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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-09


Hallo,

ich habe gerade eine Aufgabe im Übungsbuch zur Analysis 1 von Forster zur gleichmäßigen Konvergenz bearbeit (Aufgabe 21D).
Da die Lösung im Buch komplett von meiner abweicht, wollte ich hier mal meine eigene Lösung darstellen und fragen ob diese richtig ist, bzw. was man noch verbessern könnte/müsste.

Aufgabe:
Sei $f_n:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$, eine Folge stetiger Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b] \subset \mathbb{R}$ mit $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ für alle $x\in [a,b]$ und $n\in \mathbb{N}$.
Es gelte: $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=0$ für alle $x\in[a,b]$.

Man zeige: Die Folge $(f_n)$ konvergiert gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen 0.


Forster zeigt dies nun mittels eines Widerspruchsbeweises. Ich habe es direkt versucht und zwar über die Supremumsnorm Definition der gleichmäßigen Konvergenz.

Mein Beweis:
Da alle $f_n$ stetig und auf beschränktem Intervall definiert sind, gilt laut dem Satz von Weierstraß:
Für jedes $n$ gibt es ein $\xi_n$ mit $\sup\{f_n(x)\} = f(\xi_n) \geq f_n(x)$ für alle $x \in [a,b]$. D.h. jedes $f_n$ nimmt sein Supremum an, insbesondere sind alle $f_n$ also beschränkt.

Jetzt kommt ein Punkte bei dem ich mir nicht sicher bin:
Da $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ für alle $x\in [a,b]$, $n\in \mathbb{N}$ und
$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=0$, folgt, dass $f_n \geq 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Stimmt das?

Denn dann kann man folgern, dass: $|f(\xi_n)| =|\sup\{f_n(x)\}| = \sup\{|f_n(x)|\}$ für alle $x \in [a,b]$

Da $(f_n)$ gegen 0 (punktweise) konvergiert, gibt es also für alle $\varepsilon > 0$ und alle $x \in [a,b]$ ein $n_0(\varepsilon, x) \in \mathbb{N}$ sodass für alle $n\geq n_0$ gilt: $|f_n(x) - 0| = |f_n(x)| < \varepsilon$

Insbesondere gilt für ein beliebiges $\varepsilon > 0$ und beliebiges $x_0$, dass es ein $n_0 \in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle $n\geq n_0$ gilt: $|f_n(x_0)| < \varepsilon$.

Wegen $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$, $\forall x\in [a,b], \forall n$
ist aber nun $|f_n(x)| \geq \sup\{|f_{n+1}(x)|\}$, $\forall x\in [a,b], \forall n$

Das heisst für $k_0 = n_0 + 1$ gilt dann sogar für alle $x \in [a,b]$ und für alle $n\geq k_0$:
$\sup\{|f_n(x)|\} \geq |f_{n_0}(x_0)| < \varepsilon$

Stimmt diese letzte Aussage?
Denn dann kann man folgern:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x\in [a,b]}|f_n(x)| = 0$ was gerade gleichmäßige Konvergenz gegen 0 bedeutet.



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-09

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Hallo Gast 123,

mir fällt folgender Schritt auf:

Wegen $f_n(x)\geq f_{n+1}$, $\forall x\in [a,b], \forall n$
ist aber nun $|f_n(x)| \geq \sup|f_{n+1}(x)|$, $\forall x\in [a,b], \forall n$

Bist du sicher, dass die Voraussetzung $f_n(x)\geq f_{n+1}$ lautet? Das ist nämlich eine sehr unsaubere Notation, da hier eine Zahl $f_n(x)$ mit einer Funktion $f_{n+1}$ verglichen wird. Es müsste entweder $f_n(x)\geq\sup_{x\in[a,b]} f_{n+1}(x)$ oder $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)\forall x\in[a,b]$ heißen. Das sind zwei unterschiedliche Behauptungen, von denen du die erste gewählt hast. Wenn das wirklich so gedacht ist, dann ist deine Lösung richtig, soweit ich das sehe. Wenn allerdings die zweite Variante gemeint ist, was ich für wahrscheinlicher halte, dann musst du noch etwas basteln.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-09


Hallo Vercassivelaunos,

danke für deine Antwort. Du hast recht, es muss heißen:
$f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ für alle $x\in [a,b]$ und $n\in \mathbb{N}$
Ich habe es in meinem ersten Beitrag verbessert.

