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Mathematik » Stochastik und Statistik » Markow-Ketten für einfache stochastische Prozesse
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Kein bestimmter Bereich Markow-Ketten für einfache stochastische Prozesse
cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-23


Hallo Ihr Lieben!

Wieder einmal hat mich ein "Rätsel der Woche" auf SPIEGEL online dazu gebracht, hier ein neues Thema zu eröffnen.

Es geht um die Auswertung verhältnismäßig einfacher stochastischer Prozesse mit Hilfe von Markow[Markov/Markoff]-Ketten.

Als Aufhänger dient das "Glücksspiel mit dem Teufel", Stufe 1 ;)

Einem Sterbenden erscheint der Teufel und bietet ihm ein Glücksspiel um die Seele an:
"Du darfst eine 'faire' Münze werfen. Immer wieder. Zuvor suchst Du Dir eine beliebige Dreierfolge von Münzseiten aus, also z.B. 'Kopf-Zahl-Kopf'.  Danach wähle ich eine andere derartige Folge. Sobald sich bei den jüngsten drei Münzwürfen eine der beiden Folgen ergibt, ist das Spiel vorbei, und einer von uns beiden gewinnt mit seiner gewählten Folge..."

Klar, dass der Teufel da irgendwie grundsätzlich im Vorteil sein muss!

Die Frage ist, wie er welche Wahl des Delinquenten optimal kontert, und welche Gewinnwahrscheinlichkeiten sich bei welcher Kombination unterschiedlicher Zielfolgen ergeben.

Und da kommt die Anwendung von Markow-Ketten ins Spiel...

Wenn der Sterbende besonderen Wert auf den Verlust seiner Seele legt, wählt er "Dreimal Kopf" oder "Dreimal Zahl", und der Teufel kontert im ersteren Fall mit "Zahl-Kopf-Kopf" oder im zweiteren mit "Kopf-Zahl-Zahl".  Damit fängt er ihn nämlich immer ab, falls der Noch-Seelen-Besitzer nicht zufällig gleich mit den ersten drei Münzwürfen gewinnt, also in 7/8 oder 87,5 % der Fälle. Soweit, so trivial.

Wählt der Beinahe-Tote jedoch "Zahl-Zahl-Kopf", und kontert der Teufel mit "Kopf-Zahl-Zahl", wie hoch sind dann die jeweiligen Gewinnchancen für die beiden?

Da möchte im folgenden darstellen, wie mir aus der Uni-Mathe der 1990-er Jahre die Anwendung von Markow-Ketten auf solche Prozesse noch geläufig ist, und wie ich mich erinnere, derartige Aufgaben zu lösen gelernt zu haben.
Wer es [etwas] anders gelernt hat, trage hier gerne dazu bei, möglichst viel Licht in die Sache der Anwendung zu bringen ;)

Also... mir wurde seinerzeit vermittelt, solches über "Absorptionswahrscheinlichkeiten" anzugehen und dazu vorab ein Übergangsdiagramm für die insgesamt oder teilweise "absorbierenden" Zustände zu erstellen:


"0" ist der Ausgangszustand vor dem ersten Münzwurf, und danach führt jeder weitere jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 = 0,5 zu einem "[teil]absorbierenden".
"[...]ZK" beispielsweise ist hierfür nicht gesondert relevant, weil ja weder "[...]ZKK" noch "[...]ZKZ" gewinnträchtige jüngste Dreierfolgen sind; stattdessen wird hier "[...]ZK" vom teilabsorbierenden Zwischenstand "[...]K" mit repräsentiert!
"[...]K" führt mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit zu "[...]KK", was jedoch von der weiteren Relevanz her das gleiche ist wie "[...]K"; also ein "Verweilen" in der Teilabsorption.

Ich hatte nun gelernt, zunächst für die teilabsorbierenden Zwischenzustände jeweils eine Gleichung aufzustellen, welche die Absorptionswahrscheinlichkeit angibt.
In diesem Fall (die genaue Notation kann stark abweichen - manche verwenden ein "alpha"...):
(1) p[a]("[...]K") = 0,5 * p[a]("[...]K") + 0,5 * p[a]("[...]KZ")
(2) p[a]("[...]Z") = 0,5 * p[a]("[...]K") + 0,5 * p[a]("[...]ZZ")
(3) p[a]("[...]KZ") = 0,5 * p[a]("[...]K") + 0,5 * p[a]("[...]KZZ")
(4) p[a]("[...]ZZ") = 0,5 * p[a]("[...]ZZ") + 0,5 * p[a]("[...]ZZK")

Dann kommt der erste "Kniff", weil ich einfach eine der beiden Zielfolgen zur "Wunschabsorption" mit p[a](...) = 1 erkläre, und der anderen entsprechend p[a](...) = 0 zuweise.
Seien hier o.B.d.A. p[a]("[...]ZZK") !=! 1 und p[a]("[...]KZZ") !=! 0...

Nun kann ich die vier Gleichungen nach und nach auflösen und erhalte
(4*) p[a]("[...]ZZ") = 1
(3*) p[a]("[...]KZ") = 0,5 * p[a]("[...]K")
(3*) in (1): (1*) 0,5 * p[a]("[...]K") = 0,25 * p[a]("[...]K"), also p[a]("[...]K") = 0 !
(4*) und (1*) in (2): (2*) p[a]("[...]Z") = 0 + 0,5 = 0,5 !

Das bedeutet zunächst, dass der Zwischenzustand "[...]K" überhaupt nicht zu "[...]ZZK" führen kann, also niemals von diesem absorbiert wird, und "[...]Z" nur zu 50 Prozent.

Der zweite "Kniff" besteht nun noch darin, festzustellen, dass ja bereits der erste Münzwurf mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit von 50 % zu einem der beiden Zwischenzustände "[...]K" oder "[...]Z" führt, und daher deren "Beiträge" zum "Ziel" ZZK schlicht gemittelt werden dürfen. Also 25 Prozent oder 1/4.

Demnach hätte der Teufel mit "KZZ" eine 75-prozentige Gewinnchance gegenüber bloßen 25 Prozent für den Sterbenden mit "ZZK"!

Wer hat es anders oder etwas ganz anderes gelernt und wie?
Gerne mit Bild eines anderen Übergangsdiagrammes etc.!

Über Erweiterungen der Aufgabe à la "drei(!)seitige 'faire' Münze" oder "Noch vor dem ersten Wurf gesellt sich des Teufels Großmutter dazu, wählt für sich eine abermals andere Kombination und bringt dadurch 'Leben in die Bude'..." können wir hernach gerne weiter sinnieren ;)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-23


Hallo cramilu,

ich würde das genauso angehen wie du es hier vorgeführt hast, allerdings habe mich mehr auf die konkrete Aufgabenstellung konzentriert und bin, nachdem ich dasselbe Diagramm hergestellt habe, mit einfacheren Schlussfolgerungen ans Ziel gelangt. Das geht natürlich nur deshalb gut, weil das Diagramm in Bereiche zerfällt, die relativ gut entkoppelt sind.

Ich habe mir erlaubt, das in dein schönes Diagramm einzuzeichnen und wäre dann hier:



Man kann direkt sehen, dass die Bereiche "OBEN" und "unten" nicht mehr verlassen werden können, wenn sie einmal erreicht sind. Es wird auch spätestens nach dem zweiten Münzwurf einer von beiden erreicht.

Man kann dann direkt ablesen, dass der Zustand [..]Z nur im zweiten Wurf eingenommen werden kann, und zwar mit Wahrscheinlichkeit 1/2.

Damit landet man mit Wahrscheinlichkeit 1/4, also 0.25, im Bereich "unten".

Nun muss man sich nur noch klar machen, dass man in beiden Bereichen letztendlich an dem jeweiligen Zielpunkt [...]ZZK oder [...]KZZ ankommt.

Jedenfalls eine nette Aufgabe!

Ich würde noch anfügen: Aus Symmetriegründen ist es egal, ob die Folge, die man wählt, mit K oder Z anfängt. Damit hat man eigentlich nur noch die folgenden vier Fälle zu betrachten:

ZZZ   gewinnt gegen KKK nur, wenn es sofort kommt, also in 1/8 der Fälle
ZZK   gewinnt in 1/4 der Fälle gegen KZZ. Kann der Teufel besser kontern?
ZKZ   ?
ZKK   ?

Ich frage mich gerade, noch etwas verschlafen und während des ersten Morgenkaffee, ob man wirklich alle Fälle auf diese Art durchrechnen muss, oder ob es eine einfachere Möglichkeit gibt zu erkennen, welche Folge wie am besten gekontert werden können und was man, wenn man das eigene Seelenheil schätzt, also auswählen sollte...

Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz



 



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-23


Huhu gonz,

- tatsächlich sind diese vier Fälle (mit einem einfachen Symmetrieargument) ausreichend;
- Die Teufelstrategie KZZ gegen ZZK ist optimal
- In den anderen Fällen verfügt der Teufel ebenfalls über eine bessere Strategie. Wählt er diese optimal beträgt seine Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3.

Und nun eine Zusatzfrage von mir:

Schaut man sich die optimal Strategie des Teufels jeweil an, so mag man ein Muster zu erkennen glauben, wie diese jeweils gebildet wird.
Wenn man allerdings die gewählten Sequenzen von Spieler und Teufel auf $n>3$ Buchstaben erweitert, so gibt es manche $n$ bei denen die (entsprechend erweiterte) Bildungsregel für den Teufel nicht funktioniert (bzw. nicht zu einer optimalen Strategie führt).

Welches ist das kleinste derartige $n$?

lg, AK.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-23


@gonz,AnnaKath: Danke für Euere postwendenden Beiträge ;)

@gonz:
Klar, dass man den jeweiligen "Absorptionssträngen" häufig auch ohne Gleichungssystem schon entscheidendes "ansehen" kann; ging mir ja auch so! Ich erinnere mich verschwommen an mögliche "Strangreduktionen" oder "Stranggewichtungen" anhand von ggf. "Überschüssen" beim Hin-Und-Herwechseln bzw. In-Sich-Verweilen. Für solche Abkürzungen weiß ich aber nach so langer Zeit nicht mehr, wie es auf die schnelle gemacht wird...
"ZZK" gegen "ZKK" liefert insgesamt 2/3 zu 1/3 und bietet vom Übergangsdiagramm her sicher entsprechende Ansätze. Aber wie...?

Darum ja meine Kernfrage: Wie und was habt Ihr seinerzeit gelernt?
Je nach Mathe-Übungsleiter kann man da halt eher Glück oder Pech gehabt haben - wie beim Münzwurf auch ;)

@AnnaKath:
Mein Studienfreund, ein versierter Skatspieler, hat mich noch vor dem Zu-Ende-Lesen des Aufhänger-Rätsels schon verblüfft, weil er gleich mit der teuflischen Strategie um die Ecke kam, wonach der Teufel immer einen "Abfangkurs" einschlagen sollte und dabei als Schlusssequenz die Anfangssequenz des Sterbenden zu wählen habe, wobei seine erste Münzseite entweder belanglos sei oder auf die Umkehr der zweiten Münzseite des Gegners lauten solle...
Klartext: "ZZZ" wird mit "KZZ" gekontert, "ZKZ" mit "ZZK", "KZZ" mit "KKZ" usw. Scheint pfiffig, habe ich aber noch nicht durchexerziert ;)



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-23


Huhu cramilu,

2020-06-23 17:48 - cramilu in Beitrag No. 3 schreibt:
@AnnaKath:
Mein Studienfreund, ein versierter Skatspieler, hat mich noch vor dem Zu-Ende-Lesen des Aufhänger-Rätsels schon verblüfft, weil er gleich mit der teuflischen Strategie um die Ecke kam, wonach der Teufel immer einen "Abfangkurs" einschlagen sollte und dabei als Schlusssequenz die Anfangssequenz des Sterbenden zu wählen habe, wobei seine erste Münzseite entweder belanglos sei oder auf die Umkehr der zweiten Münzseite des Gegners lauten solle...
Klartext: "ZZZ" wird mit "KZZ" gekontert, "ZKZ" mit "ZZK", "KZZ" mit "KKZ" usw. Scheint pfiffig, habe ich aber noch nicht durchexerziert ;)

Genau dieses Vorgehen (ggf. mit einer etwas anderen Wahl des ersten Symbols) meine ich. Etwas genauer: Ist $a_0 \ldots a_n$ die Folge des Spielers für das Spiel mit $n+1$-stelligen Sequenzen, so ist die Strategie $a_1 \ldots a_n b$ als Strategie für den Teufel sehr häufig optimal, manchmal unabhängig von $b$, manmal nur durch spezielle Wahl von $b$ (ich selber wähle hier $b=1-a_n$) und in (wirklich sehr wenigen Fällen) nicht. Meine Zusatzfrage bezieht sich also darauf, für welches kleinste $n>2$ dieses Vorgehen nicht zu einer optimalen/Gewinnstrategie für den Teufel führt (sofern es ein solches gibt).

Als kleiner Tipp aus meiner Erinnerung (kann also falsch sein): Es gibt genau ein solches $n$ (welches somit auch das kleinste ist), wenn man $b$ bestmöglich wählt, so dass die optimale Strategie für den Teufel nicht auf diese Art entsteht. Wählt man $b$ allerdings "falsch", gehört die so konstruierte Strategie für mehrere $n$ nicht zu den zwei besten. Aber alle so konstruierten Strategien sind Gewinnstrategien für den Teufel.

lg, AK.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-23


Hallo AnnaKath ;)

So "aus dem Bauch" würde ich auf n = 5 tippen...

Das ist mir jedoch aus mindestens zwei Gründen zunächst noch zu weit weg.
Erstens liegt mir wie erwähnt vorrangig daran, unterschiedliche Diagramm- und Gleichungsansätze kennenzulernen; so halt, wie es auch beim einfachen Multiplizieren mit Stift auf Papier etc. mehr als nur ein zielführendes Verfahren gibt.
Zweitens ist mit "Anfangs-" bzw. "Schlusssequenz" die Strategie ja noch nicht zweifelsfrei beschrieben! Für n=3 schon, aber für n>4 wäre bereits die Frage, ob etwa mit "Anfangssequenz" eine Teilfolge nur ohne genau den abschließenden Münzwurf gemeint ist, oder "die ersten drei von fünf", also gerade mehr als die vordere Hälfte ;) Oder sonstiges...
Als Informatiker fände ich selbstredend eine algorithmische Antwort auf die Frage nach dem optimalen Konter bei n ins Auge gefassten Folgewürfen toll!
Mein Hauptinteresse besteht jedoch erst einmal darin, mir noch unbekannte "handwerkliche" Tricks beim Umgang mit einfachen Markow-Ketten zu Gemüte zu führen ;)
Später SEHR GERNE mehr!



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-24


Alles fein. Die "Zusatzaufgabe" mag ja auch andere interessieren. lg, AK.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-24


AnnaKath, hoffentlich habe ich Sie nicht vor den Kopf gestoßen - solches liegt mir fern!

Ihre Zusatzaufgabe wird ja dann umso interessanter, wenn sich weitere Spieler dazugesellen...
Z.B. Erster Sterbender: "ZZZ" - Teufel: "Blöde Wahl! Ich nehme KZZ - lass uns anfangen..." - Zweiter Sterbender: "Halt! Ich steige mit ein und nehme KKZ!" - Teufel: "Äh... moment mal..." - Dritter Sterbender: "Fein! Dann tät' ich ZKK wählen!" - Der erste Sterbende grinst schadenfroh, der Teufel ist angesäuert und überlegt schon, wie er beim nächsten Mal für VIERERfolgen eine weniger durchsichtige Strategie entwickeln könnte...

Ich habe hier nur leider schon häufig erlebt, dass man sich schnell bei erweiternden Gesichtspunkten vergaloppiert, bevor zum Ausgangsproblem überhaupt erst einmal handwerkliche Klarheit und Einigkeit geschaffen ist.
Haben Sie denn persönlich einen "Kniff" gelernt, wie man etwa Absorptionsstränge in sich oder gegenüber einander reduzieren kann?
So was habe ich schon mit Stift und Papier gesehen und war schlicht NEIDISCH, weil ich selber es nicht konnte ;)



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-24


So... ;)

Nachstehend drei Tabellen zu einfachem Münzwürf sowie Münzwurfduell mit Zweierkombi und Dreierkombi:







Die jüngste ist noch nicht vollständig
- Korrekturen und Ergänzungen willkommen!

Drei Dinge scheinen dabei klar:
1. Spiegelt man einen Wert an der Hauptdiagonale, erhält man (1 - Wert).
2. Spiegelt man einen Wert am Mittelpunkt, erhält man den gleichen Wert.
3. Spiegelt man einen Wert an der Nebendiagonale, erhält man (1 - Wert).
>>> Die Werte AUF der Nebendiagonale sollten also allesamt 1/2 betragen!?

Für den erweiterten Fall "Sterbender wählt ZZZ, Teufel kontert mit KZZ, und des Teufels Großmutter drängt sich mit KKZ als Dritte ins Spiel" habe ich an Chancen 1/8 für den Sterbenden, 7/24 für den Teufel und 7/12 für die gewiefte Großmutter ermittelt.
Bestätigt oder widerlegt mir das bitte jemand?



