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Universität/Hochschule Konvergenz der Gammafunktion
kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-17


Hallo liebe Leute,

kann mir irgendjemand von euch dabei helfen, die Konvergenz der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion zu beweisen?

\[\Gamma(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n!n^x}{x (x+1) \cdots (x+n)} \quad \forall x \in \mathbf{R}\]
Vielen Dank!! :)



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Ray8
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-17


Halli kiki0812,

aus der Analysis ist bestimmt folgender Grenzwert bekannt:
\(e^{-t} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{-t}{n})^n\)
Diesen kannst du nutzen um ihn in die Definition der Gamma-Funktion einzustzen. Nun kannst dir überlegen, warum du Grenzwert und Integral tauschen kannst.
Dann führst du eine geschickte partielle Integration durch (integriert wird der Teil den du vorhr eingesetzt hast)
Damit solltest du auf folgende Darstellung kommen:
\(\Gamma(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{xn} \int_0^n t^x \left(1 - \frac{t}{n}\right)dt\)
Nun führst du die gleiche partielle Integration wieder aus und überlegst dir was passiert, wenn du dann (insgesamt) \(n\) mal partiell auf diese Weise integrierst.
Wie du dann sehen wirst, bleibt nur noch \(t^{x + n - 1}\) als Integrand über. Dieses Integral kannst du dann natürlich schnell ausrechnen.
Dann nur noch etwas umformen und deine gewünschte Darstellung der \(\Gamma\)-Funktion steht da 😃



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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-17


Hallo Ray8! 😄

Vielen Dank für deine Antwort, das was du mir beschreibst versteh ich, weil ich schon die Äquivalenz der beiden Darstellungsformen mittels partieller Integration gezeigt habe, wie dus mir da erklärt hast. Mir fehlt aber leider noch ein expliziter Beweis, der zeigt, dass die Gaußsche Produktdarstellung eben konvergiert... kannst du mir da vielleicht noch weiterhelfen? 😄

LG



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ollie3
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-17


Hallo,
man könnte doch den Grenzwert als Grenzwert der Folge a_n ansehen und mal
den Quotient a_(n+1)/a_n betrachten. Wenn sich der Quotient bei steigendem n
immer mehr der 1 annähert,muss die Folge ja konvergieren...



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-17


Huhu kiki0812,

herzlich willkommen auf dem Planeten! Vorweg:

2020-06-17 09:27 - kiki0812 im Themenstart schreibt:
\[ \forall x \in \mathbf{R}\]

Meinst du nicht eher \(\mathbf{R^+}\)?

Für einen Beweis der Konvergenz siehe z.B. hier auf Seite 15/16. Lemma 5.1 ist sicherlich auch bekannt als Bernoulli Ungleichung.

Sonnige Grüße aus dem Norden,

Küstenkind



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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20


Hallo Kuestenkind,

vielen Dank für deine Antwort.. ja ich bin mir bei dem R oder R+ selbst nicht wirklich sicher.. denn soweit ich das verstanden habe, bzw. es mir mein Bachelorarbeits-Betreuer gesagt hat, gilt die Gaußsche Produktdarstellung für alle R? Aber sie konvergiert nur für R+? Oder wie soll ich das verstehen? Ich bin diesbezüglich einwenig verwirrt.. aber vielen Dank schonmal für dein Dokument mit dem Konvergenzbeweis !!! :-))

LG



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-20


Huhu Kiki,

nun für alle Elemente aus \(\mathbb{Z}^-_0\) ist die rechte Seite doch überhaupt nicht definiert, da man durch Null dividieren würde. Siehe auch Seite 3f. in Bonnar: The Gamma Function:





Gruß,

Küstenkind



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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20


Hallo Kuestenkind! Vielen Dank für deine rasche Antwort, keine Ahnung was ich mir dabei gedacht habe, logisch ist das garnicht möglich für negative reelle Zahlen 😵

Eine Frage hätt ich aber noch zu dem Konvergenzbeweis den du mir da geschickt hast: soweit versteh ich alles und er ist mir auch klar, nur was mir nicht ganz klar ist, ich gehe ja nie von der direkten Darstellung der Gammafunktion aus, sondern nur von H_n und G_n, die der ähnlich sind.. aber wie kann ich dann begründen, dass das wirklich für die Gaußsche Produktdarstellung gilt?

Besten Dank und liebe Grüße :)



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-20


Huhu Kiki,

hast du auch Seite 2 gelesen? Es ist doch \(G_n(x)=\frac{n^x(n-1)!}{x(x+1)\ldots(x+n-1)}\) und somit \(\Gamma_n(x)=\frac{n}{n+x}G_n(x)=\frac{n!n^x}{x (x+1) \ldots (x+n)}\). Wenn \(G_n(x)\) konvergiert, dann auch \(\Gamma_n(x)\) mit gleichen Grenzwert, da \(\frac{n}{n+x} \to 1\) für \(n \to \infty \).

Gruß,

Küstenkind




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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20


Ah perfekt vielen lieben DANK!!!
Und dann noch eine allerletzte, blöde Frage: geht der Konvergenzbeweis bis Seite 17/Zeile 1?

Vielen lieben Dank,
Kiki



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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20


Oder mit diesem Satz auf der vorherigen Seite?

Furthermore, it is clear that (20) holds. When 0 ≤ x ≤ 1, similar reasoning establishes convergence and (19).

Denn für mich wärs damit schon aus, jedoch bin ich mir nicht ganz sicher, ob das danach auch noch essenziell ist 🤔



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-20


Huhu Kiki,

ein Beweis endet üblicherweise mit \(\Box\).

Gruß,

Küstenkind



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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20


Hi Kuestenkind,

danke für die Antwort, das ist mir eh bekannt.. nur sind in diesem Dokument die Beweise so ineinander verschachtelt, dass ich mir nicht sicher bin ob das letzte auch noch dazu gehört 🤔

LG



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2020-06-20


Huhu Kiki,

das passt aber wenig zu:

2020-06-20 12:38 - kiki0812 in Beitrag No. 7 schreibt:
[...] soweit versteh ich alles und er ist mir auch klar [...]

Wie kannst du einen Beweis verstehen, wenn du nicht das Ende erkennen kannst? Mit 5.3 ist der Beweis zu Ende. 5.4 ist ja nur noch ein Korollar.

Gruß,

Küstenkind



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kiki0812
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-20


Hi Kuestenkind,

naja, bis zu 5.3 hab ich ihn verstanden, und für mich war er damit eben auch beendet, nur war ich mir dann irgenwie nicht sicher, ob 5.4 noch dazu gehört da ich das nicht ganz verstanden hab, und wollt nur nochmal auf Nummer sicher gehen.

Aber besten Dank für deine Bemühungen :-) Du hast mir wirklich sehr geholfen!

LG Kiki



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2020-06-20


Gerne!

Dir ein schönes Wochenende und viel Erfolg weiterhin für deine Bachelorarbeit!

Gruß,

Küstenkind



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