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Mathematik » Topologie » Mengen auf Mannigfaltigkeit untersuchen
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Universität/Hochschule J Mengen auf Mannigfaltigkeit untersuchen
LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-17

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Guten Abend.

Ich hänge derzeitig wieder mal an meinen Übungsaufgaben fest zum Thema Mannigfaltigkeiten. Die Aufgabe verlangt, ein paar Mengen auf Mannigfaltigkeit zu untersuchen, leider habe ich aber große Verständnisprobleme, weshalb ich sehr dankbar wäre, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Es müssen unter anderem solche Mengen untersucht werden:

\( A:= \{ (x,y) \in \R^2 : y^2 = x^2(1-x^2)\}, \hspace{3mm} B:= A \setminus \{(0,0)\}\)

Wenn man sich einfach mal die Funktion zu \( y^2 = x^2(1-x^2) \) anschaut sieht man, dass die Funktion wie die \( \infty\) Schleife aussieht. Im Ursprung hat man dann quasi die Kreuzung, also sollte da wohl ein Problem auftreten. Für die Menge \(B\) habe ich die Funktion \( f: \R^2 \to \R, (x,y) \mapsto x^2(1-x^2) -y^2\) definiert, dann ist \( B = f^{-1}(0)\), und \( Df(x,y) = (2x(1-2x^2) \hspace{3mm} -2y)\). \( Df\) kann nur 0 werden, wenn \(y\) gleich 0 ist, aber der Nullvektor ist nicht in \(B\) enthalten, somit ist das Differential auf der Menge \(B\) nie 0 also injektiv, da \(f\) insbesondere stetig ist, folgt nun aus einem Satz in der Vorlesung dass eine Mannigfaltigkeit vorliegt. Ist das soweit richtig?

Wie geht man dann an die \(A\) ran? Wie gesagt, das Problem müsste bei \((0,0)\) liegen, aber leider verstehe ich nicht so ganz, wie man nun weitermacht. Wir haben schon etwas über Tangentialräume gelernt, und ich denke dass das hier der richtige Weg sein soll, kann es vielleicht daran liegen, dass der Tangentialraum in einer beliebigen Umgebung um \( (0,0) \) immer zweidimensional sein muss? Nun weiss ich leider garnicht, wie ich diesen Tangentenraum bestimmen soll. Wie sieht das Vorgehen bei sowas aus?
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Theodore_97
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-18


Es gibt mehrere Möglichkeiten, um zu zeigen, dass $A$ keine MFK ist. $A$ definiert offensichtlich eine Kurve, kann also höchstens eine eindimensionale MFK sein, müsste also lokal homöomorph zum $\mathbb{R}^1$ sein. Nehme nun an, es gäbe eine lokale Homöomorphie $f:U\to \mathbb{R}$ zwischen einer Umgebung $U\subset A$ des Ursprungs und $\mathbb{R}$. Dieser Homöomorphismus würde dann eine Homöomorphie $U\setminus 0 \to \mathbb{R}\setminus f(0)$ induzieren (wobei $0=(0,0)$). Dies ist jedoch unmöglich, da nun $U\setminus 0$ genau 4 Zusammenhangskomponenten hat, $\mathbb{R}\setminus f(0)$ jedoch 2. Alternativ berechnest du den Tangentialraum der Kurve $A$ im Punkt $P=(x,y)=(1,0)$ etwa und im Punkt $Q=(x,y)=(0,0)$. Im Punkt $P$ ist dieser eindimensional, im Punkt $Q$ jedoch zweidimensional (korrespondiert zu den zwei sich schneidenden Linien im Ursprung). Ein Widerspruch.

Deine Abbildung $f$ ist fast gut gewählt. Es ist eine glatte Abbildung zwischen differenzierbaren MFK und das Urbild von $0\in \text{Im}(f)\subset \mathbb{R}$ ist genau $A$ (nicht $B$, wie du behauptet hast). Mit der Modifizierung $f:\mathbb{R}^2 \setminus (0,0) \to \mathbb{R}$ kommst du ans Ziel. Denn nun ist $f^{-1}(0)=B$ und $0\in \text{Im}(f)$ ist ein regulärer Wert (das Differential verschwindet in keinem Punkt auf $B$ - dies musst du noch zeigen! Du hast behauptet, das Differential verschwindet nur, wenn $y=0$ ist, was nicht stimmt) und mit dem Satz vom regulären Wert ist $B$ eine glatte MFK von Dimension 1.



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LineareAlgebruh
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18

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Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mich nun mal ein wenig mehr mit dem Thema beschäftigt und denke, dass ich es nun so langsam verstanden habe. Mir fällt auch gerade auf, dass ich einen kleinen Tippfehler drinne hatte, es sollte eigentlich "\( y^2 = x^2(1-x^2\)" statt "\( y^2 = x^2(1-x\)" heißen, aber das macht jetzt nicht so wirklich einen Unterschied.
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