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-24


Das ist viel auf einmal @cramilu

Ich werde mir mal weiter Gedanken machen, wie man eine Art von "generischen" Algorithmus bauen kann, der nicht nur die Ergebnismatrix, sondern ggf. auch eine nette Grafik für ein Zustand/Übergangsdiagramm baut :) Aber das wird noch etwas dauern, es lockt immer die Realwelt (Garten oder Dackelrunde). Ideen sind jedenfalls genug vorhanden :)




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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-28


Huhu zusammen,

um das ganze nicht einschlafen zu lassen, will ich hier einmal die Ergebnisse für $5$-stellige Folgen posten (es sind auch zusätzlich noch die Ergebnisse von jeweils $10000$ Simulationen aufgeführt, das diente vor allem mir als Kontrolle, dass ich lineare Algebra noch hinreichend beherrsche ein Gleichungssystem zu lösen...)

output
Full result matrix (w/o the obvious basic symmetry).
Format: Player's choice - Devil's choice - Player's winning probability - simulation result
KKKKK - KKKKZ - 0,500 - 0,506
KKKKK - KKKZK - 0,400 - 0,398
KKKKZ - KKKZK - 0,667 - 0,671
KKKKK - KKKZZ - 0,400 - 0,403
KKKKZ - KKKZZ - 0,667 - 0,666
KKKZK - KKKZZ - 0,500 - 0,501
KKKKK - KKZKK - 0,364 - 0,361
KKKKZ - KKZKK - 0,571 - 0,571
KKKZK - KKZKK - 0,667 - 0,664
KKKZZ - KKZKK - 0,500 - 0,507
KKKKK - KKZKZ - 0,364 - 0,366
KKKKZ - KKZKZ - 0,571 - 0,567
KKKZK - KKZKZ - 0,667 - 0,664
KKKZZ - KKZKZ - 0,500 - 0,504
KKZKK - KKZKZ - 0,500 - 0,501
KKKKK - KKZZK - 0,364 - 0,365
KKKKZ - KKZZK - 0,571 - 0,575
KKKZK - KKZZK - 0,500 - 0,498
KKKZZ - KKZZK - 0,667 - 0,666
KKZKK - KKZZK - 0,500 - 0,502
KKZKZ - KKZZK - 0,500 - 0,492
KKKKK - KKZZZ - 0,364 - 0,360
KKKKZ - KKZZZ - 0,571 - 0,579
KKKZK - KKZZZ - 0,500 - 0,502
KKKZZ - KKZZZ - 0,667 - 0,666
KKZKK - KKZZZ - 0,500 - 0,510
KKZKZ - KKZZZ - 0,500 - 0,499
KKZZK - KKZZZ - 0,500 - 0,505
KKKKK - KZKKK - 0,250 - 0,255
KKKKZ - KZKKK - 0,417 - 0,416
KKKZK - KZKKK - 0,455 - 0,460
KKKZZ - KZKKK - 0,385 - 0,387
KKZKK - KZKKK - 0,583 - 0,580
KKZKZ - KZKKK - 0,500 - 0,499
KKZZK - KZKKK - 0,467 - 0,463
KKZZZ - KZKKK - 0,467 - 0,473
KKKKK - KZKKZ - 0,375 - 0,378
KKKKZ - KZKKZ - 0,562 - 0,566
KKKZK - KZKKZ - 0,600 - 0,599
KKKZZ - KZKKZ - 0,529 - 0,531
KKZKK - KZKKZ - 0,583 - 0,584
KKZKZ - KZKKZ - 0,500 - 0,497
KKZZK - KZKKZ - 0,467 - 0,470
KKZZZ - KZKKZ - 0,467 - 0,468
KZKKK - KZKKZ - 0,500 - 0,508
KKKKK - KZKZK - 0,400 - 0,408
KKKKZ - KZKZK - 0,588 - 0,586
KKKZK - KZKZK - 0,625 - 0,629
KKKZZ - KZKZK - 0,556 - 0,556
KKZKK - KZKZK - 0,526 - 0,524
KKZKZ - KZKZK - 0,769 - 0,771
KKZZK - KZKZK - 0,556 - 0,557
KKZZZ - KZKZK - 0,556 - 0,565
KZKKK - KZKZK - 0,500 - 0,505
KZKKZ - KZKZK - 0,500 - 0,507
KKKKK - KZKZZ - 0,348 - 0,342
KKKKZ - KZKZZ - 0,533 - 0,532
KKKZK - KZKZZ - 0,571 - 0,567
KKKZZ - KZKZZ - 0,500 - 0,503
KKZKK - KZKZZ - 0,471 - 0,483
KKZKZ - KZKZZ - 0,727 - 0,722
KKZZK - KZKZZ - 0,500 - 0,497
KKZZZ - KZKZZ - 0,500 - 0,502
KZKKK - KZKZZ - 0,500 - 0,494
KZKKZ - KZKZZ - 0,500 - 0,499
KZKZK - KZKZZ - 0,500 - 0,504
KKKKK - KZZKK - 0,318 - 0,328
KKKKZ - KZZKK - 0,500 - 0,504
KKKZK - KZZKK - 0,467 - 0,475
KKKZZ - KZZKK - 0,538 - 0,540
KKZKK - KZZKK - 0,438 - 0,437
KKZKZ - KZZKK - 0,500 - 0,490
KKZZK - KZZKK - 0,636 - 0,630
KKZZZ - KZZKK - 0,467 - 0,471
KZKKK - KZZKK - 0,500 - 0,501
KZKKZ - KZZKK - 0,500 - 0,496
KZKZK - KZZKK - 0,444 - 0,451
KZKZZ - KZZKK - 0,571 - 0,564
KKKKK - KZZKZ - 0,375 - 0,378
KKKKZ - KZZKZ - 0,562 - 0,565
KKKZK - KZZKZ - 0,529 - 0,534
KKKZZ - KZZKZ - 0,600 - 0,602
KKZKK - KZZKZ - 0,500 - 0,493
KKZKZ - KZZKZ - 0,562 - 0,562
KKZZK - KZZKZ - 0,692 - 0,696
KKZZZ - KZZKZ - 0,529 - 0,527
KZKKK - KZZKZ - 0,500 - 0,500
KZKKZ - KZZKZ - 0,500 - 0,505
KZKZK - KZZKZ - 0,444 - 0,438
KZKZZ - KZZKZ - 0,571 - 0,570
KZZKK - KZZKZ - 0,500 - 0,507
KKKKK - KZZZK - 0,348 - 0,355
KKKKZ - KZZZK - 0,533 - 0,532
KKKZK - KZZZK - 0,500 - 0,496
KKKZZ - KZZZK - 0,571 - 0,570
KKZKK - KZZZK - 0,471 - 0,468
KKZKZ - KZZZK - 0,533 - 0,533
KKZZK - KZZZK - 0,500 - 0,506
KKZZZ - KZZZK - 0,667 - 0,673
KZKKK - KZZZK - 0,500 - 0,500
KZKKZ - KZZZK - 0,500 - 0,502
KZKZK - KZZZK - 0,444 - 0,449
KZKZZ - KZZZK - 0,571 - 0,578
KZZKK - KZZZK - 0,500 - 0,501
KZZKZ - KZZZK - 0,500 - 0,497
KKKKK - KZZZZ - 0,348 - 0,345
KKKKZ - KZZZZ - 0,533 - 0,532
KKKZK - KZZZZ - 0,500 - 0,497
KKKZZ - KZZZZ - 0,571 - 0,576
KKZKK - KZZZZ - 0,471 - 0,478
KKZKZ - KZZZZ - 0,533 - 0,538
KKZZK - KZZZZ - 0,500 - 0,496
KKZZZ - KZZZZ - 0,667 - 0,672
KZKKK - KZZZZ - 0,500 - 0,503
KZKKZ - KZZZZ - 0,500 - 0,499
KZKZK - KZZZZ - 0,444 - 0,439
KZKZZ - KZZZZ - 0,571 - 0,578
KZZKK - KZZZZ - 0,500 - 0,506
KZZKZ - KZZZZ - 0,500 - 0,504
KZZZK - KZZZZ - 0,500 - 0,500
KKKKK - ZKKKK - 0,031 - 0,030
KKKKZ - ZKKKK - 0,062 - 0,058
KKKZK - ZKKKK - 0,375 - 0,371
KKKZZ - ZKKKK - 0,375 - 0,374
KKZKK - ZKKKK - 0,464 - 0,465
KKZKZ - ZKKKK - 0,464 - 0,477
KKZZK - ZKKKK - 0,464 - 0,467
KKZZZ - ZKKKK - 0,464 - 0,462
KZKKK - ZKKKK - 0,625 - 0,626
KZKKZ - ZKKKK - 0,469 - 0,470
KZKZK - ZKKKK - 0,441 - 0,438
KZKZZ - ZKKKK - 0,500 - 0,505
KZZKK - ZKKKK - 0,536 - 0,535
KZZKZ - ZKKKK - 0,469 - 0,461
KZZZK - ZKKKK - 0,500 - 0,500
KZZZZ - ZKKKK - 0,500 - 0,497
KKKKK - ZKKKZ - 0,354 - 0,359
KKKKZ - ZKKKZ - 0,531 - 0,527
KKKZK - ZKKKZ - 0,375 - 0,380
KKKZZ - ZKKKZ - 0,375 - 0,373
KKZKK - ZKKKZ - 0,464 - 0,462
KKZKZ - ZKKKZ - 0,464 - 0,461
KKZZK - ZKKKZ - 0,464 - 0,468
KKZZZ - ZKKKZ - 0,464 - 0,470
KZKKK - ZKKKZ - 0,625 - 0,624
KZKKZ - ZKKKZ - 0,469 - 0,474
KZKZK - ZKKKZ - 0,441 - 0,440
KZKZZ - ZKKKZ - 0,500 - 0,500
KZZKK - ZKKKZ - 0,536 - 0,523
KZZKZ - ZKKKZ - 0,469 - 0,466
KZZZK - ZKKKZ - 0,500 - 0,487
KZZZZ - ZKKKZ - 0,500 - 0,494
ZKKKK - ZKKKZ - 0,500 - 0,504
KKKKK - ZKKZK - 0,354 - 0,356
KKKKZ - ZKKZK - 0,531 - 0,540
KKKZK - ZKKZK - 0,531 - 0,524
KKKZZ - ZKKZK - 0,531 - 0,521
KKZKK - ZKKZK - 0,375 - 0,382
KKZKZ - ZKKZK - 0,375 - 0,370
KKZZK - ZKKZK - 0,531 - 0,530
KKZZZ - ZKKZK - 0,531 - 0,527
KZKKK - ZKKZK - 0,433 - 0,445
KZKKZ - ZKKZK - 0,591 - 0,590
KZKZK - ZKKZK - 0,406 - 0,413
KZKZZ - ZKKZK - 0,464 - 0,470
KZZKK - ZKKZK - 0,567 - 0,567
KZZKZ - ZKKZK - 0,500 - 0,503
KZZZK - ZKKZK - 0,531 - 0,531
KZZZZ - ZKKZK - 0,531 - 0,543
ZKKKK - ZKKZK - 0,500 - 0,503
ZKKKZ - ZKKZK - 0,500 - 0,506
KKKKK - ZKKZZ - 0,354 - 0,360
KKKKZ - ZKKZZ - 0,531 - 0,535
KKKZK - ZKKZZ - 0,531 - 0,532
KKKZZ - ZKKZZ - 0,531 - 0,526
KKZKK - ZKKZZ - 0,531 - 0,535
KKZKZ - ZKKZZ - 0,531 - 0,522
KKZZK - ZKKZZ - 0,375 - 0,385
KKZZZ - ZKKZZ - 0,375 - 0,369
KZKKK - ZKKZZ - 0,500 - 0,512
KZKKZ - ZKKZZ - 0,654 - 0,651
KZKZK - ZKKZZ - 0,472 - 0,469
KZKZZ - ZKKZZ - 0,531 - 0,533
KZZKK - ZKKZZ - 0,500 - 0,504
KZZKZ - ZKKZZ - 0,433 - 0,430
KZZZK - ZKKZZ - 0,464 - 0,465
KZZZZ - ZKKZZ - 0,464 - 0,460
ZKKKK - ZKKZZ - 0,500 - 0,502
ZKKKZ - ZKKZZ - 0,500 - 0,504
ZKKZK - ZKKZZ - 0,500 - 0,497
KKKKK - ZKZKK - 0,295 - 0,289
KKKKZ - ZKZKK - 0,464 - 0,457
KKKZK - ZKZKK - 0,464 - 0,460
KKKZZ - ZKZKK - 0,464 - 0,459
KKZKK - ZKZKK - 0,406 - 0,416
KKZKZ - ZKZKK - 0,542 - 0,543
KKZZK - ZKZKK - 0,464 - 0,465
KKZZZ - ZKZKK - 0,464 - 0,467
KZKKK - ZKZKK - 0,292 - 0,293
KZKKZ - ZKZKK - 0,292 - 0,290
KZKZK - ZKZKK - 0,577 - 0,588
KZKZZ - ZKZKK - 0,500 - 0,497
KZZKK - ZKZKK - 0,469 - 0,464
KZZKZ - ZKZKK - 0,536 - 0,537
KZZZK - ZKZKK - 0,500 - 0,494
KZZZZ - ZKZKK - 0,500 - 0,495
ZKKKK - ZKZKK - 0,429 - 0,420
ZKKKZ - ZKZKK - 0,429 - 0,430
ZKKZK - ZKZKK - 0,429 - 0,428
ZKKZZ - ZKZKK - 0,429 - 0,426
KKKKK - ZKZKZ - 0,404 - 0,402
KKKKZ - ZKZKZ - 0,583 - 0,580
KKKZK - ZKZKZ - 0,583 - 0,578
KKKZZ - ZKZKZ - 0,583 - 0,581
KKZKK - ZKZKZ - 0,525 - 0,523
KKZKZ - ZKZKZ - 0,656 - 0,652
KKZZK - ZKZKZ - 0,583 - 0,590
KKZZZ - ZKZKZ - 0,583 - 0,591
KZKKK - ZKZKZ - 0,528 - 0,526
KZKKZ - ZKZKZ - 0,528 - 0,526
KZKZK - ZKZKZ - 0,500 - 0,497
KZKZZ - ZKZKZ - 0,423 - 0,421
KZZKK - ZKZKZ - 0,528 - 0,523
KZZKZ - ZKZKZ - 0,594 - 0,591
KZZZK - ZKZKZ - 0,559 - 0,561
KZZZZ - ZKZKZ - 0,559 - 0,563
ZKKKK - ZKZKZ - 0,556 - 0,553
ZKKKZ - ZKZKZ - 0,556 - 0,548
ZKKZK - ZKZKZ - 0,556 - 0,555
ZKKZZ - ZKZKZ - 0,556 - 0,555
ZKZKK - ZKZKZ - 0,500 - 0,501
