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Universität/Hochschule J Heisenbergsche Bewegungsgleichung
kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-06 21:18


Hallo, folgende Aufgabe:

Beweisen Sie die Heisenbergsche Bewegungsgleichung

\( \displaystyle \frac{dA}{dt} = \frac{ \partial A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [ A, H ] \)

indem Sie die totale Zeitableitung des Integrals

\( \int d \vec{r} \phi^* A \psi \)

berechnen und die zeitabhängige Schrödingergleichung an geeigneter Stelle verwenden, wobei A ein Operator ist und \( \phi \) und \( \psi \) beliebige Wellenfunktionen.

Ich weiß, dass der Beweise auf Wikipedia steht, allerdings nicht mit dem Integralansatz (zumindest sehe ich den nicht) und wir haben auch keinen Zeitentwicklungsoperator.


Der Beweis ist ja offensichtlich ähnlich zum Ehrenfest Theorem und auch dazu hab ich noch eine Frage:
Wir haben gesagt:
\( \displaystyle \frac{dA}{dt} = \frac{ \partial A}{\partial t} + \frac{ \partial A}{\partial x} \frac{ \partial x}{ \partial t} = \frac{ \partial A}{\partial t} \)
Wie komme ich auf das erste = ? Über die Kettenregel der Mehrdimensionalen Analysis? Aber dann müsste der letzte Bruch ja eine totale Ableitung anstatt der partiellen Ableitung sein oder? Das zweite = ergibt sich dadurch, dass im Schrödingerbild Zustände (also z. B. das x) zeitunabhängig sind oder?

Ich habe zufällig ein analoges Problem in der Theoretischen Physik gehabt: (Ich glaube zumindest dass es das gleiche Problem ist)

\( \displaystyle \frac{dH(q_i(t), p_i(t), t)}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial H}{\partial p} \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial t} \)
\( \displaystyle \frac{\partial L(q_i(t),\dot{q}_i(t), t)}{\partial t} = \frac{\partial L}{\partial t} \)

Das erste, also die Hamilton Funktion, müsste ja wieder die Kettenregel für mehrdimensionale Ableitung sein, oder? Aber wie kommt man auf die Lagrange Funktion?

Sorry für den langen Text und die viele Fragen, hoffe es kann mir jemand helfen.

Viele Grüße
kuckuck3



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 11:48


Ich wäre auch schon froh, wenn mir jemand nur einen Teil meiner Fragen beantworten könnte.

Grüße
kuckuck3



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-07 17:08


Hallo!

Bleiben wir erstmal bei der Quantentheorie:

2020-06-06 21:18 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
...

\( \displaystyle \frac{dA}{dt} = \frac{ \partial A}{\partial t} + \frac{ \partial A}{\partial x} \frac{ \partial x}{ \partial t} = \frac{ \partial A}{\partial t} \)
Wie komme ich auf das erste = ? Über die Kettenregel der Mehrdimensionalen Analysis? Aber dann müsste der letze Bruch ja eine totale Ableitung anstatt der partiellen Ableitung sein oder?

Wenn x nur von einer Variablen t abhängt, ist es egal, ob man nach ihr partiell oder total ableitet. Aber das ist hier nicht der Punkt, sondern:

2020-06-06 21:18 - kuckuck3 im Themenstart schreibt:
Das zweite = ergibt sich dadurch, dass im Schrödingerbild Zustände (also z. B. das x) zeitunabhängig sind oder?

Bei der Herleitung der Heisenberg-Bewegungsgleichungen nimmt man für gewöhnlich nicht das Schrödinger-Bild (Zustände zeitabhängig, Operatoren zeitunabhängig), sondern das Heisenberg-Bild (Operatoren zeitabhängig, Zustände zeitunabhängig):
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Grüße
Juergen



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-07 18:14


Hallo,

dann weiter mit Deiner eigentlichen Aufgabe, wobei der Begriff "Heisenberg'sche Bewegungsgleichung" in diesem Zusammenhang etwas irreführend ist, weil Du, wie Du schreibst, den Zeitentwicklungsoperator nicht verwenden sollst, und lediglich von der Schrödinger-Gleichung die Rede ist. Einfach nur "Bewegungsgleichung für Operatoren" wäre hier die bessere Wortwahl.
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Melde Dich bei Problemen.

Grüße
Juergen



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 18:17


Danke erstmal für die Antwort.

Das was du mir gesagt hast hab ich verstanden.

Kann die Aufgabe aber trotzdem nicht ganz lösen. Bin jetzt so weit:

\( \displaystyle \frac{d}{dt} \int d \vec{r} \phi^* A \psi \\
= \displaystyle \int \frac{d}{dt} ( \phi^* A \psi ) d \vec{r} \\
= \displaystyle \int \frac{d \phi^*}{dt} A \psi + \phi^* \frac{dA}{dt} \psi + \phi^* A \frac{d \psi}{dt} d \vec{r} \\
 \)

Da die Zustände zeitunabhängig sind:

\( \displaystyle = \int \phi^* \frac{dA}{dt} \psi \\
= \displaystyle \int \phi^* (\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial A}{\partial r}  \frac{dr}{dt} ) \psi d \vec{r}
\)

Aber nun weiß ich nicht mehr weiter. Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann ich auch noch nicht anwenden. Zumindest sehe ich es nicht.

