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  Skalarprodukt ableiten |
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viganme
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 60
 |  Themenstart: 2020-06-18
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Hallo, ich möchte gerne als Übung diese Funktion ableiten:\( (X,\Vert \cdot \Vert )\) Hilbertraum.
\[f: X\times X\to X,f(x,y)=\langle y,x\rangle x\]
könnte mir jemand eine kleine Idee geben?
Liebe Grüße
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5025
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-18
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Starte einfach mit der Differenz $f(x+u,y+v)-f(x,y)$, nutze die (Bi-)Linearität zum Ausmultiplizieren und bringe das Ergebnis dann in die Form $A(u,v)+o(u,v)$ mit einer linearen Abbildung $A\colon X\times X\to X$.
--zippy
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viganme
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18
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\quoteon(2020-06-18 17:30 - zippy in Beitrag No. 1)
Starte einfach mit der Differenz $f(x+u,y+v)-f(x,y)$, nutze die (Bi-)Linearität zum Ausmultiplizieren und bringe das Ergebnis dann in die Form $A(u,v)+o(u,v)$ mit einer linearen Abbildung $A\colon X\times X\to X$.
--zippy
\quoteoff
Danke für deine Antwort.
Wenn ich \(f(x+u,y+v)\) betrachte dann erhalte ich:
\[ f(x+u,y+v)=\langle y+v,x+u\rangle (x+u) \\
= f(x,y)+u\langle y+v,x+u\rangle +x(\langle y,u\rangle +\langle v,x\rangle +\langle v,u\rangle )\]
aber in wie fern erhalte ich hier eine Lineare Abbildung? Also das was an \(f(x,y)\) addiert wird, ist ja nicht Linear oder vertue ich mich gerade?
Lg
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-18
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\quoteon(2020-06-18 18:02 - viganme in Beitrag No. 2)
$$u\,\langle y+v,x+u\rangle$$\quoteoff
Hier bist du mit dem Ausmultiplizieren noch nicht fertig.
\quoteon(2020-06-18 18:02 - viganme in Beitrag No. 2)
Also das was an \(f(x,y)\) addiert wird, ist ja nicht Linear oder vertue ich mich gerade?
\quoteoff
Es muss ja auch nicht linear sein, sondern sich in der Form $A(u,v)+o(u,v)$, also "linear + mindestens quadratisch in $(u,v)$" scheiben lassen.
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viganme
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18
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Darf man hier die Euklidische Norm ausnutzen? Da sie ja in endlich dim. Banachräumen äquivalent sind, also:
\[f(x+u,y+v)=f(x,y)+xy^2x^3+uy^2+ux^2+uy^2+ux^2+xu^2+xv^2+xv^2+xu^2+u^3+uv^2+uv^2+u^3\]
und wenn ja, so habe ich \(A(u,v)\) und \(R(u,v)\) definiert:
\[f(x+u,y+v)=f(x,y)+\underbrace{xy^2x^3+uy^2+ux^2+uy^2+ux^2}_{:=A(u,v)}+\underbrace{xu^2+xv^2+xv^2+xu^2+u^3+uv^2+uv^2+u^3}_{:=R(u,v)}\]
Aber ich finde keine passende Abschätzung für \(R(u,v)\). Um R mal zusammenzufassen habe ich:
\[R(u,v)=2x\Vert (u,v)\Vert^2+2u^3+2uv^2\]
aber ich finde keine passende Abschätzung, bzw Begründung warum das gegen Null konvergiert, wenn man eben noch durch die Norm von (u,v) teilt.
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-18
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\quoteon(2020-06-18 20:25 - viganme in Beitrag No. 4)
\[f(x+u,y+v)=f(x,y)+xy^2x^3+uy^2+ux^2+uy^2+ux^2+xu^2+xv^2+xv^2+xu^2+u^3+uv^2+uv^2+u^3\]\quoteoff
$x,y,u,v$ sind Vektoren in irgendeinem Hilbertraum. So etwas wie $xy^2x^3$ oder $uy^2$ ergibt überhaupt keinen Sinn.
\quoteon(2020-06-18 20:25 - viganme in Beitrag No. 4)
bzw Begründung warum das gegen Null konvergiert, wenn man eben noch durch die Norm von (u,v) teilt.