KKKKK - ZKZZK - 0,354 - 0,356
KKKKZ - ZKZZK - 0,531 - 0,530
KKKZK - ZKZZK - 0,531 - 0,527
KKKZZ - ZKZZK - 0,531 - 0,538
KKZKK - ZKZZK - 0,472 - 0,476
KKZKZ - ZKZZK - 0,607 - 0,607
KKZZK - ZKZZK - 0,531 - 0,534
KKZZZ - ZKZZK - 0,531 - 0,527
KZKKK - ZKZZK - 0,500 - 0,495
KZKKZ - ZKZZK - 0,500 - 0,496
KZKZK - ZKZZK - 0,472 - 0,476
KZKZZ - ZKZZK - 0,708 - 0,714
KZZKK - ZKZZK - 0,346 - 0,349
KZZKZ - ZKZZK - 0,409 - 0,405
KZZZK - ZKZZK - 0,531 - 0,531
KZZZZ - ZKZZK - 0,531 - 0,536
ZKKKK - ZKZZK - 0,500 - 0,491
ZKKKZ - ZKZZK - 0,500 - 0,502
ZKKZK - ZKZZK - 0,500 - 0,506
ZKKZZ - ZKZZK - 0,500 - 0,500
ZKZKK - ZKZZK - 0,500 - 0,505
ZKZKZ - ZKZZK - 0,500 - 0,500
KKKKK - ZKZZZ - 0,354 - 0,351
KKKKZ - ZKZZZ - 0,531 - 0,532
KKKZK - ZKZZZ - 0,531 - 0,535
KKKZZ - ZKZZZ - 0,531 - 0,520
KKZKK - ZKZZZ - 0,472 - 0,479
KKZKZ - ZKZZZ - 0,607 - 0,599
KKZZK - ZKZZZ - 0,531 - 0,534
KKZZZ - ZKZZZ - 0,531 - 0,524
KZKKK - ZKZZZ - 0,500 - 0,496
KZKKZ - ZKZZZ - 0,500 - 0,501
KZKZK - ZKZZZ - 0,472 - 0,466
KZKZZ - ZKZZZ - 0,708 - 0,711
KZZKK - ZKZZZ - 0,500 - 0,498
KZZKZ - ZKZZZ - 0,567 - 0,568
KZZZK - ZKZZZ - 0,375 - 0,372
KZZZZ - ZKZZZ - 0,375 - 0,368
ZKKKK - ZKZZZ - 0,500 - 0,499
ZKKKZ - ZKZZZ - 0,500 - 0,505
ZKKZK - ZKZZZ - 0,500 - 0,489
ZKKZZ - ZKZZZ - 0,500 - 0,498
ZKZKK - ZKZZZ - 0,500 - 0,498
ZKZKZ - ZKZZZ - 0,500 - 0,504
ZKZZK - ZKZZZ - 0,500 - 0,506
KKKKK - ZZKKK - 0,225 - 0,229
KKKKZ - ZZKKK - 0,375 - 0,376
KKKZK - ZZKKK - 0,346 - 0,347
KKKZZ - ZZKKK - 0,409 - 0,413
KKZKK - ZZKKK - 0,406 - 0,412
KKZKZ - ZZKKK - 0,464 - 0,467
KKZZK - ZZKKK - 0,500 - 0,505
KKZZZ - ZZKKK - 0,500 - 0,498
KZKKK - ZZKKK - 0,469 - 0,477
KZKKZ - ZZKKK - 0,469 - 0,465
KZKZK - ZZKKK - 0,417 - 0,425
KZKZZ - ZZKKK - 0,536 - 0,535
KZZKK - ZZKKK - 0,625 - 0,629
KZZKZ - ZZKKK - 0,469 - 0,474
KZZZK - ZZKKK - 0,536 - 0,532
KZZZZ - ZZKKK - 0,536 - 0,533
ZKKKK - ZZKKK - 0,333 - 0,323
ZKKKZ - ZZKKK - 0,333 - 0,330
ZKKZK - ZZKKK - 0,471 - 0,472
ZKKZZ - ZZKKK - 0,533 - 0,529
ZKZKK - ZZKKK - 0,500 - 0,498
ZKZKZ - ZZKKK - 0,444 - 0,456
ZKZZK - ZZKKK - 0,533 - 0,532
ZKZZZ - ZZKKK - 0,533 - 0,529
KKKKK - ZZKKZ - 0,354 - 0,356
KKKKZ - ZZKKZ - 0,531 - 0,539
KKKZK - ZZKKZ - 0,500 - 0,494
KKKZZ - ZZKKZ - 0,567 - 0,578
KKZKK - ZZKKZ - 0,406 - 0,406
KKZKZ - ZZKKZ - 0,464 - 0,463
KKZZK - ZZKKZ - 0,500 - 0,498
KKZZZ - ZZKKZ - 0,500 - 0,493
KZKKK - ZZKKZ - 0,469 - 0,472
KZKKZ - ZZKKZ - 0,469 - 0,460
KZKZK - ZZKKZ - 0,417 - 0,425
KZKZZ - ZZKKZ - 0,536 - 0,539
KZZKK - ZZKKZ - 0,625 - 0,619
KZZKZ - ZZKKZ - 0,469 - 0,471
KZZZK - ZZKKZ - 0,536 - 0,533
KZZZZ - ZZKKZ - 0,536 - 0,531
ZKKKK - ZZKKZ - 0,500 - 0,501
ZKKKZ - ZZKKZ - 0,500 - 0,499
ZKKZK - ZZKKZ - 0,308 - 0,312
ZKKZZ - ZZKKZ - 0,364 - 0,367
ZKZKK - ZZKKZ - 0,500 - 0,495
ZKZKZ - ZZKKZ - 0,444 - 0,441
ZKZZK - ZZKKZ - 0,533 - 0,538
ZKZZZ - ZZKKZ - 0,533 - 0,532
ZZKKK - ZZKKZ - 0,500 - 0,502
KKKKK - ZZKZK - 0,326 - 0,327
KKKKZ - ZZKZK - 0,500 - 0,499
KKKZK - ZZKZK - 0,469 - 0,471
KKKZZ - ZZKZK - 0,536 - 0,542
KKZKK - ZZKZK - 0,441 - 0,438
KKZKZ - ZZKZK - 0,500 - 0,493
KKZZK - ZZKZK - 0,536 - 0,541
KKZZZ - ZZKZK - 0,536 - 0,540
KZKKK - ZZKZK - 0,393 - 0,392
KZKKZ - ZZKZK - 0,393 - 0,396
KZKZK - ZZKZK - 0,344 - 0,344
KZKZZ - ZZKZK - 0,458 - 0,450
KZZKK - ZZKZK - 0,469 - 0,477
KZZKZ - ZZKZK - 0,625 - 0,626
KZZZK - ZZKZK - 0,536 - 0,540
KZZZZ - ZZKZK - 0,536 - 0,531
ZKKKK - ZZKZK - 0,467 - 0,468
ZKKKZ - ZZKZK - 0,467 - 0,469
ZKKZK - ZZKZK - 0,438 - 0,436
ZKKZZ - ZZKZK - 0,500 - 0,507
ZKZKK - ZZKZK - 0,273 - 0,270
ZKZKZ - ZZKZK - 0,231 - 0,233
ZKZZK - ZZKZK - 0,500 - 0,496
ZKZZZ - ZZKZK - 0,500 - 0,510
ZZKKK - ZZKZK - 0,500 - 0,499
ZZKKZ - ZZKZK - 0,500 - 0,505
KKKKK - ZZKZZ - 0,380 - 0,382
KKKKZ - ZZKZZ - 0,559 - 0,554
KKKZK - ZZKZZ - 0,528 - 0,517
KKKZZ - ZZKZZ - 0,594 - 0,602
KKZKK - ZZKZZ - 0,500 - 0,492
KKZKZ - ZZKZZ - 0,559 - 0,563
KKZZK - ZZKZZ - 0,594 - 0,591
KKZZZ - ZZKZZ - 0,594 - 0,587
KZKKK - ZZKZZ - 0,528 - 0,535
KZKKZ - ZZKZZ - 0,528 - 0,529
KZKZK - ZZKZZ - 0,475 - 0,464
KZKZZ - ZZKZZ - 0,594 - 0,579
KZZKK - ZZKZZ - 0,469 - 0,474
KZZKZ - ZZKZZ - 0,625 - 0,624
KZZZK - ZZKZZ - 0,536 - 0,530
KZZZZ - ZZKZZ - 0,536 - 0,534
ZKKKK - ZZKZZ - 0,529 - 0,537
ZKKKZ - ZZKZZ - 0,529 - 0,535
ZKKZK - ZZKZZ - 0,500 - 0,496
ZKKZZ - ZZKZZ - 0,562 - 0,564
ZKZKK - ZZKZZ - 0,529 - 0,531
ZKZKZ - ZZKZZ - 0,474 - 0,475
ZKZZK - ZZKZZ - 0,417 - 0,419
ZKZZZ - ZZKZZ - 0,417 - 0,418
ZZKKK - ZZKZZ - 0,500 - 0,499
ZZKKZ - ZZKZZ - 0,500 - 0,508
ZZKZK - ZZKZZ - 0,500 - 0,501
KKKKK - ZZZKK - 0,295 - 0,300
KKKKZ - ZZZKK - 0,464 - 0,473
KKKZK - ZZZKK - 0,433 - 0,436
KKKZZ - ZZZKK - 0,500 - 0,505
KKZKK - ZZZKK - 0,406 - 0,405
KKZKZ - ZZZKK - 0,464 - 0,468
KKZZK - ZZZKK - 0,433 - 0,443
KKZZZ - ZZZKK - 0,591 - 0,588
KZKKK - ZZZKK - 0,469 - 0,468
KZKKZ - ZZZKK - 0,469 - 0,466
KZKZK - ZZZKK - 0,417 - 0,406
KZKZZ - ZZZKK - 0,536 - 0,536
KZZKK - ZZZKK - 0,469 - 0,465
KZZKZ - ZZZKK - 0,469 - 0,477
KZZZK - ZZZKK - 0,625 - 0,630
KZZZZ - ZZZKK - 0,625 - 0,619
ZKKKK - ZZZKK - 0,429 - 0,432
ZKKKZ - ZZZKK - 0,429 - 0,432
ZKKZK - ZZZKK - 0,400 - 0,402
ZKKZZ - ZZZKK - 0,462 - 0,472
ZKZKK - ZZZKK - 0,500 - 0,505
ZKZKZ - ZZZKK - 0,444 - 0,454
ZKZZK - ZZZKK - 0,471 - 0,466
ZKZZZ - ZZZKK - 0,615 - 0,620
ZZKKK - ZZZKK - 0,333 - 0,338
ZZKKZ - ZZZKK - 0,333 - 0,328
ZZKZK - ZZZKK - 0,500 - 0,504
ZZKZZ - ZZZKK - 0,500 - 0,494
KKKKK - ZZZKZ - 0,354 - 0,354
KKKKZ - ZZZKZ - 0,531 - 0,525
KKKZK - ZZZKZ - 0,500 - 0,495
KKKZZ - ZZZKZ - 0,567 - 0,566
KKZKK - ZZZKZ - 0,472 - 0,463
KKZKZ - ZZZKZ - 0,531 - 0,537
KKZZK - ZZZKZ - 0,500 - 0,500
KKZZZ - ZZZKZ - 0,654 - 0,647
KZKKK - ZZZKZ - 0,469 - 0,471
KZKKZ - ZZZKZ - 0,469 - 0,474
KZKZK - ZZZKZ - 0,417 - 0,421
KZKZZ - ZZZKZ - 0,536 - 0,530
KZZKK - ZZZKZ - 0,469 - 0,466
KZZKZ - ZZZKZ - 0,469 - 0,460
KZZZK - ZZZKZ - 0,625 - 0,624
KZZZZ - ZZZKZ - 0,625 - 0,627
ZKKKK - ZZZKZ - 0,500 - 0,511
ZKKKZ - ZZZKZ - 0,500 - 0,506
ZKKZK - ZZZKZ - 0,471 - 0,469
ZKKZZ - ZZZKZ - 0,533 - 0,533
ZKZKK - ZZZKZ - 0,429 - 0,423
ZKZKZ - ZZZKZ - 0,375 - 0,369
ZKZZK - ZZZKZ - 0,400 - 0,402
ZKZZZ - ZZZKZ - 0,545 - 0,540
ZZKKK - ZZZKZ - 0,500 - 0,503
ZZKKZ - ZZZKZ - 0,500 - 0,501
ZZKZK - ZZZKZ - 0,333 - 0,334
ZZKZZ - ZZZKZ - 0,333 - 0,337
ZZZKK - ZZZKZ - 0,500 - 0,506
KKKKK - ZZZZK - 0,326 - 0,324
KKKKZ - ZZZZK - 0,500 - 0,505
KKKZK - ZZZZK - 0,469 - 0,465
KKKZZ - ZZZZK - 0,536 - 0,534
KKZKK - ZZZZK - 0,441 - 0,444
KKZKZ - ZZZZK - 0,500 - 0,497
KKZZK - ZZZZK - 0,469 - 0,479
KKZZZ - ZZZZK - 0,625 - 0,630
KZKKK - ZZZZK - 0,469 - 0,467
KZKKZ - ZZZZK - 0,469 - 0,473
KZKZK - ZZZZK - 0,417 - 0,414
KZKZZ - ZZZZK - 0,536 - 0,534
KZZKK - ZZZZK - 0,469 - 0,468
KZZKZ - ZZZZK - 0,469 - 0,465
KZZZK - ZZZZK - 0,469 - 0,472
KZZZZ - ZZZZK - 0,937 - 0,942
ZKKKK - ZZZZK - 0,467 - 0,467
ZKKKZ - ZZZZK - 0,467 - 0,468
ZKKZK - ZZZZK - 0,438 - 0,437
ZKKZZ - ZZZZK - 0,500 - 0,496
ZKZKK - ZZZZK - 0,467 - 0,459
ZKZKZ - ZZZZK - 0,412 - 0,411
ZKZZK - ZZZZK - 0,437 - 0,433
ZKZZZ - ZZZZK - 0,583 - 0,585
ZZKKK - ZZZZK - 0,429 - 0,429
ZZKKZ - ZZZZK - 0,429 - 0,435
ZZKZK - ZZZZK - 0,429 - 0,420
ZZKZZ - ZZZZK - 0,429 - 0,429
ZZZKK - ZZZZK - 0,333 - 0,325
ZZZKZ - ZZZZK - 0,333 - 0,336
KKKKK - ZZZZZ - 0,500 - 0,508
KKKKZ - ZZZZZ - 0,674 - 0,676
KKKZK - ZZZZZ - 0,646 - 0,641
KKKZZ - ZZZZZ - 0,705 - 0,707
KKZKK - ZZZZZ - 0,620 - 0,616
KKZKZ - ZZZZZ - 0,674 - 0,679
KKZZK - ZZZZZ - 0,646 - 0,641
KKZZZ - ZZZZZ - 0,775 - 0,773
KZKKK - ZZZZZ - 0,646 - 0,639
KZKKZ - ZZZZZ - 0,646 - 0,649
KZKZK - ZZZZZ - 0,596 - 0,594
KZKZZ - ZZZZZ - 0,705 - 0,698
KZZKK - ZZZZZ - 0,646 - 0,648
KZZKZ - ZZZZZ - 0,646 - 0,650
KZZZK - ZZZZZ - 0,646 - 0,648
KZZZZ - ZZZZZ - 0,969 - 0,969
ZKKKK - ZZZZZ - 0,652 - 0,646
ZKKKZ - ZZZZZ - 0,652 - 0,652
ZKKZK - ZZZZZ - 0,625 - 0,625
ZKKZZ - ZZZZZ - 0,682 - 0,678
ZKZKK - ZZZZZ - 0,652 - 0,656
ZKZKZ - ZZZZZ - 0,600 - 0,600
ZKZZK - ZZZZZ - 0,625 - 0,626
ZKZZZ - ZZZZZ - 0,750 - 0,754
ZZKKK - ZZZZZ - 0,636 - 0,646
ZZKKZ - ZZZZZ - 0,636 - 0,635
ZZKZK - ZZZZZ - 0,636 - 0,637
ZZKZZ - ZZZZZ - 0,636 - 0,635
ZZZKK - ZZZZZ - 0,600 - 0,599
ZZZKZ - ZZZZZ - 0,600 - 0,595
ZZZZK - ZZZZZ - 0,500 - 0,488

