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Analysis » Topologie » Können nur abgeschlossene Mengen endlich sein?
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Universität/Hochschule J Können nur abgeschlossene Mengen endlich sein?
Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-07 09:29


Guten Morgen😄

Ich habe in meinem Analysis-Übungsblatt ein paar Aufgaben zu offenen und abgeschlossenen Mengen bearbeitet und war der Annahme, dass ich diese Begriffe einigermassen verstanden habe.
Nun kam mir jedoch eine ziemlich grundsätzlich Frage in den Sinn:

Stimmt es, dass nur abgeschlossene Mengen endlich sein können und offene Mengen immer unendlich sein müssen?

Vielen Dank für eure Hilfe!



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-07 09:32


Hallo Sandro,

Denke einmal an die Leere Menge.
Ist diese abgeschlossen oder offen?
Ist diese endlich oder unendlich?

Gruss Sulky



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-07 09:40


Abgesehen von der leeren Menge ist deine Beobachtung (im $\mathbb{R}^n$) aber richtig. :-)


-----------------
The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 10:39


@sulky: Stimmt, die leere Menge ist doch offen und abgeschlossen zugleich in $\mathbb{R}$?
Und ob die leere Menge endlich oder unendlich ist, bin ich mir nicht sicher. Meine Vermutung wäre jedoch keines von beidem😁.

@Kezer: Sehr gut, danke dir vielmals!



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-07 10:42


2020-06-07 10:39 - Sandrob in Beitrag No. 3 schreibt:
Und ob die leere Menge endlich oder unendlich ist, bin ich mir nicht sicher. Meine Vermutung wäre jedoch keines von beidem😁.

Die leere Menge ist endlich.



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traveller
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-07 11:05


Die bisherigen Antworten gelten für die Standardtopologie (die durch die euklidische Metrik induzierte Topologie).

In der diskreten Topologie hingegen sind alle Teilmengen offen, darunter natürlich auch alle mit endlich vielen Elementen.



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Sandrob
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-07 11:09


Ja genau, ich habe vergessen anzumerken, dass ich die Standardtopologie auf $\mathbb{R}$ gemeint habe. Danke für den Hinweis!



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