Ist denn aber folgende Schlussfolgerung richtig?
Da $f_n(x)\geq f_{n+1}(x)$ für alle $x\in [a,b]$, $n\in \mathbb{N}$ und
$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=0$, folgt, dass $f_n \geq 0$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
Also kann man aus diesen beiden Eigenschaften schließen, dass alle Funktionen $f_n$ größer oder gleich 0 sind für alle $x$?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-09

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Ja, die Abschätzung, dass die Funktionen alle größergleich 0 sind, kannst du problemlos weiterverwenden. Nur deine Abschätzung $\sup\vert f_n(x)\vert<\varepsilon$ musst du ein bisschen anders begründen.
\(\endgroup\)


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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-09


Okay danke. So wie es aussieht lässt es sich dann wohl leider gar nicht auf diesem Wege beweisen, zumindest fällt mir nichts mehr ein. Habe es auch über Bolzano Weierstraß und mit Cauchy Folgen versucht aber ich sehe gerade nicht wie man da weiterkommen könnte. Hättest du vielleicht noch eine Idee?



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-10


Hat jemand noch eine Idee wie ich den Beweis retten könnte?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

du kannst ja mal so überlegen: der Satz von Dini (deine Aussage) gilt so nur auf kompakten Mengen. Suche doch zuerst mal ein Gegenbeispiel auf <math>\IR</math> und dann siehst du, wo du Kompaktheit benötigst.

Viele Grüße

Peter
\(\endgroup\)


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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-10


Hallo Wally,

danke für deine Antwort. Also ein konkretes Gegenbeispiel konnte ich mir jetzt nicht konstruieren, aber ich dachte mir, dass die Kompaktheit benötigt wird um den Satz von Weierstraß anwenden zu können, also damit man weiß, dass alle $f_n$ beschränkt sind und ihr Maximum annehmen.
 
Allerdings bin ich mir noch nicht sicher warum man unbedingt, das Maximum benötigt. Wenn die Funktionen auf einem offenen Intervall definiert wären, wären sie ja trotzdem auch beschränkt oder? Und dann hätte man aber eben nur ein Supremum und kein Maximum aber für die gleichmäßige Konvergenz benötigt man ja nur das Supremum oder?

Edit: Ich glaube meine obige Aussage ist falsch, d.h.:
Wenn ich eine stetige Funktion f auf einem offenen Intervall (a,b) betrachte, dann ist diese Funktion nicht unbedingt beschränkt, d.h. es muss kein Supremum geben oder? Wenn ich zB $f = x^{-1}$ auf $(0,1)$ betrachte, dann geht diese Funktion gegen unendlich für $x \rightarrow 0$ damit ist sie dort unbeschränkt und hat auch kein Supremum oder?



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo, du weißt doch wie der Arcustanges aussieht, ja?

Nimm mal \( f_n(x)=\arctan (x-n)+\dfrac{\pi}{2}\). Die Folge geht auf \( \IR\) punktweise und monoton gegen Null, aber das Supremum ist immer \( \pi\).

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-10


Hallo Wally,

danke für deine Antwort. Ich habe mir dein Beispiel mal geplottet. Und ich stimme zu dass diese Funktion für jedes x gegen 0 konvergiert aber, wenn man die Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ betrachtet, das Supremum immer pi ist (ich nehme mal an, dass das Supremum nicht angenommen wird hier, also kein Maximum ist).

Wenn ich dich richtig verstehe, willst du darauf hinaus, dass nur auf beschränkten Teilmengen von $\mathbb{R}$ das Supremum der Funktionen kleiner wird (also nicht konstant pi ist), was man ja braucht, wenn man gleichmäßige Konvergenz zeigen möchte. Aber ich denke, da würde dann ja reichen, dass der Definitionsbereich beschränkt ist, er müsste aber nicht zwangsläufig abgeschlossen sein (könnte also auch offen sein) oder ?

Und noch eine andere Frage:
Kann ich den Satz von Dini überhaupt so beweisen, wie ich es versucht habe. Also über den Satz von Weierstraß und dann irgend eine Abschätzung mit dem Supremum zu machen?
Ich habe mir nämlich mal Beweise zum Satz von Dini angeschaut und da wird immer die Überdeckungseigenschaft der Kompaktheit verwendet in Verbindung mit der Stetigkeit, das ist aber leider ein ganz anderer Ansatz als meiner.



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Wally
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

du kannst mein Beispiel umskalieren, dass es in das offene beschränkte Intervall \( (0,1)\) passt. Und du kannst auch jede Funktion so abändern, dass die ein Maximum hat.

Ohne Kompaktheit ist der Satz falsch. Was ich dir zeigen will, ist ein Beispiel, an dem du deinen Beweis durchprobieren kannst, damit du siehst, wo der Fehler ist.

Ob dein Beweis im Prinzip so geht kann ich nicht sagen, glaub ich aber nicht.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)


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