Cramilus $n$-Spieler-Version gefällt mir auch und so will ich das dann gerne auch noch implementieren. Den Source-Code kann ich bei Interesse gerne veröffentlichen (werde ihn dann aber aus Eitelkeit noch etwas aufhübschen müssen!)

Einen schönen Sonntag und
lg, AK.



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AnnaKath
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Um noch ein wenig die Neugier zu wecken... Hier mein erster Versuch, da des Teufels Oma mitspielt...

output
Solution to the devil's coin game with sequences of length 4 and 3 players (omitting the obvious symmetries).
Format: strategies of the players - probabilies - simulation results
 
KKZK KKKZ KKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,337 0,334 0,330 
KKZZ KKKZ KKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,336 0,332 0,331 
KKZZ KKZK KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,377 0,374 0,248 
KKZZ KKZK KKKZ - 0,250 0,250 0,500 - 0,245 0,252 0,502 
KZKK KKKZ KKKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,503 0,252 0,245 
KZKK KKZK KKKK - 0,348 0,391 0,261 - 0,349 0,396 0,256 
KZKK KKZK KKKZ - 0,308 0,231 0,462 - 0,311 0,229 0,460 
KZKK KKZZ KKKK - 0,483 0,310 0,207 - 0,476 0,312 0,211 
KZKK KKZZ KKKZ - 0,400 0,200 0,400 - 0,387 0,209 0,404 
KZKK KKZZ KKZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,253 0,369 0,377 
KZKZ KKKZ KKKK - 0,375 0,312 0,312 - 0,376 0,312 0,311 
KZKZ KKZK KKKK - 0,242 0,455 0,303 - 0,240 0,454 0,305 
KZKZ KKZK KKKZ - 0,211 0,263 0,526 - 0,208 0,270 0,522 
KZKZ KKZZ KKKK - 0,359 0,385 0,256 - 0,357 0,388 0,255 
KZKZ KKZZ KKKZ - 0,286 0,238 0,476 - 0,289 0,241 0,470 
KZKZ KKZZ KKZK - 0,167 0,417 0,417 - 0,162 0,417 0,420 
KZKZ KZKK KKKK - 0,389 0,389 0,222 - 0,380 0,391 0,229 
KZKZ KZKK KKKZ - 0,300 0,300 0,400 - 0,291 0,304 0,405 
KZKZ KZKK KKZK - 0,250 0,250 0,500 - 0,252 0,254 0,494 
KZKZ KZKK KKZZ - 0,333 0,333 0,333 - 0,326 0,345 0,329 
KZZK KKKZ KKKK - 0,429 0,286 0,286 - 0,434 0,281 0,285 
KZZK KKZK KKKK - 0,412 0,353 0,235 - 0,410 0,356 0,234 
KZZK KKZK KKKZ - 0,333 0,222 0,444 - 0,337 0,220 0,443 
KZZK KKZZ KKKK - 0,286 0,429 0,286 - 0,288 0,433 0,280 
KZZK KKZZ KKKZ - 0,250 0,250 0,500 - 0,248 0,247 0,505 
KZZK KKZZ KKZK - 0,200 0,400 0,400 - 0,195 0,402 0,403 
KZZK KZKK KKKK - 0,412 0,412 0,176 - 0,414 0,407 0,179 
KZZK KZKK KKKZ - 0,333 0,333 0,333 - 0,331 0,332 0,337 
KZZK KZKK KKZK - 0,412 0,235 0,353 - 0,404 0,241 0,355 
KZZK KZKK KKZZ - 0,263 0,421 0,316 - 0,258 0,421 0,320 
KZZK KZKZ KKKK - 0,368 0,368 0,263 - 0,376 0,365 0,259 
KZZK KZKZ KKKZ - 0,273 0,273 0,455 - 0,275 0,272 0,454 
KZZK KZKZ KKZK - 0,391 0,174 0,435 - 0,389 0,170 0,441 
KZZK KZKZ KKZZ - 0,143 0,381 0,476 - 0,142 0,370 0,488 
KZZK KZKZ KZKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,337 0,326 0,338 
KZZZ KKKZ KKKK - 0,429 0,286 0,286 - 0,420 0,292 0,287 
KZZZ KKZK KKKK - 0,412 0,353 0,235 - 0,412 0,352 0,236 
KZZZ KKZK KKKZ - 0,333 0,222 0,444 - 0,338 0,220 0,443 
KZZZ KKZZ KKKK - 0,286 0,429 0,286 - 0,282 0,432 0,286 
KZZZ KKZZ KKKZ - 0,250 0,250 0,500 - 0,251 0,252 0,497 
KZZZ KKZZ KKZK - 0,200 0,400 0,400 - 0,202 0,400 0,398 
KZZZ KZKK KKKK - 0,412 0,412 0,176 - 0,408 0,418 0,174 
KZZZ KZKK KKKZ - 0,333 0,333 0,333 - 0,330 0,339 0,332 
KZZZ KZKK KKZK - 0,412 0,235 0,353 - 0,418 0,235 0,347 
KZZZ KZKK KKZZ - 0,263 0,421 0,316 - 0,266 0,419 0,314 
KZZZ KZKZ KKKK - 0,368 0,368 0,263 - 0,369 0,371 0,260 
KZZZ KZKZ KKKZ - 0,273 0,273 0,455 - 0,265 0,272 0,463 
KZZZ KZKZ KKZK - 0,391 0,174 0,435 - 0,389 0,175 0,436 
KZZZ KZKZ KKZZ - 0,143 0,381 0,476 - 0,147 0,378 0,475 
KZZZ KZKZ KZKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,341 0,328 0,331 
KZZZ KZZK KKKK - 0,389 0,389 0,222 - 0,385 0,389 0,226 
KZZZ KZZK KKKZ - 0,300 0,300 0,400 - 0,298 0,299 0,403 
KZZZ KZZK KKZK - 0,333 0,333 0,333 - 0,340 0,325 0,334 
KZZZ KZZK KKZZ - 0,250 0,250 0,500 - 0,248 0,240 0,511 
KZZZ KZZK KZKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,337 0,338 0,326 
KZZZ KZZK KZKZ - 0,333 0,333 0,333 - 0,345 0,327 0,328 
ZKKK KKKZ KKKK - 0,875 0,062 0,062 - 0,872 0,062 0,066 
ZKKK KKZK KKKK - 0,562 0,375 0,063 - 0,563 0,373 0,063 
ZKKK KKZK KKKZ - 0,542 0,333 0,125 - 0,537 0,336 0,127 
ZKKK KKZZ KKKK - 0,563 0,375 0,062 - 0,561 0,376 0,063 
ZKKK KKZZ KKKZ - 0,542 0,333 0,125 - 0,546 0,324 0,131 
ZKKK KKZZ KKZK - 0,375 0,312 0,312 - 0,373 0,310 0,317 
ZKKK KZKK KKKK - 0,396 0,542 0,062 - 0,395 0,540 0,065 
ZKKK KZKK KKKZ - 0,375 0,500 0,125 - 0,372 0,505 0,122 
ZKKK KZKK KKZK - 0,365 0,327 0,308 - 0,366 0,332 0,301 
ZKKK KZKK KKZZ - 0,283 0,450 0,267 - 0,283 0,456 0,261 
ZKKK KZKZ KKKK - 0,531 0,406 0,062 - 0,525 0,413 0,062 
ZKKK KZKZ KKKZ - 0,500 0,375 0,125 - 0,491 0,382 0,127 
ZKKK KZKZ KKZK - 0,434 0,224 0,342 - 0,430 0,231 0,339 
ZKKK KZKZ KKZZ - 0,369 0,321 0,310 - 0,367 0,317 0,316 
ZKKK KZKZ KZKK - 0,300 0,350 0,350 - 0,294 0,352 0,354 
ZKKK KZZK KKKK - 0,473 0,464 0,063 - 0,470 0,472 0,058 
ZKKK KZZK KKKZ - 0,446 0,429 0,125 - 0,449 0,427 0,124 
ZKKK KZZK KKZK - 0,333 0,375 0,292 - 0,346 0,366 0,288 
ZKKK KZZK KKZZ - 0,406 0,266 0,328 - 0,409 0,261 0,330 
ZKKK KZZK KZKK - 0,222 0,389 0,389 - 0,218 0,390 0,392 
ZKKK KZZK KZKZ - 0,364 0,318 0,318 - 0,361 0,319 0,320 
ZKKK KZZZ KKKK - 0,473 0,464 0,063 - 0,470 0,469 0,062 
ZKKK KZZZ KKKZ - 0,446 0,429 0,125 - 0,450 0,426 0,125 
ZKKK KZZZ KKZK - 0,333 0,375 0,292 - 0,342 0,366 0,293 
ZKKK KZZZ KKZZ - 0,406 0,266 0,328 - 0,412 0,266 0,322 
ZKKK KZZZ KZKK - 0,222 0,389 0,389 - 0,226 0,383 0,391 
ZKKK KZZZ KZKZ - 0,364 0,318 0,318 - 0,367 0,319 0,314 
ZKKK KZZZ KZZK - 0,300 0,350 0,350 - 0,300 0,354 0,345 
ZKKZ KKKZ KKKK - 0,438 0,281 0,281 - 0,440 0,278 0,282 
ZKKZ KKZK KKKK - 0,482 0,214 0,304 - 0,477 0,218 0,304 
ZKKZ KKZK KKKZ - 0,406 0,062 0,531 - 0,407 0,064 0,529 
ZKKZ KKZZ KKKK - 0,482 0,214 0,304 - 0,479 0,218 0,302 
ZKKZ KKZZ KKKZ - 0,406 0,062 0,531 - 0,405 0,062 0,533 
ZKKZ KKZZ KKZK - 0,375 0,312 0,312 - 0,373 0,315 0,313 
ZKKZ KZKK KKKK - 0,339 0,429 0,232 - 0,340 0,432 0,228 
ZKKZ KZKK KKKZ - 0,281 0,312 0,406 - 0,275 0,315 0,410 
ZKKZ KZKK KKZK - 0,365 0,327 0,308 - 0,365 0,327 0,308 
ZKKZ KZKK KKZZ - 0,283 0,450 0,267 - 0,291 0,447 0,261 
ZKKZ KZKZ KKKK - 0,425 0,300 0,275 - 0,427 0,291 0,282 
ZKKZ KZKZ KKKZ - 0,333 0,208 0,458 - 0,334 0,204 0,461 
ZKKZ KZKZ KKZK - 0,434 0,224 0,342 - 0,433 0,223 0,344 
ZKKZ KZKZ KKZZ - 0,369 0,321 0,310 - 0,368 0,325 0,308 
ZKKZ KZKZ KZKK - 0,300 0,350 0,350 - 0,308 0,342 0,350 
ZKKZ KZZK KKKK - 0,390 0,353 0,257 - 0,389 0,352 0,260 
ZKKZ KZZK KKKZ - 0,312 0,250 0,438 - 0,311 0,252 0,436 
ZKKZ KZZK KKZK - 0,333 0,375 0,292 - 0,328 0,379 0,293 
ZKKZ KZZK KKZZ - 0,406 0,266 0,328 - 0,410 0,262 0,328 
ZKKZ KZZK KZKK - 0,222 0,389 0,389 - 0,228 0,395 0,378 
ZKKZ KZZK KZKZ - 0,364 0,318 0,318 - 0,363 0,323 0,313 
ZKKZ KZZZ KKKK - 0,390 0,353 0,257 - 0,390 0,355 0,255 
ZKKZ KZZZ KKKZ - 0,312 0,250 0,438 - 0,313 0,250 0,437 
ZKKZ KZZZ KKZK - 0,333 0,375 0,292 - 0,334 0,379 0,286 
ZKKZ KZZZ KKZZ - 0,406 0,266 0,328 - 0,405 0,269 0,326 
ZKKZ KZZZ KZKK - 0,222 0,389 0,389 - 0,225 0,383 0,392 
ZKKZ KZZZ KZKZ - 0,364 0,318 0,318 - 0,362 0,316 0,323 
ZKKZ KZZZ KZZK - 0,300 0,350 0,350 - 0,306 0,346 0,348 
ZKKZ ZKKK KKKK - 0,469 0,469 0,062 - 0,460 0,478 0,062 
ZKKZ ZKKK KKKZ - 0,438 0,438 0,125 - 0,437 0,437 0,126 
ZKKZ ZKKK KKZK - 0,438 0,438 0,125 - 0,442 0,434 0,124 
ZKKZ ZKKK KKZZ - 0,438 0,438 0,125 - 0,446 0,436 0,118 
ZKKZ ZKKK KZKK - 0,312 0,312 0,375 - 0,317 0,305 0,377 
ZKKZ ZKKK KZKZ - 0,375 0,375 0,250 - 0,372 0,371 0,257 
ZKKZ ZKKK KZZK - 0,350 0,350 0,300 - 0,351 0,350 0,298 
ZKKZ ZKKK KZZZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,352 0,350 0,298 
ZKZK KKKZ KKKK - 0,438 0,281 0,281 - 0,445 0,278 0,277 
ZKZK KKZK KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,374 0,370 0,256 
ZKZK KKZK KKKZ - 0,325 0,225 0,450 - 0,317 0,219 0,464 
ZKZK KKZZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,376 0,379 0,246 
ZKZK KKZZ KKKZ - 0,325 0,225 0,450 - 0,323 0,224 0,453 
ZKZK KKZZ KKZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,249 0,376 0,375 
ZKZK KZKK KKKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,497 0,255 0,248 
ZKZK KZKK KKKZ - 0,395 0,171 0,434 - 0,399 0,171 0,430 
ZKZK KZKK KKZK - 0,422 0,062 0,516 - 0,421 0,070 0,509 
ZKZK KZKK KKZZ - 0,375 0,250 0,375 - 0,376 0,246 0,378 
ZKZK KZKZ KKKK - 0,370 0,306 0,324 - 0,365 0,302 0,332 
ZKZK KZKZ KKKZ - 0,294 0,191 0,515 - 0,295 0,197 0,507 
ZKZK KZKZ KKZK - 0,391 0,062 0,547 - 0,387 0,063 0,550 
ZKZK KZKZ KKZZ - 0,208 0,306 0,486 - 0,210 0,308 0,482 
ZKZK KZKZ KZKK - 0,375 0,312 0,312 - 0,378 0,315 0,307 
ZKZK KZZK KKKK - 0,349 0,414 0,237 - 0,353 0,415 0,232 
ZKZK KZZK KKKZ - 0,284 0,307 0,409 - 0,286 0,316 0,397 
ZKZK KZZK KKZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,254 0,377 0,370 
ZKZK KZZK KKZZ - 0,325 0,225 0,450 - 0,328 0,230 0,442 
ZKZK KZZK KZKK - 0,348 0,413 0,239 - 0,353 0,411 0,236 
ZKZK KZZK KZKZ - 0,235 0,441 0,324 - 0,232 0,449 0,319 
ZKZK KZZZ KKKK - 0,349 0,414 0,237 - 0,352 0,413 0,235 
ZKZK KZZZ KKKZ - 0,284 0,307 0,409 - 0,285 0,309 0,406 
ZKZK KZZZ KKZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,249 0,376 0,374 
ZKZK KZZZ KKZZ - 0,325 0,225 0,450 - 0,327 0,227 0,446 
ZKZK KZZZ KZKK - 0,348 0,413 0,239 - 0,347 0,406 0,247 
ZKZK KZZZ KZKZ - 0,235 0,441 0,324 - 0,244 0,442 0,314 
ZKZK KZZZ KZZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,245 0,366 0,389 
ZKZK ZKKK KKKK - 0,469 0,469 0,062 - 0,475 0,467 0,058 
ZKZK ZKKK KKKZ - 0,438 0,438 0,125 - 0,442 0,433 0,125 
ZKZK ZKKK KKZK - 0,350 0,350 0,300 - 0,345 0,354 0,301 
ZKZK ZKKK KKZZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,345 0,358 0,297 
ZKZK ZKKK KZKK - 0,447 0,342 0,211 - 0,440 0,344 0,216 
ZKZK ZKKK KZKZ - 0,324 0,441 0,235 - 0,320 0,444 0,237 
ZKZK ZKKK KZZK - 0,318 0,318 0,364 - 0,320 0,314 0,366 
ZKZK ZKKK KZZZ - 0,318 0,318 0,364 - 0,315 0,315 0,370 
ZKZK ZKKZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,384 0,366 0,250 
ZKZK ZKKZ KKKZ - 0,292 0,292 0,417 - 0,297 0,293 0,411 
ZKZK ZKKZ KKZK - 0,350 0,350 0,300 - 0,354 0,352 0,294 
ZKZK ZKKZ KKZZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,356 0,342 0,303 
ZKZK ZKKZ KZKK - 0,447 0,342 0,211 - 0,441 0,344 0,215 
ZKZK ZKKZ KZKZ - 0,324 0,441 0,235 - 0,322 0,438 0,240 
ZKZK ZKKZ KZZK - 0,318 0,318 0,364 - 0,325 0,314 0,360 
ZKZK ZKKZ KZZZ - 0,318 0,318 0,364 - 0,330 0,313 0,356 
ZKZK ZKKZ ZKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,331 0,329 0,340 
ZKZZ KKKZ KKKK - 0,438 0,281 0,281 - 0,441 0,277 0,282 
ZKZZ KKZK KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,374 0,376 0,250 
ZKZZ KKZK KKKZ - 0,325 0,225 0,450 - 0,324 0,221 0,455 
ZKZZ KKZZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,379 0,368 0,253 
ZKZZ KKZZ KKKZ - 0,325 0,225 0,450 - 0,324 0,226 0,449 
ZKZZ KKZZ KKZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,245 0,371 0,384 
ZKZZ KZKK KKKK - 0,423 0,404 0,173 - 0,419 0,408 0,173 
ZKZZ KZKK KKKZ - 0,357 0,321 0,321 - 0,350 0,326 0,324 
ZKZZ KZKK KKZK - 0,375 0,250 0,375 - 0,372 0,249 0,379 
ZKZZ KZKK KKZZ - 0,344 0,375 0,281 - 0,354 0,368 0,278 
ZKZZ KZKZ KKKK - 0,270 0,426 0,304 - 0,268 0,438 0,294 
ZKZZ KZKZ KKKZ - 0,217 0,293 0,489 - 0,218 0,290 0,492 
ZKZZ KZKZ KKZK - 0,284 0,205 0,511 - 0,277 0,208 0,515 
ZKZZ KZKZ KKZZ - 0,156 0,375 0,469 - 0,158 0,379 0,463 
ZKZZ KZKZ KZKK - 0,250 0,375 0,375 - 0,257 0,366 0,377 
ZKZZ KZZK KKKK - 0,442 0,275 0,283 - 0,442 0,269 0,289 
ZKZZ KZZK KKKZ - 0,347 0,181 0,472 - 0,348 0,188 0,464 
ZKZZ KZZK KKZK - 0,300 0,275 0,425 - 0,299 0,274 0,427 
ZKZZ KZZK KKZZ - 0,406 0,062 0,531 - 0,407 0,062 0,531 
ZKZZ KZZK KZKK - 0,381 0,214 0,405 - 0,384 0,216 0,400 
ZKZZ KZZK KZKZ - 0,211 0,342 0,447 - 0,202 0,355 0,443 
ZKZZ KZZZ KKKK - 0,442 0,275 0,283 - 0,445 0,276 0,279 
ZKZZ KZZZ KKKZ - 0,347 0,181 0,472 - 0,347 0,180 0,474 
ZKZZ KZZZ KKZK - 0,300 0,275 0,425 - 0,299 0,271 0,430 
ZKZZ KZZZ KKZZ - 0,406 0,062 0,531 - 0,393 0,071 0,536 
ZKZZ KZZZ KZKK - 0,381 0,214 0,405 - 0,377 0,217 0,406 
ZKZZ KZZZ KZKZ - 0,211 0,342 0,447 - 0,213 0,346 0,441 
ZKZZ KZZZ KZZK - 0,375 0,312 0,312 - 0,375 0,308 0,316 
ZKZZ ZKKK KKKK - 0,469 0,469 0,062 - 0,474 0,463 0,063 
ZKZZ ZKKK KKKZ - 0,438 0,438 0,125 - 0,437 0,436 0,127 
ZKZZ ZKKK KKZK - 0,350 0,350 0,300 - 0,347 0,354 0,298 
ZKZZ ZKKK KKZZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,349 0,352 0,299 
ZKZZ ZKKK KZKK - 0,405 0,214 0,381 - 0,405 0,213 0,382 
ZKZZ ZKKK KZKZ - 0,239 0,413 0,348 - 0,235 0,413 0,352 
ZKZZ ZKKK KZZK - 0,389 0,389 0,222 - 0,392 0,393 0,215 
ZKZZ ZKKK KZZZ - 0,389 0,389 0,222 - 0,392 0,385 0,223 
ZKZZ ZKKZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,372 0,381 0,246 
ZKZZ ZKKZ KKKZ - 0,292 0,292 0,417 - 0,289 0,303 0,408 
ZKZZ ZKKZ KKZK - 0,350 0,350 0,300 - 0,351 0,351 0,298 
ZKZZ ZKKZ KKZZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,349 0,350 0,300 
ZKZZ ZKKZ KZKK - 0,405 0,214 0,381 - 0,397 0,222 0,381 
ZKZZ ZKKZ KZKZ - 0,239 0,413 0,348 - 0,236 0,418 0,346 
ZKZZ ZKKZ KZZK - 0,389 0,389 0,222 - 0,391 0,392 0,217 
ZKZZ ZKKZ KZZZ - 0,389 0,389 0,222 - 0,388 0,384 0,228 
ZKZZ ZKKZ ZKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,333 0,331 0,335 
ZKZZ ZKZK KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,377 0,376 0,247 
ZKZZ ZKZK KKKZ - 0,292 0,292 0,417 - 0,292 0,293 0,414 
ZKZZ ZKZK KKZK - 0,292 0,292 0,417 - 0,290 0,288 0,421 
ZKZZ ZKZK KKZZ - 0,292 0,292 0,417 - 0,297 0,292 0,410 
ZKZZ ZKZK KZKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,369 0,378 0,252 
ZKZZ ZKZK KZKZ - 0,312 0,312 0,375 - 0,309 0,316 0,375 
ZKZZ ZKZK KZZK - 0,350 0,350 0,300 - 0,347 0,344 0,309 
