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 Extrema unter Nebenbedingungen mit Lagrange |
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krad97
Neu 
Dabei seit: 19.06.2020
Mitteilungen: 4
 |  Themenstart: 2020-06-20
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Moin,
ich habe schwierigkeiten meine Aufgabe mit Lagrange zu Lösen, da ganz am Ende meine Hessematrix nicht mehr von meinen Variablen abhängig ist und somit keine Unterscheidung bzgl. Minimum und Maximum möglich ist. Kann mir vielleicht jemand sagen, ob der Ansatz wenigstens richtig ist?
Meine Aufgabe:
\
Sei f:\IR\ ^2 -> \IR\ gegeben durch
f(x,y) := x^2 +y^2 + xy + x + 5y,und sei
K:={(x,y)\el\ \IR\^2 : x^2 + y^2 + xy = 1}.
Zeigen Sie, dass f auf K Maximum und Minimum besitzt, und bestimmen Sie maxf(K)und minf(K).
Hier ist meine Rechnung, vielleicht habe ich ja auch unterwegs schon grobe fehler gemacht. Es wäre super wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet. Es sieht relativ viel aus, da ich auch zwischenrechnungen aufgeschrieben habe.
\
L(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + xy + x + 5y + \lambda * (x^2 + y^2 + xy -1)
Ableiten nach
I x:
2x + y + 1 + 2x\lambda + y\lambda
II y:
2y + x + 5 + 2y\lambda + x\lambda
III \lambda:
x^2 + y^2 + xy - 1
Alle gleich null setzen und daraus die potentiellen Extremstellen berechnen.
I nach \lambda umstellen:
2x + y + 1 + 2x\lambda + y\lambda = 0
= 2x + y + 1 + \lambda * (2x + y) = 0 \| -(\lambda*(2x + y))
= 2x + y + 1 = - \lambda * (2x + y) \| : -(2x + y)
= - ((2x + y +1) / (2x + y)) = \lambda
II nach \lambda umstellen:
2y + x + 5 + 2y\lamda + x\lambda = 0
= 2y + x + 5 + \lambda * (2y + x) = 0 \| -(\lambda*(2y + x))
= 2y + x + 5 = - \lambda * (2y + x) \| : -(2y + x)
= - ((2y + x + 5) / (2y + x)) = \lambda
Es folgt
\lambda = - ((2y + x + 5) / (2y + x)) = - ((2x + y +1) / (2x + y))
berechne daraus x:
- ((2y + x + 5) / (2y + x)) = - ((2x + y +1) / (2x + y)) \| * (-1)
((2y + x + 5) / (2y + x)) = ((2x + y +1) / (2x + y)) \| * (2x + y)
2x + y + 1 = ((2x + y +1) / (2x + y)) * (2x + y) \| * (2y + x)
(2x + y + 1) * (2y + x) = (2y + x + 5) * (2x + y)
4xy + 2x^2 + 2y^2 + xy + 2y + x = 4xy + 2y^2 + 2x^2 + xy + 10x + 5y \| subtrahiere gleiches
2y + x = 10x + 5y \| -10x; -2y
-9x = 3y \| :(-9)
x = -(3/9)y = - (1/3)y
x-Wert in III einsetzen:
((-1/3)y)^2 + y^2 + (-1/3)y * y - 1 = 0
(1/9)y^2 + y^2 - (1/3) * y^2 - 1 = 0
(7/9)y^2 - 1 = 0 \| +1
(7/9)y^2 = 1 \| : (7/9)
y^2 = 9/7
Daraus folgt für y:
y = (3/sqrt(7)) oder y = -(3/sqrt(7))
Da x = - (1/3)y folgt:
für y = (3/sqrt(7)):
x = -(1/3)*(3/sqrt(7)) = -(1/sqrt(7))
für y = -(3/sqrt(7)):
x = -(1/3)*(-(3/sqrt(7))) = (1/sqrt(7))
Fehlt noch \lambda mit \lambda = -((2x + y + 1)/(2x + y)):
für y = (3/sqrt(7)), x = -(1/sqrt(7))
\lambda = - (((-2/sqrt(7)) + (3/sqrt(7)) + 1) / ((-2/sqrt(7)) + (3/sqrt(7))))
= - (((1/sqrt(7)) + 1) / (1 / sqrt(7)))
= - 1 - (7 / sqrt(7))
für y = -(3/sqrt(7)), x = (1/sqrt(7))
\lambda = - (((-2/sqrt(7)) - (3/sqrt(7)) + 1) / ((2/sqrt(7)) - (3/sqrt(7))))
= - ((-1/sqrt(7)) + 1) / (-1/sqrt(7))
= - 1 - (7 / sqrt(7))
Damit komme ich auf diese möglichen Extremstellen:
P_1: (-1/sqrt(7), 3/sqrt(7), -1-7/sqrt(7))
P_2: (1/sqrt(7), -3/sqrt(7), -1-7/sqrt(7))
Gestern habe ich zu der Aufgabe schonmal eine Frage gepostet, allerdings war ich da noch auf einem ganz anderen Dampfer...
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Die beiden Stellen habe ich auch errechnet, aber du musst auch \( 2y+x=0\) untersuchen, wenn du dadurch dividierst.
Und bitte bleibe beim nächsten Mal im Beitrag und mache nicht einen neuen auf.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Kampfpudel
Senior 
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 2023
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-20
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Die Werte für \(\lambda\) sind nicht wichtig, wichtig sind nur die beiden Kandidaten für Extremalstellen \((- \frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{3}{\sqrt{7}})\) und \((\frac{1}{\sqrt{7}}, -\frac{3}{\sqrt{7}})\).
Eine Hessematrix brauchst du überhaupt nicht. Wenn du schon weißt, dass \(f\) auf \(K\) sein Maximum und Minimum annimmt und du nun auch weißt, dass es genau zwei potentielle Extremalstellen gibt, muss die eine Stelle die Minimalstelle und die andere Stelle die Maximalstelle sein
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