\quoteoff
Ist dir klar, dass die Norm auf $X\times X$ mit der auf $X$ über $\|(u,v)\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$ zusammenhängt?
Betrachten wir mal die Terme, die entstehen, wenn man alles (also auch noch $\langle y+v,x+u\rangle\,u$) ausmultipliziert:$$
\begin{align*}
f(x+u,y+v)-f(x,y) = {} &
\langle y,x\rangle\,u +
\langle v,x\rangle\,x +
\langle y,u\rangle\,x +{} \\[1.5ex] &
\langle v,x\rangle\,u +
\langle y,u\rangle\,u +
\langle v,u\rangle\,x +{} \\[1.5ex] &
\langle v,u\rangle\,u
\end{align*}
$$Die Terme in der ersten Zeile sind linear in $(u,v)$, die in der zweiten quadratisch und der in dritten von dritter Ordnung. Die Abschätzung eines quadratischen Terms sähe beispielsweise so aus:$$
\|\langle v,x\rangle\,u\| =
|\langle v,x\rangle|\cdot\|u\| \le
\|v\|\,\|x\|\,\|u\| \le \|x\|\cdot\|(u,v)\|^2$$Dabei wird $\|u\|\le\|(u,v)\|$ und $\|v\|\le\|(u,v)\|$ verwendet.
Das Ergebnis $Df(x,y)(u,v)=
\langle y,x\rangle\,u +
\langle v,x\rangle\,x +
\langle y,u\rangle\,x$ sollte dich an die übliche Produktregel beim Differenzieren im Reellen erinnern.
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viganme
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-18
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\quoteon(2020-06-18 22:05 - zippy in Beitrag No. 5)
\quoteon(2020-06-18 20:25 - viganme in Beitrag No. 4)
\[f(x+u,y+v)=f(x,y)+xy^2x^3+uy^2+ux^2+uy^2+ux^2+xu^2+xv^2+xv^2+xu^2+u^3+uv^2+uv^2+u^3\]\quoteoff
$x,y,u,v$ sind Vektoren in irgendeinem Hilbertraum. So etwas wie $xy^2x^3$ oder $uy^2$ ergibt überhaupt keinen Sinn.
\quoteon(2020-06-18 20:25 - viganme in Beitrag No. 4)
bzw Begründung warum das gegen Null konvergiert, wenn man eben noch durch die Norm von (u,v) teilt.
\quoteoff
Ist dir klar, dass die Norm auf $X\times X$ mit der auf $X$ über $\|(u,v)\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$ zusammenhängt?
Betrachten wir mal die Terme, die entstehen, wenn man alles (also auch noch $\langle y+v,x+u\rangle\,u$) ausmultipliziert:$$
\begin{align*}
f(x+u,y+v)-f(x,y) = {} &
\langle y,x\rangle\,u +
\langle v,x\rangle\,x +
\langle y,u\rangle\,x +{} \\[1.5ex] &
\langle v,x\rangle\,u +
\langle y,u\rangle\,u +
\langle v,u\rangle\,x +{} \\[1.5ex] &
\langle v,u\rangle\,u
\end{align*}
$$Die Terme in der ersten Zeile sind linear in $(u,v)$, die in der zweiten quadratisch und der in dritten von dritter Ordnung. Die Abschätzung eines quadratischen Terms sähe beispielsweise so aus:$$
\|\langle v,x\rangle\,u\| =
|\langle v,x\rangle|\cdot\|u\| \le
\|v\|\,\|x\|\,\|u\| \le \|x\|\cdot\|(u,v)\|^2$$Dabei wird $\|u\|\le\|(u,v)\|$ und $\|v\|\le\|(u,v)\|$ verwendet.
Das Ergebnis $Df(x,y)(u,v)=
\langle y,x\rangle\,u +
\langle v,x\rangle\,x +
\langle y,u\rangle\,x$ sollte dich an die übliche Produktregel beim Differenzieren im Reellen erinnern.
\quoteoff
Dankeschön! Ich war wohl ein bisschen zu eilig, aber ich kann alles Nachvollziehen, danke nochmal.
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viganme hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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