ZKZZ ZKZK KZZZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,348 0,351 0,300 
ZKZZ ZKZK ZKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,332 0,337 0,331 
ZKZZ ZKZK ZKKZ - 0,333 0,333 0,333 - 0,337 0,327 0,336 
ZZKK KKKZ KKKK - 0,583 0,208 0,208 - 0,590 0,206 0,204 
ZZKK KKZK KKKK - 0,569 0,259 0,172 - 0,570 0,260 0,170 
ZZKK KKZK KKKZ - 0,500 0,167 0,333 - 0,500 0,163 0,337 
ZZKK KKZZ KKKK - 0,457 0,326 0,217 - 0,455 0,334 0,211 
ZZKK KKZZ KKKZ - 0,423 0,192 0,385 - 0,427 0,189 0,384 
ZZKK KKZZ KKZK - 0,375 0,312 0,312 - 0,371 0,314 0,315 
ZZKK KZKK KKKK - 0,516 0,391 0,094 - 0,510 0,397 0,094 
ZZKK KZKK KKKZ - 0,469 0,344 0,188 - 0,467 0,348 0,185 
ZZKK KZKK KKZK - 0,516 0,297 0,188 - 0,517 0,296 0,187 
ZZKK KZKK KKZZ - 0,422 0,391 0,188 - 0,423 0,388 0,189 
ZZKK KZKZ KKKK - 0,472 0,347 0,181 - 0,464 0,346 0,189 
ZZKK KZKZ KKKZ - 0,400 0,275 0,325 - 0,395 0,279 0,326 
ZZKK KZKZ KKZK - 0,489 0,216 0,295 - 0,490 0,211 0,299 
ZZKK KZKZ KKZZ - 0,292 0,347 0,361 - 0,288 0,346 0,365 
ZZKK KZKZ KZKK - 0,417 0,292 0,292 - 0,409 0,298 0,293 
ZZKK KZZK KKKK - 0,348 0,446 0,205 - 0,343 0,449 0,208 
ZZKK KZZK KKKZ - 0,297 0,344 0,359 - 0,302 0,342 0,357 
ZZKK KZZK KKZK - 0,316 0,382 0,303 - 0,315 0,389 0,296 
ZZKK KZZK KKZZ - 0,269 0,288 0,442 - 0,274 0,289 0,437 
ZZKK KZZK KZKK - 0,300 0,350 0,350 - 0,302 0,350 0,347 
ZZKK KZZK KZKZ - 0,300 0,350 0,350 - 0,298 0,345 0,356 
ZZKK KZZZ KKKK - 0,348 0,446 0,205 - 0,344 0,453 0,203 
ZZKK KZZZ KKKZ - 0,297 0,344 0,359 - 0,298 0,343 0,359 
ZZKK KZZZ KKZK - 0,316 0,382 0,303 - 0,308 0,384 0,308 
ZZKK KZZZ KKZZ - 0,269 0,288 0,442 - 0,268 0,290 0,443 
ZZKK KZZZ KZKK - 0,300 0,350 0,350 - 0,306 0,344 0,350 
ZZKK KZZZ KZKZ - 0,300 0,350 0,350 - 0,305 0,346 0,349 
ZZKK KZZZ KZZK - 0,125 0,438 0,438 - 0,123 0,429 0,448 
ZZKK ZKKK KKKK - 0,625 0,312 0,063 - 0,621 0,309 0,070 
ZZKK ZKKK KKKZ - 0,583 0,292 0,125 - 0,586 0,288 0,126 
ZZKK ZKKK KKZK - 0,550 0,217 0,233 - 0,560 0,207 0,233 
ZZKK ZKKK KKZZ - 0,442 0,288 0,269 - 0,445 0,297 0,258 
ZZKK ZKKK KZKK - 0,531 0,062 0,406 - 0,530 0,061 0,409 
ZZKK ZKKK KZKZ - 0,450 0,225 0,325 - 0,449 0,225 0,326 
ZZKK ZKKK KZZK - 0,328 0,266 0,406 - 0,320 0,272 0,408 
ZZKK ZKKK KZZZ - 0,328 0,266 0,406 - 0,337 0,262 0,401 
ZZKK ZKKZ KKKK - 0,536 0,268 0,196 - 0,542 0,266 0,192 
ZZKK ZKKZ KKKZ - 0,438 0,219 0,344 - 0,434 0,218 0,347 
ZZKK ZKKZ KKZK - 0,550 0,217 0,233 - 0,547 0,216 0,237 
ZZKK ZKKZ KKZZ - 0,442 0,288 0,269 - 0,440 0,280 0,280 
ZZKK ZKKZ KZKK - 0,531 0,062 0,406 - 0,541 0,062 0,397 
ZZKK ZKKZ KZKZ - 0,450 0,225 0,325 - 0,459 0,223 0,318 
ZZKK ZKKZ KZZK - 0,328 0,266 0,406 - 0,325 0,261 0,413 
ZZKK ZKKZ KZZZ - 0,328 0,266 0,406 - 0,323 0,275 0,403 
ZZKK ZKKZ ZKKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,497 0,242 0,261 
ZZKK ZKZK KKKK - 0,481 0,385 0,135 - 0,489 0,382 0,130 
ZZKK ZKZK KKKZ - 0,417 0,333 0,250 - 0,409 0,339 0,253 
ZZKK ZKZK KKZK - 0,458 0,323 0,219 - 0,461 0,320 0,218 
ZZKK ZKZK KKZZ - 0,361 0,347 0,292 - 0,359 0,353 0,288 
ZZKK ZKZK KZKK - 0,469 0,375 0,156 - 0,465 0,372 0,163 
ZZKK ZKZK KZKZ - 0,486 0,306 0,208 - 0,485 0,304 0,212 
ZZKK ZKZK KZZK - 0,310 0,321 0,369 - 0,311 0,319 0,371 
ZZKK ZKZK KZZZ - 0,310 0,321 0,369 - 0,302 0,330 0,368 
ZZKK ZKZK ZKKK - 0,476 0,381 0,143 - 0,471 0,393 0,137 
ZZKK ZKZK ZKKZ - 0,476 0,381 0,143 - 0,472 0,383 0,145 
ZZKK ZKZZ KKKK - 0,341 0,455 0,205 - 0,344 0,450 0,206 
ZZKK ZKZZ KKKZ - 0,276 0,368 0,355 - 0,270 0,386 0,345 
ZZKK ZKZZ KKZK - 0,341 0,352 0,307 - 0,338 0,349 0,313 
ZZKK ZKZZ KKZZ - 0,188 0,391 0,422 - 0,183 0,394 0,423 
ZZKK ZKZZ KZKK - 0,281 0,375 0,344 - 0,282 0,376 0,342 
ZZKK ZKZZ KZKZ - 0,375 0,250 0,375 - 0,371 0,242 0,387 
ZZKK ZKZZ KZZK - 0,267 0,450 0,283 - 0,260 0,458 0,282 
ZZKK ZKZZ KZZZ - 0,267 0,450 0,283 - 0,274 0,449 0,277 
ZZKK ZKZZ ZKKK - 0,316 0,421 0,263 - 0,314 0,425 0,261 
ZZKK ZKZZ ZKKZ - 0,316 0,421 0,263 - 0,315 0,414 0,270 
ZZKK ZKZZ ZKZK - 0,333 0,333 0,333 - 0,336 0,324 0,340 
ZZKZ KKKZ KKKK - 0,438 0,281 0,281 - 0,434 0,285 0,281 
ZZKZ KKZK KKKK - 0,423 0,346 0,231 - 0,432 0,338 0,230 
ZZKZ KKZK KKKZ - 0,357 0,214 0,429 - 0,348 0,222 0,430 
ZZKZ KKZZ KKKK - 0,318 0,409 0,273 - 0,321 0,411 0,268 
ZZKZ KKZZ KKKZ - 0,289 0,237 0,474 - 0,292 0,239 0,469 
ZZKZ KKZZ KKZK - 0,250 0,375 0,375 - 0,251 0,374 0,375 
ZZKZ KZKK KKKK - 0,458 0,333 0,208 - 0,454 0,331 0,215 
ZZKZ KZKK KKKZ - 0,375 0,250 0,375 - 0,377 0,246 0,377 
ZZKZ KZKK KKZK - 0,458 0,125 0,417 - 0,457 0,126 0,418 
ZZKZ KZKK KKZZ - 0,307 0,352 0,341 - 0,311 0,349 0,340 
ZZKZ KZKZ KKKK - 0,425 0,300 0,275 - 0,429 0,288 0,283 
ZZKZ KZKZ KKKZ - 0,333 0,208 0,458 - 0,335 0,214 0,451 
ZZKZ KZKZ KKZK - 0,448 0,094 0,458 - 0,450 0,096 0,454 
ZZKZ KZKZ KKZZ - 0,219 0,323 0,458 - 0,219 0,327 0,455 
ZZKZ KZKZ KZKK - 0,417 0,292 0,292 - 0,410 0,293 0,297 
ZZKZ KZZK KKKK - 0,325 0,400 0,275 - 0,322 0,401 0,277 
ZZKZ KZZK KKKZ - 0,264 0,278 0,458 - 0,271 0,277 0,452 
ZZKZ KZZK KKZK - 0,286 0,321 0,393 - 0,286 0,319 0,395 
ZZKZ KZZK KKZZ - 0,233 0,217 0,550 - 0,234 0,218 0,548 
ZZKZ KZZK KZKK - 0,300 0,350 0,350 - 0,295 0,357 0,347 
ZZKZ KZZK KZKZ - 0,300 0,350 0,350 - 0,293 0,354 0,353 
ZZKZ KZZZ KKKK - 0,325 0,400 0,275 - 0,333 0,395 0,273 
ZZKZ KZZZ KKKZ - 0,264 0,278 0,458 - 0,271 0,270 0,458 
ZZKZ KZZZ KKZK - 0,286 0,321 0,393 - 0,287 0,321 0,393 
ZZKZ KZZZ KKZZ - 0,233 0,217 0,550 - 0,237 0,220 0,544 
ZZKZ KZZZ KZKK - 0,300 0,350 0,350 - 0,299 0,346 0,354 
ZZKZ KZZZ KZKZ - 0,300 0,350 0,350 - 0,296 0,358 0,346 
ZZKZ KZZZ KZZK - 0,125 0,438 0,438 - 0,129 0,435 0,436 
ZZKZ ZKKK KKKK - 0,469 0,469 0,062 - 0,470 0,473 0,057 
ZZKZ ZKKK KKKZ - 0,438 0,438 0,125 - 0,438 0,435 0,128 
ZZKZ ZKKK KKZK - 0,393 0,321 0,286 - 0,397 0,321 0,282 
ZZKZ ZKKK KKZZ - 0,303 0,382 0,316 - 0,305 0,376 0,319 
ZZKZ ZKKK KZKK - 0,425 0,275 0,300 - 0,424 0,276 0,300 
ZZKZ ZKKK KZKZ - 0,375 0,375 0,250 - 0,377 0,368 0,256 
ZZKZ ZKKK KZZK - 0,292 0,375 0,333 - 0,281 0,385 0,334 
ZZKZ ZKKK KZZZ - 0,292 0,375 0,333 - 0,292 0,372 0,337 
ZZKZ ZKKZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,373 0,366 0,261 
ZZKZ ZKKZ KKKZ - 0,292 0,292 0,417 - 0,291 0,290 0,419 
ZZKZ ZKKZ KKZK - 0,393 0,321 0,286 - 0,395 0,323 0,282 
ZZKZ ZKKZ KKZZ - 0,303 0,382 0,316 - 0,304 0,382 0,315 
ZZKZ ZKKZ KZKK - 0,425 0,275 0,300 - 0,421 0,274 0,305 
ZZKZ ZKKZ KZKZ - 0,375 0,375 0,250 - 0,377 0,377 0,247 
ZZKZ ZKKZ KZZK - 0,292 0,375 0,333 - 0,289 0,374 0,337 
ZZKZ ZKKZ KZZZ - 0,292 0,375 0,333 - 0,294 0,375 0,331 
ZZKZ ZKKZ ZKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,332 0,326 0,341 
ZZKZ ZKZK KKKK - 0,507 0,203 0,291 - 0,507 0,202 0,290 
ZZKZ ZKZK KKKZ - 0,380 0,152 0,467 - 0,386 0,154 0,460 
ZZKZ ZKZK KKZK - 0,458 0,094 0,448 - 0,465 0,093 0,442 
ZZKZ ZKZK KKZZ - 0,295 0,216 0,489 - 0,294 0,221 0,484 
ZZKZ ZKZK KZKK - 0,511 0,205 0,284 - 0,507 0,205 0,288 
ZZKZ ZKZK KZKZ - 0,547 0,062 0,391 - 0,548 0,060 0,392 
ZZKZ ZKZK KZZK - 0,342 0,224 0,434 - 0,345 0,217 0,437 
ZZKZ ZKZK KZZZ - 0,342 0,224 0,434 - 0,340 0,226 0,434 
ZZKZ ZKZK ZKKK - 0,435 0,174 0,391 - 0,439 0,175 0,386 
ZZKZ ZKZK ZKKZ - 0,435 0,174 0,391 - 0,436 0,173 0,391 
ZZKZ ZKZZ KKKK - 0,417 0,278 0,306 - 0,414 0,277 0,309 
ZZKZ ZKZZ KKKZ - 0,309 0,206 0,485 - 0,310 0,203 0,487 
ZZKZ ZKZZ KKZK - 0,417 0,125 0,458 - 0,419 0,123 0,458 
ZZKZ ZKZZ KKZZ - 0,188 0,297 0,516 - 0,192 0,296 0,512 
ZZKZ ZKZZ KZKK - 0,375 0,250 0,375 - 0,378 0,251 0,371 
ZZKZ ZKZZ KZKZ - 0,516 0,062 0,422 - 0,513 0,061 0,426 
ZZKZ ZKZZ KZZK - 0,308 0,327 0,365 - 0,306 0,328 0,367 
ZZKZ ZKZZ KZZZ - 0,308 0,327 0,365 - 0,299 0,339 0,361 
ZZKZ ZKZZ ZKKK - 0,353 0,235 0,412 - 0,358 0,235 0,406 
ZZKZ ZKZZ ZKKZ - 0,353 0,235 0,412 - 0,359 0,234 0,407 
ZZKZ ZKZZ ZKZK - 0,500 0,250 0,250 - 0,499 0,242 0,260 
ZZKZ ZZKK KKKK - 0,417 0,417 0,167 - 0,425 0,415 0,160 
ZZKZ ZZKK KKKZ - 0,350 0,350 0,300 - 0,353 0,346 0,301 
ZZKZ ZZKK KKZK - 0,375 0,375 0,250 - 0,370 0,375 0,255 
ZZKZ ZZKK KKZZ - 0,312 0,312 0,375 - 0,310 0,313 0,377 
ZZKZ ZZKK KZKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,380 0,371 0,249 
ZZKZ ZZKK KZKZ - 0,375 0,375 0,250 - 0,380 0,375 0,245 
ZZKZ ZZKK KZZK - 0,312 0,312 0,375 - 0,313 0,314 0,373 
ZZKZ ZZKK KZZZ - 0,312 0,312 0,375 - 0,317 0,312 0,371 
ZZKZ ZZKK ZKKK - 0,400 0,400 0,200 - 0,405 0,398 0,198 
ZZKZ ZZKK ZKKZ - 0,400 0,400 0,200 - 0,398 0,400 0,202 
ZZKZ ZZKK ZKZK - 0,417 0,417 0,167 - 0,415 0,415 0,170 
ZZKZ ZZKK ZKZZ - 0,375 0,375 0,250 - 0,374 0,379 0,247 
ZZZK KKKZ KKKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,487 0,256 0,256 
ZZZK KKZK KKKK - 0,485 0,309 0,206 - 0,483 0,309 0,208 
ZZZK KKZK KKKZ - 0,417 0,194 0,389 - 0,418 0,196 0,387 
ZZZK KKZZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,372 0,379 0,249 
ZZZK KKZZ KKKZ - 0,344 0,219 0,438 - 0,355 0,211 0,435 
ZZZK KKZZ KKZK - 0,300 0,350 0,350 - 0,298 0,349 0,353 
ZZZK KZKK KKKK - 0,485 0,360 0,154 - 0,485 0,359 0,156 
ZZZK KZKK KKKZ - 0,417 0,292 0,292 - 0,426 0,280 0,294 
ZZZK KZKK KKZK - 0,485 0,206 0,309 - 0,493 0,206 0,301 
ZZZK KZKK KKZZ - 0,355 0,368 0,276 - 0,364 0,362 0,273 
ZZZK KZKZ KKKK - 0,447 0,322 0,230 - 0,456 0,320 0,224 
ZZZK KZKZ KKKZ - 0,364 0,239 0,398 - 0,355 0,231 0,415 
ZZZK KZKZ KKZK - 0,467 0,152 0,380 - 0,472 0,151 0,377 
ZZZK KZKZ KKZZ - 0,250 0,333 0,417 - 0,251 0,336 0,413 
ZZZK KZKZ KZKK - 0,417 0,292 0,292 - 0,413 0,297 0,290 
ZZZK KZZK KKKK - 0,465 0,340 0,194 - 0,462 0,338 0,201 
ZZZK KZZK KKKZ - 0,388 0,262 0,350 - 0,381 0,269 0,350 
ZZZK KZZK KKZK - 0,417 0,292 0,292 - 0,422 0,293 0,285 
ZZZK KZZK KKZZ - 0,344 0,219 0,438 - 0,349 0,214 0,437 
ZZZK KZZK KZKK - 0,417 0,292 0,292 - 0,421 0,290 0,289 
ZZZK KZZK KZKZ - 0,417 0,292 0,292 - 0,427 0,290 0,283 
ZZZK KZZZ KKKK - 0,125 0,557 0,318 - 0,130 0,553 0,317 
ZZZK KZZZ KKKZ - 0,125 0,375 0,500 - 0,121 0,381 0,498 
ZZZK KZZZ KKZK - 0,125 0,438 0,438 - 0,132 0,436 0,433 
ZZZK KZZZ KKZZ - 0,125 0,292 0,583 - 0,129 0,286 0,585 
ZZZK KZZZ KZKK - 0,125 0,438 0,438 - 0,121 0,440 0,440 
ZZZK KZZZ KZKZ - 0,125 0,438 0,438 - 0,123 0,449 0,428 
ZZZK KZZZ KZZK - 0,125 0,438 0,438 - 0,126 0,438 0,437 
ZZZK ZKKK KKKK - 0,536 0,402 0,062 - 0,533 0,402 0,065 
ZZZK ZKKK KKKZ - 0,500 0,375 0,125 - 0,511 0,368 0,122 
ZZZK ZKKK KKZK - 0,458 0,278 0,264 - 0,446 0,282 0,272 
ZZZK ZKKK KKZZ - 0,359 0,344 0,297 - 0,367 0,339 0,294 
ZZZK ZKKK KZKK - 0,472 0,181 0,347 - 0,467 0,184 0,348 
ZZZK ZKKK KZKZ - 0,409 0,307 0,284 - 0,407 0,302 0,291 
ZZZK ZKKK KZZK - 0,438 0,250 0,312 - 0,435 0,254 0,311 
ZZZK ZKKK KZZZ - 0,125 0,429 0,446 - 0,124 0,436 0,440 
ZZZK ZKKZ KKKK - 0,441 0,331 0,228 - 0,439 0,334 0,228 
ZZZK ZKKZ KKKZ - 0,350 0,263 0,388 - 0,359 0,266 0,375 
ZZZK ZKKZ KKZK - 0,458 0,278 0,264 - 0,461 0,283 0,257 
ZZZK ZKKZ KKZZ - 0,359 0,344 0,297 - 0,359 0,348 0,293 
ZZZK ZKKZ KZKK - 0,472 0,181 0,347 - 0,470 0,180 0,350 
ZZZK ZKKZ KZKZ - 0,409 0,307 0,284 - 0,414 0,308 0,279 
ZZZK ZKKZ KZZK - 0,438 0,250 0,312 - 0,435 0,258 0,307 
ZZZK ZKKZ KZZZ - 0,125 0,429 0,446 - 0,126 0,427 0,447 
ZZZK ZKKZ ZKKK - 0,400 0,300 0,300 - 0,392 0,304 0,303 
ZZZK ZKZK KKKK - 0,493 0,296 0,211 - 0,496 0,294 0,209 
ZZZK ZKZK KKKZ - 0,398 0,239 0,364 - 0,401 0,235 0,363 
ZZZK ZKZK KKZK - 0,458 0,208 0,333 - 0,455 0,210 0,335 
ZZZK ZKZK KKZZ - 0,325 0,275 0,400 - 0,323 0,278 0,399 
ZZZK ZKZK KZKK - 0,489 0,293 0,217 - 0,484 0,298 0,218 
ZZZK ZKZK KZKZ - 0,515 0,191 0,294 - 0,516 0,192 0,292 
ZZZK ZKZK KZZK - 0,458 0,208 0,333 - 0,456 0,206 0,339 
ZZZK ZKZK KZZZ - 0,125 0,375 0,500 - 0,126 0,371 0,503 
ZZZK ZKZK ZKKK - 0,455 0,273 0,273 - 0,454 0,275 0,271 
ZZZK ZKZK ZKKZ - 0,455 0,273 0,273 - 0,465 0,265 0,270 
ZZZK ZKZZ KKKK - 0,375 0,375 0,250 - 0,368 0,382 0,250 
ZZZK ZKZZ KKKZ - 0,292 0,292 0,417 - 0,296 0,288 0,416 
ZZZK ZKZZ KKZK - 0,375 0,250 0,375 - 0,382 0,242 0,376 
ZZZK ZKZZ KKZZ - 0,188 0,344 0,469 - 0,186 0,344 0,470 
ZZZK ZKZZ KZKK - 0,321 0,321 0,357 - 0,328 0,317 0,355 
ZZZK ZKZZ KZKZ - 0,434 0,171 0,395 - 0,434 0,170 0,396 
ZZZK ZKZZ KZZK - 0,406 0,312 0,281 - 0,409 0,312 0,278 
ZZZK ZKZZ KZZZ - 0,125 0,500 0,375 - 0,121 0,506 0,373 
ZZZK ZKZZ ZKKK - 0,333 0,333 0,333 - 0,331 0,335 0,334 
ZZZK ZKZZ ZKKZ - 0,333 0,333 0,333 - 0,329 0,337 0,335 
ZZZK ZKZZ ZKZK - 0,400 0,300 0,300 - 0,404 0,301 0,295 
ZZZK ZZKK KKKK - 0,536 0,268 0,196 - 0,537 0,263 0,200 
ZZZK ZZKK KKKZ - 0,438 0,219 0,344 - 0,443 0,215 0,342 
ZZZK ZZKK KKZK - 0,474 0,237 0,289 - 0,466 0,237 0,297 
ZZZK ZZKK KKZZ - 0,385 0,192 0,423 - 0,379 0,198 0,423 
ZZZK ZZKK KZKK - 0,450 0,225 0,325 - 0,453 0,221 0,327 
ZZZK ZZKK KZKZ - 0,450 0,225 0,325 - 0,462 0,221 0,317 
ZZZK ZZKK KZZK - 0,531 0,062 0,406 - 0,529 0,064 0,407 
ZZZK ZZKK KZZZ - 0,125 0,333 0,542 - 0,125 0,340 0,536 
ZZZK ZZKK ZKKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,499 0,250 0,251 
ZZZK ZZKK ZKKZ - 0,500 0,250 0,250 - 0,503 0,250 0,247 
ZZZK ZZKK ZKZK - 0,476 0,238 0,286 - 0,484 0,234 0,282 
ZZZK ZZKK ZKZZ - 0,400 0,200 0,400 - 0,402 0,201 0,396 
ZZZK ZZKZ KKKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,509 0,248 0,244 
ZZZK ZZKZ KKKZ - 0,389 0,194 0,417 - 0,396 0,193 0,411 
ZZZK ZZKZ KKZK - 0,429 0,214 0,357 - 0,430 0,213 0,357 
ZZZK ZZKZ KKZZ - 0,333 0,167 0,500 - 0,329 0,168 0,503 
ZZZK ZZKZ KZKK - 0,450 0,225 0,325 - 0,456 0,220 0,324 
ZZZK ZZKZ KZKZ - 0,450 0,225 0,325 - 0,449 0,224 0,327 
ZZZK ZZKZ KZZK - 0,531 0,062 0,406 - 0,533 0,064 0,403 
ZZZK ZZKZ KZZZ - 0,125 0,333 0,542 - 0,128 0,332 0,540 
ZZZK ZZKZ ZKKK - 0,444 0,222 0,333 - 0,448 0,217 0,335 
ZZZK ZZKZ ZKKZ - 0,444 0,222 0,333 - 0,451 0,214 0,336 
ZZZK ZZKZ ZKZK - 0,526 0,263 0,211 - 0,518 0,267 0,216 
ZZZK ZZKZ ZKZZ - 0,462 0,231 0,308 - 0,455 0,232 0,314 
ZZZK ZZKZ ZZKK - 0,500 0,250 0,250 - 0,496 0,245 0,258 


