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  Richtungsableitung Skalarprodukt |
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 04.01.2020
Mitteilungen: 87
 |  Themenstart: 2020-06-15
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Schönen guten Tag,
Sei
$$ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \langle B \cdot x, x \rangle $$
Es ist zu zeigen, dass die Richtungsableitungen von f in eine beliebige Richtung h $\nabla_hf$ durch
$$ \nabla_hf= \langle \nabla f(x), h \rangle \stackrel{!}{=} \langle B \cdot h, x \rangle + \langle B \cdot x, h \rangle $$
gegeben ist.
Mein Ansatz:
$$ \langle \nabla f(x), h \rangle = \sum_{k=1}^{n} \partial_k f(x) h_k
= \sum_{k=1}^{n} \partial_k \langle B \cdot x, x \rangle h_k = \sum_{k=1}^{n} \partial_k \sum_{l=1}^{n} (B\cdot x)_l x_l h_k $$
Nun weiß ich nicht ganz wie ich weiter machen kann. Was ist $\partial_k (B\cdot x)_l x_l h_k$?
Über Tipps würde ich mich sehr freuen.
LG MaxIMP2415
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv 
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Mitteilungen: 87
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-15
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Ok, ich mache mal noch ein bisschen weiter. Als Ergebnis wollen wir:
$$ \langle B \cdot h, x\rangle + \langle B \cdot x, h \rangle = \sum_{k=1}^n (B\cdot h)_kx_k + (B \cdot x)_kh_k $$
Auf dieses Ergebnis würde man kommen, wenn:
$$ \partial_k (B \cdot x)_lx_lh_k = \begin{cases} 0 & l \neq k \\ (B \cdot h)_kx_k + (B \cdot x)_k h_k & l=k \end{cases} $$
Doch wieso stimmt das? Ich kann mir vorstellen, dass das einfach die Produktregel ist für k=l:
$$ \partial_k (B \cdot x)_kx_kh_k = h_k \partial_k (B \cdot x)_kx_k = h_k( x_k \partial_k (B \cdot x)_k + (B \cdot x)_k \partial_k x_k) \stackrel{?}{=} h_k (x_kB_k + (B\cdot x)_k) \stackrel{???}{=} (B \cdot h)_k x_k + (B \cdot x)_k h_k $$
und für $l \neq k$ müsste die Ableitung dann Null sein. Aber wieso sollte das beides so stimmen?
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
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\newcommand{\d}{{\rm d}}
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Hallo,
\quoteon(2020-06-15 11:39 - MaxIMP2415 in Beitrag No. 1)
$$ \partial_k (B \cdot x)_kx_kh_k = h_k \partial_k (B \cdot x)_kx_k = h_k( x_k \partial_k (B \cdot x)_k + (B \cdot x)_k \partial_k x_k) \stackrel{?}{=} h_k (x_kB_k + (B\cdot x)_k) \stackrel{???}{=} (B \cdot h)_k x_k + (B \cdot x)_k h_k $$
\quoteoff
Das erste ? ist schon falsch. $B$ ist eine Matrix, was auch immer du mit $B_k$ meinst ist also wohl eher ein Vektor als ein Skalar. Also gilt sicherlich nicht $\partial_k (B \cdot x)_k =B_k$.
Hier müsstest du dann schon die Definition der Matrixmultiplikation für $B\cdot x$ einsetzen.
Ganz anderer Ansatz:
Per Definition der Ableitung gilt
$$ \langle \nabla f(x), h \rangle = \lim_{t\to 0} \frac {f(x+th)-f(x)}t.$$\(\endgroup\)
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MaxIMP2415
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-15
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Danke für Deine Hilfe!
Wir verwenden die Definition der Richtungsableitung:
$$ \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{f(x+th)-f(x)}{t} = \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{\langle B (x+th), x+th \rangle - \langle B x, x \rangle }{t} = \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{\langle B x+ B th, x+th \rangle - \langle B x, x \rangle }{t} $$
$$= \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{\langle B x, x+th \rangle + \langle B th, x+th \rangle - \langle B x, x \rangle }{t}
= \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{\langle B x, x \rangle + \langle B x, th \rangle + \langle B th, x+th \rangle - \langle B x, x \rangle }{t} $$
$$ = \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{\cancel{\langle B x, x \rangle }+ \langle B x, th \rangle + \langle B th, x \rangle + \langle B th, th \rangle - \cancel{\langle B x, x \rangle} }{t} = \lim\limits_{t \rightarrow 0} \frac{\cancel{t}( \langle B x, h \rangle + \langle B h, x \rangle + \langle B h, th \rangle)}{\cancel{t}} $$
$$ = \lim\limits_{t \rightarrow 0} \langle B x, h \rangle + \langle B h, x \rangle = \langle Bx,h \rangle + \langle Bh, x \rangle $$
Was zu zeigen war.
LG
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MaxIMP2415 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MaxIMP2415 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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