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Integration » Riemannsche Summen » Verfeinerung einer Zerlegung
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Universität/Hochschule J Verfeinerung einer Zerlegung
Sandrob
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  Themenstart: 2020-06-08

Hallo zusammen, In meinem Analysis-Skript wird bei der Einführung vom Riemann-Integral der Begriff der Zerlegung eingeführt. Damit wird dann auch das Integral einer Treppenfunktion (bezüglich einer Zerlegung) definiert. In einem weiteren Abschnitt wird dann erklärt, dass die Definition vom Integral a priori nicht ganz unproblematisch ist. Denn es wird ja eine spezifische Zerlegung gewählt und der Ausdruck des Integrals sollte ja nicht von der Wahl einer Zerlegung abhängig sein. Nun möchte ich mit vollständiger Induktion beweisen, dass, falls wir eine Zerlegung $a=x_0


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Hallo Sandrob, ich schätze, du wolltest die zweite Zerlegung bis zum Index $m>n$ gehen lassen, nicht $n$, sonst kann es sich nicht um eine Verfeinerung handeln. Dann müsstest du trotzdem erstmal spezifizieren, was $c_k$ und $d_k$ sind. Sind es die Funktionswerte der Funktion $f$ an der Stelle $x_k$ beziehungsweise $y_k$? Wenn ja, dann wirst du das nicht beweisen können, denn dann stimmt die Aussage nicht. Tatsächlich hängen die Riemannschen Summen nämlich von der Zerlegung ab. Die Problematik umgeht man, indem man nicht eine spezielle Zerlegung wählt, sondern das Supremum aller Untersummen mit beliebigen Zerlegungen, oder das Infimum aller Obersummen. Wenn beide gleich sind und denselben Wert annehmen, dann nennt man die Funktion integrierbar und kann das Integral einfach mit dem Supremum der Untersummen und dem Infimum der Obersummen gleichsetzen. Viele Grüße Vercassivelaunos\(\endgroup\)


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Sandrob
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-08

Hallo Vercassivelaunos, Genau, deine erste Feststellung trifft natürlich vollkommen zu. In der zweiten Zerlegung wollte ich als Index die Variable $m$ wählen (mit $m>n$). Jetzt fällt mir sogar noch auf, dass ich vergessen habe zu notieren, dass ich die Diskussion natürlich nur auf Treppenfunktionen einschränken möchte. Das wäre natürlich noch sehr wichtig gewesen, sorry dafür😁.


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Auch dann stimmt die Aussage aber nicht. Nimm als Beispiel $f:[-1,1]\to\R$ mit \[f(x)=\cases{-1&$x<0$,\\1&$x\geq0$.}\] Du hast zwar nicht gesagt, was $c_k$ und $d_k$ sind, aber ich gehe mal davon aus, dass du entweder die Ober- oder Untersumme betrachtest. Es läuft aber aufs selbe raus: Betrachte die triviale Zerlegung $-1=t_0dieser Zerlegung erhält Ober- und Untersumme. Um das zu zeigen, braucht man aber keine Induktion, sondern dafür muss man nur in der Summe geeignete Klammern setzen (nämlich um jene Summanden, die zu einem der Intervalle gehören, auf denen die Funktion konstant ist), und sieht dann relativ schnell, dass die kleineren Summen in den Klammern nicht von der Feinheit der Zerlegung abhängen. Hier mal rein zur Visualisierung: \[\begin{align*}&A(t_1-t_0)+A(t_2-t_1)+A(t_3-t_2)+B(t_4-t_3)+B(t_5-t_4)\\ =&\color{red}{[}A(t_1-t_0)+A(t_2-t_1)+A(t_3-t_2)\color{red}]~+~\color{red}[B(t_4-t_3)+B(t_5-t_4)\color{red}]\\ =&A\color{red}[(t_1-t_0)+(t_2-t_1)+(t_3-t_2)\color{red}]~+~B\color{red}[(t_4-t_3)+(t_5-t_4)\color{red}]\\ =&A(t_3-t_0)+B(t_5-t_3)\end{align*}\] Ich gehe hier davon aus, dass die Funktion auf $[t_0,t_3)$ konstant den Wert $A$ annimmt, und auf $(t_3,t_5]$ konstant den Wert $B$. Wenn man die jeweils eingeklammerten Bereiche anschaut, dann sieht man schnell, dass eine Verfeinerung nichts am Wert ändern wird.\(\endgroup\)


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Sandrob
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-08

Es ist mein Fehler, dass ich dir nicht in meinem vorherigen Beitrag gesagt habe, was ich mit $c_k$ und $d_k$ meine. Ich werde dies jetzt kurz nachholen, denn ich meine eigentlich nicht Ober- und Untersummen. Im Allgemeinen möchte ich für diesen Beweis nur Funktionen $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ betrachten, die bezüglich einer Zerlegung Treppenfunktionen sind. Nehmen wir also z.B. die Zerlegung $a=x_0n$. Mit den $c_k$ und $d_k$ habe ich jetzt jeweils die Funktionswerte für die erste Zerlegung (nehmen wir dafür die $c_k$) und für die Verfeinerung die Werte $d_k$. Weisst du was ich meine und sorry nochmals für das Missverständnis, war absolut mein Fehler!


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Vercassivelaunos
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  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\) Ah, jetzt verstehe ich, was du möchtest. Die Argumentation mit dem Setzen geeigneter Klammern in der Summe zieht aber weiterhin. Wenn du zwischen zwei Punkten der ursprünglichen Zerlegung endlich viele weitere Punkte einfügst, dann erhältst du ein solches Muster wie oben: Da könnte beispielsweise $t_0\(\endgroup\)


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Sandrob
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-09

Ich habe mir jetzt nochmals deinen vorletzten Beitrag durchgelesen und es hat "Klick" gemacht😁. Die Verfeinerung der Zerlegung geht wirklich in eine Teleskopsumme über und man kann die "verfeinerten Punkte" alle wegkürzen. In unserem Analysis-Skript wollten sie eben mit vollständiger Induktion argumentieren. Also konkret: Sie nehmen vorerst an, dass die Verfeinerung lediglich ein weiterer Zerteilungspunkt enthält (wahrscheinlich ist dies der Induktionsanfang) und zeigen dann, dass dies nichts an der Summe ändert, da die Funktionswerte auf dem weiter zerteilten Intervall gleich sind. Dann würde wahrscheinlich noch der Induktionsschritt folgen, aber diesen verstehe ich dann nicht mehr ganz😁. Deine Argumentation mit der Summe macht aber auch Sinn, danke nochmals!


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