lg, AK.

PS. Ich habe das alles per Hand berechnet... *g*
PPS. Danke an tt für stylishe (und korrigierende) Code-Improvements.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29


@AnnaKath: Beeindrucktes Doppel-WOW ;)
Aber keine Sorge - "einschlafen lassen" is' nich'!

Ich habe inzwischen meine Dreierkombi-Tabelle vervollständigt:



Mit Ihrer beeindruckenden Vorarbeit könnte man nun zunächst noch die entsprechenden Tabellen für Vierer- und Fünferkombis bei nur zwei Spielern erstellen, darauf basierend die "optimale Konterstrategie" erörtern bzw. verfeinern, und sodann für Dreier- und Viererkombis nach und nach betrachten, was sich da bei drei oder gar vier Mitspielern wie verändert...

Potenziale über Potenziale ;)



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29


@AnnaKath:

Für drei Mitspieler hatte ich exemplarisch die Folge "KZZK"-"KKZZ"-"ZKKZ" nach bekannter Konter-Logik ermittelt und durchgerechnet. Dabei war ich auf 17/64 (0,266) für "KZZK", 21/64 (0,328) für "KKZZ" und 26/64 = 13/32 (0,406) für "ZKKZ gekommen. In Ihrer Liste scheint der Eintrag "ZKKZ KZZK KKZZ" mit seinen entsprechenden Werten dies zu bestätigen. Da werden dann wohl auch die anderen stimmen. Für das "alles von Hand berechnet" spreche ich Ihnen meine Hochachtung aus ;)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-29


Ich habe immer noch nichts wirklich konstruktives - will aber nochmal mein Interesse bekunden und finde es toll, dass es so fix weiter geht :)

Für die Mehr-Personen-Spiele ist mir noch aufgefallen, dass man auch Mannschaften bilden könnte, also etwa:

Mensch + die gute Fee Amaryllis .VS. Teufel + dessen Großmutter

Es bleibt spannend!
Einen schönen Tag und Weg in die (Arbeits-) Woche -
Gerhard/Gonz



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AnnaKath
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Huhu zusammen,

für alle, die ein wenig spielen wollen, ist hier der Code, mit dem ich (dann wohl doch nicht von Hand...) die o.a. Beispiele berechnet habe.

Danke an tactac für die schicke funktionale Aufzählung der zu betrachtenden Strategien. Mit leichtem Zittern habe ich diese Methode nicht alphabetisch sortiert, sondern prominent an den Beginn gestellt.


C#
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Collections.Immutable;
using System.Linq;
 
namespace DevilsGameMP
{
    /*  
        USAGE:
        (1) Set parameters (NumberOfPlayers, LengthOfSequence, SkipSimulation, and - if you'd like - Simulation.NumberOfSimulations)
        (2) Compile the stuff. 
        (3) Run it and be impressed.
        lg, AK.
    */
 
    static class Program
    {
        const int NumberOfPlayers = 12;
        public const int LenghtOfSequence = 4;
        const int StrategiesCount = 1 << LenghtOfSequence; // do not dare touching this
        const bool SkipSimulation = false;
 
        static IEnumerable<ImmutableList<int>> EnumerateStrategies(int max, int n)
        {
            if (n == 0)
            {
                yield return ImmutableList<int>.Empty;
                yield break;
            }
            for (int i = 0; i < max; i++)
                foreach (var rest in EnumerateStrategies(i, n - 1))
                    yield return rest.Insert(0, i);
        }
        static LinAlg.Vector CalculateMatchup(ImmutableList<int> strategies)
        {
            int size = 1 << LenghtOfSequence;
            int middle = size >> 1;
            LinAlg.Matrix matrix = new LinAlg.Matrix(size, size);
            LinAlg.Matrix rhs = new LinAlg.Matrix(size, NumberOfPlayers);
            for (int i = 0; i < middle; i++)
            {
                matrix[i, 2 * i] = 0.5;
                matrix[i, 2 * i + 1] = 0.5;
                matrix[middle + i, 2 * i] = 0.5;
                matrix[middle + i, 2 * i + 1] = 0.5;
            }
 
            for (int s = 0; s < strategies.Count - 1; s++)
                for (int i = 0; i < middle; i++)
                    if (matrix[i, strategies[s]] > 0)
                    {
                        rhs[i, s] = -0.5;
                        rhs[middle + i, s] = -0.5;
                    }
            matrix = matrix - LinAlg.Matrix.IdentityMatrix(matrix.Rows);
            List<int> indices = new List<int>();
            for (int i = 0; i < strategies.Count; i++) indices.Add(strategies[i]);
            matrix = matrix.RemoveRows(indices);
            matrix = matrix.RemoveColumns(indices);
            rhs = rhs.RemoveRows(indices);
 
            LinAlg.Matrix solution = LinAlg.GaussSolver.SolveWithoutTracking(matrix, rhs);
            LinAlg.Vector result = new LinAlg.Vector(rhs.Columns);
            for (int i = 0; i < rhs.Columns - 1; i++)
                result[i] = (1 + solution.GetColumnSum(i)) / size;
            result[rhs.Columns - 1] = 1;
            for (int i = 0; i < rhs.Columns - 1; i++)
                result[rhs.Columns - 1] -= result[i];
 
            return result;
        }
        static string FormatBinary(int value)
        {
            string tmp = Convert.ToString(value, 2);
            return new string('0', Program.LenghtOfSequence - tmp.Length) + tmp;
        }
        static string FormatCoinStyle(int value) => FormatBinary(value).Replace('0', 'K').Replace('1', 'Z');
        static void Main(string[] args)
        {
            if (LenghtOfSequence > 20) throw new Exception("sequences of length greater than 20 are not supported due to finiteness of existence");
            if (LenghtOfSequence < 2) throw new Exception("length of sequences must exceed 1 for my mental sanity (and coding abilities)");
            if (NumberOfPlayers > StrategiesCount) throw new Exception("number of players must be smaller than possible strategies");
            if (NumberOfPlayers <= 1) throw new Exception("two players required");
 
            Console.WriteLine($"Solution to the devil's coin game with {NumberOfPlayers} players and sequences of length {LenghtOfSequence}.");
            Console.Write($"Format: strategies of the {NumberOfPlayers} players - probabilies");
#pragma warning disable 0162 // unreachable code
            if (SkipSimulation)
                Console.WriteLine("\n");
            else
                Console.WriteLine(" - simulation results\n");
#pragma warning restore 0162
 
            var strategies = EnumerateStrategies(StrategiesCount - 1, NumberOfPlayers);
            foreach (var s in strategies)
            {
                LinAlg.Vector probabilities = CalculateMatchup(s);
                PrintCoinList(s);
                Console.Write("- ");
                PrintVector(probabilities);
                if (!SkipSimulation)
                {
                    LinAlg.Vector simulation = Simulation.CalculateRatios(s);
                    Console.Write("- ");
                    PrintVector(simulation);
                }
                Console.WriteLine("");
            }
        }
        static void PrintCoinList(ImmutableList<int> list)
        {
            for (int i = 0; i < list.Count; i++) Console.Write($"{FormatCoinStyle(list[i])} ");
        }
        static void PrintVector(LinAlg.Vector data)
        {
            for (int i = 0; i < data.Dimension; i++) Console.Write($"{data[i]:F3} ");
        }
    }
 
    static class Simulation
    {
        const int NumberOfSimulations = 10000;
 
        static readonly Random Random = new Random();
 
        /*  PRECONDITION: strategies are mutual different */
        public static LinAlg.Vector CalculateRatios(ImmutableList<int> strategies)
        {
            LinAlg.Vector result = DoSimulationLoop(strategies);
            return result / result.SumOfComponents;
        }
        /*  PRECONDITION: strategies are mutual different */
        static int DoSimulation(ImmutableList<int> strategies)
        {
            int mask = (int)~(0xFFFFFFFF << Program.LenghtOfSequence);
 
            int current = default(int);
            for (int j = 0; j < Program.LenghtOfSequence; j++)
            {
                current <<= 1;
                current += Random.Next(2);
            }
 
            while (true)
            {
                for (int i = 0; i < strategies.Count(); i++)
                    if (strategies.ElementAt(i) == current) return i;
                current <<= 1;
                current += Random.Next(2);
                current &= mask;
            }
        }
        static LinAlg.Vector DoSimulationLoop(ImmutableList<int> strategies)
        {
            LinAlg.Vector result = new LinAlg.Vector(strategies.Count());
            for (int i = 0; i < NumberOfSimulations; i++) result[DoSimulation(strategies)] += 1.0;
            return result;
        }
    }
}
 
namespace DevilsGameMP.LinAlg
{
    static class GaussSolver
    {
        /* solves multiple LESs via Gaussian elimination WITHOUT tracking permutations of equations */
        public static Matrix SolveWithoutTracking(Matrix matrix, Matrix rhs)
        {
            if (matrix.Rows != matrix.Columns || matrix.Rows != rhs.Rows) throw new Exception("dimensional mismatch");
 
            int size = matrix.Columns;
            int c = 0;
            for (int r = 0; r < size; r++)
            {
                int arg = matrix.FindPivot(c, r);
                if (matrix[arg, c] != 0)
                {
                    rhs.SwapRows(r, arg);
                    matrix.SwapRows(r, arg);
                    for (int i = r + 1; i < size; i++)
                    {
                        double coefficient = matrix[i, c] / matrix[r, c];
                        matrix[i, c] = 0;
                        for (int j = c + 1; j < size; j++)
                            matrix[i, j] -= matrix[r, j] * coefficient;
                        for (int j = 0; j < rhs.Columns; j++)
                            rhs[i, j] -= rhs[r, j] * coefficient;
                    }
                }
                else
                {
                    throw new Exception("matrix is singular");
                }
                c++;
            }
 
            Matrix result = new Matrix(rhs.Rows, rhs.Columns);
            for (int i = size - 1; i >= 0; i--)
            {
                for (int j = size - 1; j > i; j--)
                {
                    for (int x = 0; x < rhs.Columns; x++)
                        rhs[i, x] -= matrix[i, j] * result[j, x];
                }
                for (int x = 0; x < rhs.Columns; x++)
                    result[i, x] = rhs[i, x] / matrix[i, i];
            }
 
            return result;
        }
    }
    class Matrix
    {
        double[,] Buffer;
 
        public double this[int row, int column]
        { get => Buffer[row, column]; set => Buffer[row, column] = value; }
        public int Columns { get; }
        public int Rows { get; }
 
        public static Matrix operator -(Matrix m1, Matrix m2)
        {
            if (m1.Columns != m2.Columns) throw new Exception("incompatible dimensions");
            if (m1.Rows != m2.Rows) throw new Exception("incompatible dimensions");
 
            Matrix result = new Matrix(m1.Rows, m1.Columns);
            for (int r = 0; r < m1.Rows; r++)
                for (int c = 0; c < m1.Columns; c++)
                    result[r, c] = m1[r, c] - m2[r, c];
            return result;
        }
 
        public Matrix(int rows, int columns)
        {
            Columns = columns;
            Rows = rows;
            Buffer = new double[rows, columns];
        }
 
        public static Matrix IdentityMatrix(int dimension)
        {
            Matrix result = new Matrix(dimension, dimension);
            for (int i = 0; i < dimension; i++)
                result[i, i] = 1;
            return result;
        }
 
        public int FindPivot(int column, int row)
        {
            int arg = row;
            double max = Math.Abs(this[row, column]);
            for (int i = row + 1; i < Rows; i++)
            {
                if (Math.Abs(this[i, column]) > max)
                {
                    max = Buffer[i, column];
                    arg = i;
                }
            }
            return arg;
        }
        public double GetColumnSum(int column)
        {
            double result = default(double);
            for (int i = 0; i < Rows; i++)
                result += this[i, column];
            return result;
        }
        public Matrix RemoveColumns(List<int> list)
        {
            if (Columns <= list.Count) throw new Exception("cannot remove last column");
            Matrix result = new Matrix(Rows, Columns - list.Count);
            for (int i = 0; i < Rows; i++)
            {
                int c = 0;
                for (int j = 0; j < Columns; j++)
                {
                    if (list.Contains(j))
                        continue;
                    result[i, c] = Buffer[i, j];
                    c++;
                }
            }
            return result;
        }
        public Matrix RemoveRows(List<int> list)
        {
            if (Rows <= list.Count) throw new Exception("cannot remove last row");
            Matrix result = new Matrix(Rows - list.Count, Columns);
            for (int j = 0; j < Columns; j++)
            {
                int r = 0;
                for (int i = 0; i < Rows; i++)
                {
                    if (list.Contains(i)) continue;
                    result[r, j] = this[i, j];
                    r++;
                }
            }
            return result;
        }
        public void SwapRows(int index1, int index2)
        {
            for (int i = 0; i < Columns; i++)
                (this[index1, i], this[index2, i]) = (this[index2, i], this[index1, i]);
        }
    }
    class Vector
    {
        double[] Buffer;
 
        public double this[int index] { get => Buffer[index]; set => Buffer[index] = value; }
        public int Dimension { get; }
        public double SumOfComponents
        {
            get
            {
                double result = 0.0;
                for (int i = 0; i < Dimension; i++)
                    result += this[i];
                return result;
            }
        }
 
        public Vector(int dimension)
        {
            Dimension = dimension;
            Buffer = new double[dimension];
        }
 
        public static Vector operator *(Vector vector, double scalar)
        {
            Vector result = new Vector(vector.Dimension);
            for (int i = 0; i < vector.Dimension; i++)
                result[i] = vector[i] * scalar;
            return result;
        }
        public static Vector operator /(Vector vector, double scalar)
        {
            if (scalar == 0.0) throw new Exception("nice try. you can't devide by zero, not even in a vector");
            Vector result = new Vector(vector.Dimension);
            for (int i = 0; i < vector.Dimension; i++)
                result[i] = vector[i] / scalar;
            return result;
        }
 
        public Vector Remove(List<int> list)
        {
            if (list.Count >= Dimension) throw new Exception("cannot remove all items");
 