Viele Grüße
kuckuck3

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-07 18:22


Hallo,

ich habe Dir zwischenzeitlich, während Du auf meinen ersten Beitrag geantwortet hast, noch einen Beitrag dazugeschrieben, lies den nochmal!
Und BEACHTE:
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Grüße
Juergen



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 18:41


Ich dachte die Zustände phi und psi sind im Heisenberg-Bild zeitunabhängig. Oder bin ich am Anfang der Rechnung noch im Schrödinger-Bild?

Und ich bin mit dieser Bracket-Notation noch etwas unvertraut. Was genau ist der Unterschied zwischen
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in deinen Gleichung (2) und (3)?
Also ob H links oder rechts steht?

Ich kenne die Bracket Notation leider nur, wenn wirklich 3 "Dinge" drinstehen.

Grüße
Kuckuck3



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-07 18:44


2020-06-07 18:14 - Spock in Beitrag No. 3 schreibt:
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In (3) stimmt das Vorzeichen nicht:$$ i\hbar\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\,|\phi\rangle = H\,|\phi\rangle
\implies
-i\hbar\,\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\,\langle\phi| = \langle\phi|\,H^*
= \langle\phi|\,H$$
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.6 begonnen.]



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-07 22:03


Hallo!

Erstmal Danke an zippy fürs Aufpassen, da ist mir beim Kopieren ein Vorzeichen verloren gegangen, ich habs in meinem Beitrag mittlerweile korrigiert.

Stellen wir das mit dem Dirac-Formalismus mal etwas zurück, in der Ortsdarstellung sieht das von Dir
2020-06-07 18:17 - kuckuck3 in Beitrag No. 4 schreibt:
...

\( \displaystyle \frac{d}{dt} \int d \vec{r} \phi^* A \psi \\
= \displaystyle \int \frac{d}{dt} ( \phi^* A \psi ) d \vec{r} \\
= \displaystyle \int \frac{d \phi^*}{dt} A \psi + \phi^* \frac{dA}{dt} \psi + \phi^* A \frac{d \psi}{dt} d \vec{r} \\
 \)
...

doch schonmal gut aus, wenn Du beim letzten Integral noch der Schönheit wegen eine Klammer setzt. Danach mußt Du die Schrödingergleichung verwenden.
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Grüße
Juergen

P.S:
2020-06-07 18:41 - kuckuck3 in Beitrag No. 6 schreibt:
...
Ich dachte die Zustände phi und psi sind im Heisenberg-Bild zeitunabhängig. Oder bin ich am Anfang der Rechnung noch im Schrödinger-Bild?
...

Weder noch, siehe meinen Beitrag No.3 zur besseren Wortwahl, :-)
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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 22:18


Ich glaub ich habs gelöst. Die Schrödingergleichungen, die du aufgestellt hast lauten in Ortsdarstellung:

\( \displaystyle \frac{d\phi^*}{dt} = -\frac{1}{i \hbar} \phi^* H \)

und

\( \displaystyle \frac{d\psi}{dt} = \frac{1}{i \hbar} H \psi \)

und dann komme ich beim Integral auf

\( \displaystyle \int \phi^* ( \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{1}{i \hbar} [A,H] ) \psi d \vec{r} \)

Und dann folgt die Behauptung. Ist das so richtig?

Grüße
kuckuck3



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Spock
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-07 22:20


Ja, prima, jetzt schaut das gut aus, :-)

Grüße
Juergen



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-07 22:27


2020-06-07 22:18 - kuckuck3 in Beitrag No. 9 schreibt:
Die Schrödingergleichungen, die du aufgestellt hast lauten in Ortsdarstellung:

\( \displaystyle \frac{d\phi^*}{dt} = -\frac{1}{i \hbar} \phi^* H \)

Was soll es in der Ortsdarstellung bedeuten, wenn ein Operator rechts von einer Wellenfunktion steht?



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kuckuck3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 22:28


@zippy

Puh gute Frage. Ich hätte gedacht H phi dreht sich wegen dem Sternchen (adjungiert) einfach um

Vielleicht wirkt der dann einfach auf "nichts"? Oder versteh ich es ganz falsch?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-06-07 23:10


2020-06-07 22:28 - kuckuck3 in Beitrag No. 12 schreibt:
Vielleicht wirkt der dann einfach auf "nichts"? Oder versteh ich es ganz falsch?

In der Ortsdarstelllung ist ein Operator, der rechts von einer Wellenfunktion steht, ersteinmal nicht definiert. Dass so ein Ausdruck hier vorkommt, liegt nur daran, dass die Bra-Ket-Schreibweise und die Ortsdarstellung als Spezialfall der Hilbertraum-Schreibweise vermischt wurden.

Ich würde dazu raten, diese Vermischung einfach zu vergessen und sauber in der Ortsdarstellung zu arbeiten. Dann hast du einen Term$$ \int\frac{\mathrm d\phi^*\!}{\mathrm dt}\,A\,\psi
  \;\mathrm d^3\vec r =
\int\left(-\frac i\hbar\,H\,\phi\right)^*\!A\,\psi
  \;\mathrm d^3\vec r
$$und den kannst du wegen $H=H^*$ umschreiben zu$$ \int\phi^*\,\frac i\hbar\,H\,A\,\psi
  \;\mathrm d^3\vec r \;.$$



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kuckuck3
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Ok so mache ich es.

Auf jeden Fall habt ihr mir super weitergeholfen.

Vielen Dank an euch zwei!

Grüße
kuckuck3



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