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 Injektivität in mehrdimensionalen Räumen |
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elbowUpHisButt
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 10.06.2020
Mitteilungen: 23
 |  Themenstart: 2020-06-22
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Wir haben \(f: \IR^n\mapsto \IR^n\) stetig differenzierbare Funktion, wobei \(\langle Df(x)(v), v \rangle\)>0 für alle \(x\in \IR^n\) und \(\langle v, w \rangle\) ist der Standardskalarprodukt (mit \(Df(x)(v)\) ist hier Ableitung von f in x angewendet auf v gemeint). Jetzt ist zu zeigen dass f injektiv ist.
Mein Tutor meinte ich sollte mir dazu erstmal die Ableitung der Funktion \(g: \IR\mapsto \IR\), \(t\mapsto \langle f(a+tb), b \rangle\),\(a,b\in \IR^n\) angucken.
Jedoch krieg ich das mit Ableiten nicht so hin. Man kann natürlich g als verkettung von diversen Funktion und skalarprodukt aufschreiben, sodass im Endeffekt g abgeleitet Summe von Sk.produkten ist, weil Sk.p eine bilinearform ist und somit nicht kleiner als 0. Aber ich sehe nicht wie das weiterhilft
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Vercassivelaunos
Senior 
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1267
| Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand{\H}{\mathbb{H}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z}
\newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)}
\newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)}
\newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}
\newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>}
\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert}
\newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>}
\newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>}
\newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>}
\newcommand{\lvert}{\left\vert}
\newcommand{\rvert}{\right\vert}
\newcommand{\lVert}{\left\Vert}
\newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo elbowUpHisButt,
die Ableitung von $g$ ist per Definition nichts anderes, als die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $b$ an der Stelle $a$, also $\D_b f(a)$. Das ist einfach $\D f(a)(b)$.
Viele Grüße
Vercassivelaunos\(\endgroup\)
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,
soll die Zielmenge von $f$ wirklich $\IR$ sein? Dann wäre nämlich $\mathrm Df(x):\IR^n\to \IR$ eine lineare Abbildung und somit $\mathrm Df(x)(v)\in \IR$.
Der Ausdruck $\langle \mathrm Df(x)(v), v \rangle$ ergibt demnach nur Sinn, wenn $n=1$.\(\endgroup\)
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elbowUpHisButt
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.06.2020
Mitteilungen: 23
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22
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Hallo Vercassivelaunos
Danke fur die Antwort) ich seh allerdings ich habe hier unsinn geschrieben
Es sollte eigentlich heißen \(g(t)\)=\(\langle f(a+tv, v \rangle\)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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elbowUpHisButt
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 10.06.2020
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22
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Hallo Nuramon
Das stimmt) hab jetzt alles korrigiert. Danke für den Hinweis)
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Nuramon
Senior 
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Wo ist das Problem: Weißt du nicht, wie man die Ableitung von $g$ berechnet oder ist dir unklar wozu diese gut sein könnte?\(\endgroup\)
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elbowUpHisButt
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Dabei seit: 10.06.2020
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22
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So wie ich das verstehe, ist g injektiv wenn g'(t)>0 ist. Zum Ausrechnen von g'(t) muss ich einfach den Skalarprodukt ableiten. Ich kapiere aber nicht wie aus Injektivität von g Injektivität von f folgt. Falls das denn überhaupt der richtige Weg ist bzw. Der Grund wieso man so ein g betrachtet
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Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Angenommen es gäbe $x\not=y$ mit $f(x)=f(y)$.
Wir versuchen jetzt einen Widerspruch herzuleiten, indem wir uns nur die Funktionswerte von $f$ entlang der Strecke zwischen $x$ und $y$ ansehen. Wähle dazu $a,b$ so, dass $a+tb, t\in[0,1]$ diese Strecke beschreibt.
Kannst du durch Betrachtung der Funktion $g$ dann einen Widerspruch herleiten? Tipp: \showon
Satz von Rolle
\showoff\(\endgroup\)
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elbowUpHisButt
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-22
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viganme
Wenig Aktiv
Dabei seit: 04.04.2020
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| Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-25
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\quoteon(2020-06-22 13:44 - Nuramon in Beitrag No. 5)
Weißt du nicht, wie man die Ableitung von $g$ berechnet
\quoteoff
Wie berechnet man den die Ableitung von $g$?
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Nuramon
Senior
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Mitteilungen: 3738
| Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\d}{{\rm d}}
\newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}
\newcommand{\spur}{\operatorname{spur}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Man kann
\[g: \IR\mapsto \IR, \quad t\mapsto \langle f(a+tb), b \rangle, \quad a,b\in \IR^n\]
als Verknüpfung von drei Abbildungen schreiben:
$t\mapsto x:= a+tb$ (affin linear),
$x\mapsto y:=f(x)$ und
$y\mapsto \langle y,b\rangle$ (linear).
Den Rest erledigt die Kettenregel.\(\endgroup\)
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