            Vector result = new Vector(Dimension - list.Count);
            int r = 0;
            for (int i = 0; i < Dimension; i++)
            {
                if (list.Contains(i)) continue;
                result[r] = this[i];
                r++;
            }
            return result;
 
        }
        public void Swap(int index1, int index2) => (this[index1], this[index2]) = (this[index2], this[index1]);
    }
}


lg, AK

PS. Rechtschreibfehler ("lenght"...) sind geschenkt, ein paar Unschönheiten im Code auch. Aber anmerken dürft ihr diese natürlich trotzdem gerne :)



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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-06-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Hallo,

habe auch mal ein wenig herumgehackt.
Haskell
  1. import Control.Arrow
  2. import qualified Data.Set as S
  3. import qualified Data.Map as M
  4.  
  5. type LC r a = M.Map a r
  6. type System r a = [(a, LC r a)]
  7.  
  8. fromList :: (Eq r, Num r, Ord a) => [(a,r)] -> LC r a
  9. fromList = M.filter (0/=) . M.fromListWith (+)
  10.  
  11. ret :: (Num r, Eq r, Ord a) => a -> LC r a
  12. ret a = fromList [(a,1)]
  13.  
  14. (>==) :: (Num r, Eq r, Ord b) => LC r a -> (a -> LC r b) -> LC r b
  15. ma >== f = fromList $ do
  16. (a,p) <- M.toList ma
  17. (b,q) <- M.toList $ f a
  18. return (b, p*q)
  19.  
  20. data Coin = K | Z deriving (Eq, Ord)
  21.  
  22. instance Show Coin where
  23. show K = "K"
  24. show Z = "Z"
  25. showList xs = (concatMap show xs++)
  26.  
  27. coin :: (Fractional r, Eq r) => LC r Coin
  28. coin = fromList [(Z, 0.5), (K, 0.5)]
  29.  
  30. ntail :: Int -> [a] -> [a]
  31. ntail n xs = drop (length xs - n) xs
  32.  
  33. step :: (Fractional r, Eq r) => S.Set [Coin] -> Int -> [Coin] -> LC r [Coin]
  34. step goals n xs
  35. | xs `S.member` goals = ret xs
  36. | otherwise = coin >== \c -> ret $ ntail n $ xs ++ [c]
  37.  
  38. coinSeqs :: Int -> [[Coin]]
  39. coinSeqs n = sequence $ replicate n [K,Z]
  40.  
  41. choose :: Int -> [a] -> [[a]]
  42. choose 0 _ = [[]]
  43. choose _ [] = []
  44. choose n (x:xs) = takeIt ++ leaveIt where
  45. takeIt = map (x:) $ choose (n-1) xs
  46. leaveIt = choose n xs
  47.  
  48. -- solve it approximately by iterating the transition function
  49. tests1 :: (Ord r, Fractional r) => Int -> Int -> [LC r [Coin]]
  50. tests1 n p = [approx (S.fromList s) n | s <- choose p $ coinSeqs n]
  51.  
  52. -- solve it fully, by generating and solving a system of equations
  53. tests2 :: (Eq r, Fractional r) => Int -> Int -> [LC r [Coin]]
  54. tests2 n p = [solve (system (S.fromList s) n) M.! [] | s <- choose p $ coinSeqs n]
  55.  
  56. approx :: (Fractional r, Eq r, Ord r) => S.Set [Coin] -> Int -> LC r [Coin]
  57. approx goals n = M.filter (>= 1e-4) $ iterate (>== step goals n) (ret []) !! 1000
  58.  
  59. system :: (Eq r, Fractional r) => S.Set [Coin] -> Int -> System r [Coin]
  60. system goals n = [(curr, step goals n curr) | curr <- concat [coinSeqs i | i <- [0..n]]]
  61.  
  62. removeSelfRef :: (Fractional r, Eq r, Ord v) => v -> LC r v -> LC r v
  63. removeSelfRef v rhs = case M.lookup v rhs of
  64. Nothing -> rhs
  65. Just r -> if rhs == M.singleton v 1
  66. then rhs
  67. else M.map (/(1-r)) $ M.delete v $ rhs
  68.  
  69. subst :: (Num r, Ord v) => v -> LC r v -> LC r v -> LC r v
  70. subst v val into = case M.lookup v into of
  71. Nothing -> into
  72. Just r -> M.unionWith (+) (M.map (r*) val) $ M.delete v into
  73.  
  74. eval :: (Num r, Eq r, Ord v, Show v) => M.Map v (LC r v) -> LC r v -> LC r v
  75. eval env t = t >== \v -> case M.lookup v env of
  76. Nothing -> M.singleton v 1
  77. Just els -> els
  78.  
  79. solve :: (Fractional r, Eq r, Ord v, Show v) => System r v -> M.Map v (LC r v)
  80. solve [] = M.empty
  81. solve ((v,rhs):rest) =
  82. let rhs' = removeSelfRef v rhs in
  83. let rest' = map (second $ subst v rhs') rest in
  84. let sol = solve rest' in
  85. M.insert v (eval sol rhs') sol

Damit kann man wahlweise mit Gleitkommazahlen, rationalen Zahlen, oder anderen Dingen rechnen.

Hier mal rational:
ghci
tactac@ubuntu:~/stuff$ ghci Devil.hs 
GHCi, version 8.0.2: http://www.haskell.org/ghc/  :? for help
[1 of 1] Compiling Main             ( Devil.hs, interpreted )
Ok, modules loaded: Main.
*Main> :set +s
*Main> mapM_ print (tests2 3 2 :: [LC Rational [Coin]])
fromList [(KKK,1 % 2),(KKZ,1 % 2)]
fromList [(KKK,2 % 5),(KZK,3 % 5)]
fromList [(KKK,2 % 5),(KZZ,3 % 5)]
fromList [(KKK,1 % 8),(ZKK,7 % 8)]
fromList [(KKK,5 % 12),(ZKZ,7 % 12)]
fromList [(KKK,3 % 10),(ZZK,7 % 10)]
fromList [(KKK,1 % 2),(ZZZ,1 % 2)]
fromList [(KKZ,2 % 3),(KZK,1 % 3)]
fromList [(KKZ,2 % 3),(KZZ,1 % 3)]
fromList [(KKZ,1 % 4),(ZKK,3 % 4)]
fromList [(KKZ,5 % 8),(ZKZ,3 % 8)]
fromList [(KKZ,1 % 2),(ZZK,1 % 2)]
fromList [(KKZ,7 % 10),(ZZZ,3 % 10)]
fromList [(KZK,1 % 2),(KZZ,1 % 2)]
fromList [(KZK,1 % 2),(ZKK,1 % 2)]
fromList [(KZK,1 % 2),(ZKZ,1 % 2)]
fromList [(KZK,3 % 8),(ZZK,5 % 8)]
fromList [(KZK,7 % 12),(ZZZ,5 % 12)]
fromList [(KZZ,1 % 2),(ZKK,1 % 2)]
fromList [(KZZ,1 % 2),(ZKZ,1 % 2)]
fromList [(KZZ,3 % 4),(ZZK,1 % 4)]
fromList [(KZZ,7 % 8),(ZZZ,1 % 8)]
fromList [(ZKK,1 % 2),(ZKZ,1 % 2)]
fromList [(ZKK,1 % 3),(ZZK,2 % 3)]
fromList [(ZKK,3 % 5),(ZZZ,2 % 5)]
fromList [(ZKZ,1 % 3),(ZZK,2 % 3)]
fromList [(ZKZ,3 % 5),(ZZZ,2 % 5)]
fromList [(ZZK,1 % 2),(ZZZ,1 % 2)]
(0.01 secs, 8,471,216 bytes)
*Main> 

\(\endgroup\)


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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29


@gonz: Nett!
Bleibt die Frage, ob nach dem Sterbenden zuerst die gute Fee eine zweite Kombi für deren Team wählen soll, und danach der Teufel samt Großmutter diese beiden einzeln oder im Verbund "kontern", oder ob nach dem Sterbenden streng wechselseitig "gekontert" wird, also Teufel-Fee-Großmutter...
Nimmt man dann noch Viererkombis als Grundlage, kann das ganz schnell ganz heftig ausufern ;)

@tactac: Stark - besonders die Angabe rationaler Verhältnisse!
Lässt sich so flugs mit meiner Tabelle abgleichen ;)

@tactac, @AnnaKath:
Ich hatte meine Tabellen absichtlich so aufgebaut, dass ich gedanklich zunächst binär "Kopf" als "0" sowie "Zahl" als "1" kodiert habe, und dann Zeilen- wie Spaltenköpfe nach Binärzahlenwerten "aufsteigend" sortiert habe. Dadurch ergeben sich die drei genannten Symmetrien, was die an den Diagonalen bzw. am Mittelpunkt "gespiegelten" Werte anbelangt...
Wenn Sie Ihre Ausgabesortierung ähnlich aufbauen, möchte ich gerne für Vierer- und Fünfer-Kombis die entsprechenden Tabellen nachliefern - da sollte es dann ausreichen, jeweils ein knappes Viertel der Chancenverteilungen analytisch zu berechnen, und den Rest aus den Symmetrien abzuleiten!
Die Tabelle für die Fünfer-Kombis könnte dann schnell Aufschluss geben, welche Anomalien ggf. bei der bislang als optimal angesehenen Konterstrategie auftreten...



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rotella
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2020-06-30


Hallo cramilu,

danke für die anderen Antworten an bekannter Stelle, hier wollte ich aber noch mal die wirklich schön gelungenen Grafiken loben. Gerade wenn ich da an meine eigene Krickeleien denken muss 😄



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30


;) HEJ, rotella! ;)

Mensch, da freue ich mich jetzt echt - willkommen hier!

Mich selbst hat letztes Jahr [haribo]s Einladung bezüglich "16 auf einen Streich" (Thread immer noch aktiv und der Mitarbeit harrend...) hierher gelockt, und ich habe es - auch angesichts der kommunikativen Vorzüge - noch keinen Tag bereut.

Was Deine "Krickeleien" anbelangt, so mahne ich da doch dringend zu weniger Bescheidenheit ;)
Die wenigsten SPON-Forengäste haben es überhaupt je zustandegebracht, außerhalb eine veranschaulichende Grafik etc. zu veröffentlichen, und Deinen Markow-Ketten sieht man fraglos das wesentliche an!
Bei wem hast Du da übrigens wie und mit welcher Begründung gelernt, dass man bei der Summierung einzelner "Zulauf-Wahrscheinlichkeiten" selbstbezügliche Beiträge ignorieren darf? Scheint ja zu funktionieren und erspart einem tatsächlich auf spektakuläre Weise Schreibaufwand für Gleichungssysteme... das "scharfe Auge" natürlich vorausgesetzt ;)

Stell' da ruhig mal über [Bild hochladen] einen Handskizzenscan als PNG (oder JPG)  hier rein und erläutere den ein wenig - genau auf derartige Kniffe sollte dieser Thread nämlich abzielen...

Viel Freude hier und liebe Grüße!



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


So... angedroht ist angedroht ;)

Im folgenden schon einmal mein "Rohling" für die Viererkombis:



Nach meinen Symmetrie-Annahmen sollten die bereits eingetragenen Werte von 1/2 passen; "Konter", bei denen die gesamte Kombi oder lediglich deren letztes Wurfergebnis invertiert werden, sollten nach meiner Logik genau eine "Fifty-Fifty"-Chance erbringen!?

Bitte um Bestätigung [noch] fehlender Werte als Resultat einer Rechnung "von Hand" - wenn dann die Algorithmen-Resultate übereinstimmen, würde ich dem jeweiligen Algorithmus vertrauen. Vorher nicht ;) Bin selber EDV-Dienstleister, habe an der Uni Informatik studiert und programmiere seit 1983 (BASIC und Assembler auf Commodore C-64, seither zahlreiche andere Programmiersprachen), wodurch ich "gelernt" habe, selbst eigene Algorithmen zunächst mit kritischen Zweifeln zu betrachten...

Viel Vergnügen und: GERNE HER MIT HANDSKIZZENSCANS EIGENER ÜBERGANGSDIAGRAMME SAMT RECHNUNGEN ;)



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


Dank "Corona" hat man ja als Selbstständiger bisweilen mal keine Termine am Folgetag und kann sich daher bis in die Nacht mit "Vergnügen" das Hirn zermartern ;)
Blöd nur, wenn man sich dann wieder einmal ein Beispiel wählt, bei dem es etwas "hässlich" wird... so wie ich...

Für "Sterbender wählt KZKK - Teufel kontert [nach mutmaßlich optimaler Strategie] mit KKZK" habe ich Übergangsdiagramm, Gleichungssystem und Auflösungsmethode à la [rotella] auf einem DIN-A4-Blatt skizziert.
Bei unachtsamer Wahl eines der Farbmarker - hier: rosa - hilft dann beim Scannen leider auch die "dollste" Informatiker-Erfahrung nix mehr :(



Die blauen Grafik-Anteile sowie das Gleichungssystem sollten leidlich selbsterklärend sein.

Die Auflösungs-Methode sei im folgenden schrittweise erläutert:

#01 Die "Beitragswerte" von "0" (Start) nach "[...]K" sowie nach "[...]Z" entsprechen den Münzwurfwahrscheinlichkeiten von jeweils 1/2 und können unmittelbar (hier in Rosa) begleitend notiert werden.

#02 Die Summe aller "Zuläufe" muss für jeden Übergangszustand gleich der Summe aller "Abflüsse" sein und wird jeweils als "Sammelwert" IM KRINGEL notiert...

#03 Der "Sammelwert" von "[...]K" (IM Kringel) bleibt zunächst unbestimmt und wird daher durch die Variable "X" repräsentiert.

#04 Der "Zulaufwert" von "[...]Z" nach "[...]K" ergibt sich dann zu (X - 1/2).

#05 Die "Abflusswerte" von "[...]K" müssen entsprechend jeweils X/2 betragen.

#06 "[...]KK" weist einen "teilzyklischen Zulauf/Abfluss" auf und EINEN "einfachen Zulauf" von "[...]K" her. Der Wert des "teilzyklischen Zulaufs/Abflusses" muss demnach gleich groß sein, und daher ist der "Sammelwert" doppelt so groß, also wiederum X.

#07 Der "Abfluss" von "[...]KK" nach "[...]KKZ" muss dann entsprechend X/2  betragen, und der "Sammelwert" von "[...]KKZ" bei nur diesem einen Zulauf ebenso.

#08 Die beiden "Abflüsse" von "[...]KKZ" zurück nach "[...]Z" sowie zum Zielzustand "[...]KKZK" müssen entsprechend jeweils X/4 betragen.

#09 "[...]Z" weist ebenfalls einen "teilzyklischen Zulauf/Abfluss" auf sowie den EINEN "einfachen Abfluss" nach "[...]K" mit (X - 1/2) - siehe #04. Diese beiden müssen gleich groß sein und ergeben demnach in Summe einen "Sammelwert" vom Doppelten, also (2*X - 1).

#10 Die "Zuflüsse" nach "[...]Z" müssen dann in Summe ebenfalls (2*X - 1) ergeben. Die beiden "Zuflüsse" von "0" und "[...KKZ]" (siehe #08) her betragen in Summe schon (1/2 + X/4). Hinzu kommt der "teilzyklische Zulauf/Abfluss" mit (X - 1/2) - siehe #09. Zwischensumme: 5*X/4. Die Differenz zu (2*X - 1) beträgt demnach (3*X/4 - 1) und bemisst entsprechend den noch fehlenden "Zulauf" von "[...]KZ" her.

#11 Der "Abfluss" von "[...]KZ" nach "[...]KZK" muss dann ebenfalls (3*X/4 - 1) betragen, und dementsprechend auch der "Sammelwert" bei "[...]KZK" mit nur diesem einen Zulauf.

#12 Schließlich ergeben sich dann die beiden "Abflüsse" von "[...]KZK" zurück nach "[...]KZ" sowie zum Zielzustand "[...]KZKK" zu jeweils dem halben "Sammelwert", also (3*X/8 - 1/2).

#13 Um nun endlich X zu bestimmen, stehen zwei Wege zur Verfügung. Entweder über die Summe der Zuläufe zu den beiden Zielzuständen, die 1 ergeben muss, also: X/4 + 3*X/8 - 1/2 = 1 ... so jedenfalls wäre es am einfachsten gewesen ... "Hyperschlau" hatte ich den komplizierteren zweiten Weg über den "Sammelwert" von "[...]KZ" gewählt, wonach gelten muss: X/2 + 3*X/8 - 1/2 = 3*X/2 - 2 ...
In beiden Fällen ergibt sich X zu 12/5, und damit X/4 für den "Zulauf"="Sammelwert" des Zielzustandes "[...]KKZK" zu 3/5.

[rotella] kriegt das sicher noch kompakter und pfiffiger hin ;)



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


Nach einem Dämmerungs-"PowerNap" und eifrigem Geklicke mit CorelDraw 9 kommt folgende Grafik meiner Vorstellung von "minimalistischer Eleganz" schon recht nahe:




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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, eingetragen 2020-07-04


Guten Abend :)

So nun musste ich auch etwas bauen. Ich habe erst am Ende gemerkt, dass ich die Zugfolgen sozusagen "andersherum" codiert habe, also das LSB das zeitlich zuerst geworfene Bild beinhaltet. Das macht ein wenig Mühe, die Tabellen zu vergleichen. Was ich bisher geguckt habe stimmt überein.

Damit habe ich also, wenn ich das Spiel angeboten bekomme, etwas am Start * schmunzel.

plain ANSI output
Devil_mp by gonz - Version 1.02 - plain C, first attempt. Contact: gonz@gmx.biz
Lines: Moves of Player. Cols: Moves of Devil. Fields: Prob of Player winning.
 
