summanden in der Klammer nun also \(\int_0^1\) schreiben?

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


fed-Code einblenden

und
fed-Code einblenden

Wenn ich die beiden Integrale in den Term vom vorherigen Post einsetze, habe ich noch nicht die Integrationsgrezen 0 und 1. Und der Binomialkoeffizient ist auch noch da. Mit dem Binomischen Lehrsatz wäre aber die Summe dann 0:
fed-Code einblenden
Danke für die Geduld und Hilfe.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1702
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-06


Das hast du falsch verstanden. Du sollst eine Funktion \(f\) finden mit \(\int_0^1 f(t) \, \dd t=\frac{1}{k+2}\). Als Beispiel: \(\int_0^1 t^k \, \dd t=\frac{1}{k+1}t^{k+1}\bigg|_0^1=\frac{1}{k+1}\).

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Ja habe ich echt total falsch verstanden. Mea culpa.
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Dann habe ich aber immer noch den Binomialkoeffizienten und den Vorfaktor in der Summe?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1702
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-06


Du musst dann Summe und Integral vertauschen, z.B.

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\int_0^1t^{k+1}\, \dd t=\int_0^1 t \color{red}{\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}t^k}\, \dd t\)

Für die rote Summe denke nun an den binomischen Satz.

Gute Nacht,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Vielen Dank.
fed-Code einblenden



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-06


Wenn ich in WolframAlpha das Integral eingebe, kommt
fed-Code einblenden
raus.
Aber wie komme ich auf das Ergebnis mit deinem Hinweis "Betaintegral"?
B(x,y) nach Wikipedia: Hier wäre x=2 aber y nicht definiert?



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1702
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-06-07


Huhu,

\(\displaystyle \mathcal{S}=\int_0^1 t(1-t)^{n+1} \, \dd t=\operatorname{B}\left(2,n+2\right)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(n+2)}{\Gamma(n+4)}=\frac{(n+1)!}{(n+3)!}=\frac{1}{(n+2)(n+3)}\)

Gruß,

Küstenkind



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]