       KKKK  ZKKK  KZKK  ZZKK  KKZK  ZKZK  KZZK  ZZZK  KKKZ  ZKKZ  KZKZ  ZZKZ  KKZZ  ZKZZ  KZZZ  ZZZZ
  KKKK ----  0.06  0.30  0.25  0.40  0.37  0.36  0.32  0.50  0.37  0.42  0.37  0.40  0.37  0.36  0.50  min= 0.06
  ZKKK 0.94  ----  0.42  0.33  0.58  0.50  0.50  0.43  0.87  0.50  0.56  0.50  0.58  0.50  0.50  0.64  min= 0.33
  KZKK 0.70  0.58  ----  0.44  0.40  0.36  0.50  0.44  0.50  0.58  0.50  0.44  0.57  0.50  0.50  0.62  min= 0.36
  ZZKK 0.75  0.67  0.56  ----  0.64  0.56  0.42  0.33  0.58  0.67  0.56  0.50  0.50  0.43  0.42  0.60  min= 0.33
  KKZK 0.60  0.42  0.60  0.36  ----  0.56  0.50  0.44  0.33  0.42  0.71  0.50  0.50  0.56  0.50  0.63  min= 0.33
  ZKZK 0.62  0.50  0.64  0.44  0.44  ----  0.44  0.38  0.44  0.50  0.50  0.29  0.44  0.50  0.44  0.58  min= 0.29
  KZZK 0.64  0.50  0.50  0.58  0.50  0.56  ----  0.44  0.43  0.50  0.50  0.58  0.33  0.42  0.50  0.62  min= 0.33
  ZZZK 0.68  0.57  0.56  0.67  0.56  0.62  0.56  ----  0.50  0.57  0.56  0.67  0.42  0.50  0.12  0.50  min= 0.12
  KKKZ 0.50  0.12  0.50  0.42  0.67  0.56  0.57  0.50  ----  0.56  0.62  0.56  0.67  0.56  0.57  0.68  min= 0.12
  ZKKZ 0.62  0.50  0.42  0.33  0.58  0.50  0.50  0.43  0.44  ----  0.56  0.50  0.58  0.50  0.50  0.64  min= 0.33
  KZKZ 0.58  0.44  0.50  0.44  0.29  0.50  0.50  0.44  0.38  0.44  ----  0.44  0.44  0.64  0.50  0.62  min= 0.29
  ZZKZ 0.62  0.50  0.56  0.50  0.50  0.71  0.42  0.33  0.44  0.50  0.56  ----  0.36  0.60  0.42  0.60  min= 0.33
  KKZZ 0.60  0.42  0.43  0.50  0.50  0.56  0.67  0.58  0.33  0.42  0.56  0.64  ----  0.56  0.67  0.75  min= 0.33
  ZKZZ 0.62  0.50  0.50  0.57  0.44  0.50  0.58  0.50  0.44  0.50  0.36  0.40  0.44  ----  0.58  0.70  min= 0.36
  KZZZ 0.64  0.50  0.50  0.58  0.50  0.56  0.50  0.88  0.43  0.50  0.50  0.58  0.33  0.42  ----  0.94  min= 0.33
  ZZZZ 0.50  0.36  0.37  0.40  0.37  0.42  0.37  0.50  0.32  0.36  0.38  0.40  0.25  0.30  0.06  ----  min= 0.06
 
Best strategy for player ( 35.71% chance to win):   KZKK
 


Es ist... nicht elaboriert, funktionierte aber erstaunlicherweise im ersten Anlauf. Keine Kommentierung. Erträglich schnell - C halt.

Dies ist Version 1.06 - hoffentlich nicht verschlimmbessert...

C
#include <stdio.h>
 
// History
 
// 1.00 Eines Tages, gonz schreibt das Programm nach einer schlaflosen Nacht.
// 1.01 Aus Evil wurde Devil (Danke an tt)
// 1.03 Sonntag Morgen, gonz. Weiter entwanzt, ein paar Kommentarzeilen
// 1.05 Weiterbearbeitet. Ob der Code so schoener ist sei dahingestellt :)
// 1.06 Copy/Paste code aus solve_LGS extrahiert
 
char version[]="1.06";
char referenz[]="https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=248288";
 
 
// TODO Die Ausgabe funktioniert nur bis n=6 
//      fuer groessere Werte ist es eh doof, eine Tabelle zu bauen
// TODO Statt Double eine lib fuer Bruchrechnung bauen
// TODO Tabelle im MP-Stil ordnen, mehr als zwei Mitspieler beruecksichtigen
 
#define N 4
#define Z 16 // 2^N
#define deb 0
 
double G[Z][Z];
 
 
//         \\\///
//         (o|o)
// +--o00o-------o00o-------------------------------------+
// |                   Hilfsfunktionen fuer Ausgabe&Debug |
// +------------------------------------------------------+
 
char tmpstr[7];
void buildstr(int status) {
	int i;
	for (i=0;i<6-N;i++) tmpstr[i]=' ';
	for(i=6-N;i<6;i++) {
		if (status%2==0) tmpstr[i]='K';
		     else tmpstr[i]='Z';	
		status=status/2; }
	tmpstr[6]=0; }
 
void matrix_out() {
	int i,j;
	for (i=0;i<Z;i++) {
		for (j=0;j<Z;j++) printf("%5.2f ",G[i][j]);	
		printf("\n"); }	}
 
 
//         \\\///
//         (o|o)
// +--o00o-------o00o-------------------------------------+
// |                          ab hier passiert die Magie! |
// +------------------------------------------------------+
 
// Der Aufbau der Matrix sollte eigentlich mal in einem
// Post im Thread beschrieben werden, wie ich sie hier
// in diesem Modell gewählt habe. 
 
// Pivotsuche brauchen wir nicht, die Funktion ist
// sowieso nur projektspezifisch zu verwenden.
 
void one_element(int i,int j) {
        int k;
	if ( (G[i][j]!=0) && (G[j][j]!=0) ) {
		if (deb>0) printf("\nClearing %i %i\n",i,j);	
    	        double factor = G[i][j]/G[j][j];
		for (k=0;k<Z;k++) G[i][k]-=factor*G[j][k];
		if (deb>0) matrix_out(); } }
 
double solve_LGS(int m,int t) {
 
	int i,j;	
	for (j=0;j+1<Z;j++)	for(i=j+1;i<Z;i++) one_element(i,j);
	for (j=Z-1;j>0;j--)	for(i=0;i<j;i++) one_element(i,j);
 
	double sum=1; double a;
	for (i=0;i<Z;i++)
		if ((i!=m)&&(i!=t)) {
			a = -G[i][m]/G[i][i];
			if (deb>0) printf("a(%i)=%5.2f\n",i,a);
			sum+=a; }
 
	if (deb>0) printf("p_ges=%5.2f\n",sum/Z);
	return sum/Z; }
 
 
void build_matrix(int m,int t) {
	int i,j;
	for (i=0;i<Z;i++) 
		for (j=0;j<Z;j++) G[i][j]=0;
	for (i=0;2*i<Z;i++) {
		G[2*i][i]=0.5; G[2*i+1][i]=0.5;
		G[2*i][i+Z/2]=0.5; G[2*i+1][i+Z/2]=0.5; }
	for (i=0;i<Z;i++) { G[m][i]=0; G[t][i]=0; }
	G[m][m]=1; G[t][t]=1;
	for (i=0;i<Z;i++) G[i][i]--;	
	if (deb>0) matrix_out(); }
 
 
//         \\\///
//         (o|o)
// +--o00o-------o00o-------------------------------------+
// |                      main macht den Ausgabeschnuddel |
// +------------------------------------------------------+
 
int main(void) {
	int m,t;
 
	printf("\nDevil_mp by gonz - Version %s - plain C, first attempt. Contact: gonz@gmx.biz\n",version);
	printf("Lines: Moves of Player. Cols: Moves of Devil. Fields: Prob of Player winning/ percent.\n%s\n\n",referenz);	
	printf("     ");	
	for (m=0;m<Z;m++) {
		buildstr(m); printf("%s",tmpstr); }
	printf("\n");
 
	double player_max = 0; int best_strategy = 0;
 
	for (m=0;m<Z;m++) {
		buildstr(m);
		printf("%s",tmpstr);
		double player_min=1;
		for (t=0;t<Z;t++) {
			if (m!=t) {	
				build_matrix(m,t);
				double res=solve_LGS(m,t);		
				printf("%5.1f ",res*100);
				if (res<player_min) 
					player_min=res;	}
			else printf(" ---- "); }
 
		printf(" min = %5.2f\n",player_min*100);		
		if (player_min>player_max) {
			player_max = player_min;
			best_strategy = m; } }	
 
	buildstr(best_strategy); 
	printf("\nBest strategy for player (%6.3f%%): %s\n\n",100*player_max,tmpstr);	}
 
// Vielen Dank fuer's Mitlesen.
// Diesen Code gerne frei verwenden, er gehoert der ganzen Welt * grins
// Garantie dafuer, dass es dann mit dem Seelenheil auch klappt, kann 
// natuerlich _nicht_ uebernommen werden.
 
// have fun
 




Einen schönen Abend :) wir lesen uns... im Schwätz.
Grüsse und alles - Gonz



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cramilu
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"Mmmhmm... This IS a tasty burger!" ;)

Na, da haben Sie doch in der Tat schon etwas sehr ordentliches "am Start"!

Ich kann zwar grundsätzlich C und damit Ihren Code lesen, aber mangels jüngster einschlägiger praktischer Übung leider nicht auf die schnelle genau durchschauen...

Grundsätzlich ließen sich noch mindestens drei Dinge "elaborieren":

1. Symmetrie A:
Für "KKKK gekontert mit ZKZK" muss sich aus Symmetriegründen der exakt(!) gleiche Wert ergeben wie für "ZZZZ gekontert mit KZKZ"! Bei Ihnen tauchen hier Abweichungen an der zweiten Nachkommastelle auf. Rundungsklippen?

2. Symmetrie B:
Es würde reichen, die 56 Werte für ("KKKK" bis "ZZZK") "gekontert" mit ("ZKKK" bis "KZZZ") zu berechnen - knapp ein Viertel. Das füllt den oberen "Keil" der Tabelle. Auf der Nebendiagonalen muss aus Symmetriegründen (Komplettinvertierung) achtmal 0,5 stehen. Dann übertrage man die ermittelten Werte v[k] als jeweils (1-v[k]) nach rechts unten - "gespiegelt" an der Nebendiagonalen, dann nach unten gleichermaßen "gespiegelt" an der Hauptdiagonalen, und schließlich noch wiedereum so nach links oben.
>>> Viertelt die Laufzeit!

3. "0." könnte entfallen - stattdessen lieber nur die ersten vier Nachkommastellen.
>>> So ließen sich die "echten" rationalen Werte (Brüche) "besser erkennen" ;)

Nachdem Ihr Algorithmus schon "steht", würde ich zunächst gerne meine Bruch-Tabelle vervollständigt wissen und DANN beide abgleichen, was die Ordnung der Zeilen- und Spaltenköpfe anbelangt. Wenn am Ende numerische Übereinstimmung herrscht, sollte es verlässlich passen... und dann kämen wir zu den Fünferkombis ;)

Eine tabellarische Darstellung für "Dritter Mitspieler" oder "Team aus je zwei Spielern" bliebe zu diskutieren...

p.s. Bitte das Hauptanliegen des Threads nicht aus den Augen verlieren: Wie und mit welchen Zusatztricks kann man solche einfachen Markow-Ketten HANDwerklich nutzen?



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-07-05


Hallo cramilu,

ich danke ihnen für den freundlichen Kommentar, das war... schön, am Sonntagmorgen zu lesen. Ich denke, dann habe ich eine Richtung bekommen.

Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Einen schönen Sonntagmorgen, Gerhard ;)

Ich selber habe bislang erst 11 der 56 Werte nach [rotella]s Methodik (siehe #22) ermitteln können - geht in der Tat flotter als mit Gleichungssystemen, aber weil ich da grafisch noch am Üben bin, habe ich halt meine entsprechenden bisherigen Werte jeweils zusätzlich mit Gleichungen abgesichert...

Was die zu erwartenden 240 symmetriebereinigten Fünferkombis anbelangt, werde ich da dann garantiert keinen Nerv für vollständige Rechnung "von Hand" haben ;)
Ihre algorithmische Lösung wird zielführender sein!

Apropos...
4. Symmetrie C:
Für den Sterbenden ("player") muss es stets zwei gleichermaßen optimale Vorgabekombis geben! Wenn die eine "KZKK" lautet, muss die andere - komplett invertiert - "ZKZZ" sein.

Gruß,
Uli



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.27, eingetragen 2020-07-05


Ich habe das Ausgabeformat noch umgestrickt - und bin jetzt hier. Die Tabelle zeige ich noch - und freue mich wenn wir dann zum eigentlichen Ziel das Threads zurückkehren :)
plain ASCII
TEUFEL by gonz@gmx.biz - Version 1.07
Lines: Moves of Player. Cols: Moves of Devil. Fields: Devil winning.
 
          KKK     KKZ     KZK     KZZ     ZKK     ZKZ     ZZK     ZZZ
   KKK   ----  50.00%  60.00%  60.00%  87.50%  58.33%  70.00%  50.00%  min(player) = 12.50%
   KKZ 50.00%    ----  33.33%  33.33%  75.00%  37.50%  50.00%  30.00%  min(player) = 25.00%
   KZK 40.00%  66.67%    ----  50.00%  50.00%  50.00%  62.50%  41.67%  min(player) = 33.33%
   KZZ 40.00%  66.67%  50.00%    ----  50.00%  50.00%  25.00%  12.50%  min(player) = 33.33%
   ZKK 12.50%  25.00%  50.00%  50.00%    ----  50.00%  66.67%  40.00%  min(player) = 33.33%
   ZKZ 41.67%  62.50%  50.00%  50.00%  50.00%    ----  66.67%  40.00%  min(player) = 33.33%
   ZZK 30.00%  50.00%  37.50%  75.00%  33.33%  33.33%    ----  50.00%  min(player) = 25.00%
   ZZZ 50.00%  70.00%  58.33%  87.50%  60.00%  60.00%  50.00%    ----  min(player) = 12.50%
 
Best result for player: 33.33% choosing KZK (maybe one of several possible ways) 

Einen schönen Sonntag Abend :)
Gonz

PS.: Die Regel für die Nebendiagonalen stimmt so bei mir nicht, wenn ich sie richtig verstanden habe. Das sollte ich nochmal "nachflöhen".



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Ja, dieser Sonntag Abend IST schön ;)

Klasse! Ihre Tabelle sieht doch im wesentlichen genauso aus wie meine aus #12.

Als "Hauptdiagonale" bezeichne ich diejenige von links oben nach rechts unten, wo die Striche auftauchen müssen, weil der Teufel ja stets mit einer ANDEREN Kombi "kontern" soll. Die "Nebendiagonale" ist dann entsprechend diejenige von links unten nach rechts oben. Hier wird jeweils so "gekontert", dass die Vorgabe vollständig invertiert wird, also aus jedem "K" ein "Z" wird bzw. umgekehrt; dort müssen die Werte logischerweise 50 % betragen!
Außerdem muss ja logisch gelten, dass wenn der Teufel lediglich an letzter Stelle der Vorgabe-Kombi eine Invertierung vornimmt, seine Chancen dann ebenfalls bloß 50 % sein können.
Und wenn man dann einen beliebigen Tabellenwert an einer der Diagonalen "spiegelt", muss dort der Ergänzungswert zur 1 stehen...

Bei meiner Auswertung gewichte ich dann jeweils alle Werte einer Zeile, um diejenige zu finden, bei welcher dem Teufel die insgesamt schlechtesten Chancen bleiben:
Hier bei Vorgaben "KZZ" oder "ZKK" jeweils genau 353/1.260 = 0,28016 ; gut 28 Prozent. Dem Teufel bleibt hier jeweils nur genau EIN "Konter", mit dem er bessere Chancen hat als der Sterbende.

Auch Ihnen noch einen schönen Abend!



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-07-05


Ah prima - dann passt das ja mit der Nebendiagonale.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


An alle:

Bislang habe ich von Hand berechnet
KKKK vs. KKZK (= ZZZZ vs. ZZKZ)
KKKZ vs. KKZK (= ZZZK vs. ZZKZ)
KKKK vs. ZZZK (= ZZZZ vs. KKKZ)
KKKK vs. ZZKZ (= ZZZZ vs. KKZK)
KKKZ vs. ZZKZ (= ZZZK vs. KKZK)
KZZK vs. ZKKK (= ZKKZ vs. KZZZ)
KZZZ vs. KKZZ (= ZKKK vs. ZZKK)
KZZZ vs. ZKZZ (= ZKKK vs. KZKK)
KKKK vs. KKZZ (= ZZZZ vs. ZZKK)
KKKZ vs. KKZZ (= ZZZK vs. ZZKK)
KKKK vs. KZKK (= ZZZZ vs. ZKZZ)
KKKZ vs. KZKK (= ZZZK vs. ZKZZ)
KKZZ vs. KZKK (= ZZKK vs. ZKZZ)
Ich mach' noch die sieben Lücken rechts oben in der Tabelle voll, dann gibts einen Zwischenstand ;)

Handskizzen oder sonstige Musterrechnungen sind mir dem Thema entsprechend WEITERHIN HERZLICH WILLKOMMEN!



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.31, eingetragen 2020-07-05


Zum Vergleichen:
Daten
fromList [(KKKK,1 % 2),(KKKZ,1 % 2)]
fromList [(KKKK,2 % 5),(KKZK,3 % 5)]
fromList [(KKKK,2 % 5),(KKZZ,3 % 5)]
fromList [(KKKK,3 % 10),(KZKK,7 % 10)]
fromList [(KKKK,5 % 12),(KZKZ,7 % 12)]
fromList [(KKKK,4 % 11),(KZZK,7 % 11)]
fromList [(KKKK,4 % 11),(KZZZ,7 % 11)]
fromList [(KKKK,1 % 16),(ZKKK,15 % 16)]
fromList [(KKKK,3 % 8),(ZKKZ,5 % 8)]
fromList [(KKKK,3 % 8),(ZKZK,5 % 8)]
fromList [(KKKK,3 % 8),(ZKZZ,5 % 8)]
fromList [(KKKK,1 % 4),(ZZKK,3 % 4)]
fromList [(KKKK,3 % 8),(ZZKZ,5 % 8)]
fromList [(KKKK,7 % 22),(ZZZK,15 % 22)]
fromList [(KKKK,1 % 2),(ZZZZ,1 % 2)]
fromList [(KKKZ,2 % 3),(KKZK,1 % 3)]
fromList [(KKKZ,2 % 3),(KKZZ,1 % 3)]
fromList [(KKKZ,1 % 2),(KZKK,1 % 2)]
fromList [(KKKZ,5 % 8),(KZKZ,3 % 8)]
fromList [(KKKZ,4 % 7),(KZZK,3 % 7)]
fromList [(KKKZ,4 % 7),(KZZZ,3 % 7)]
fromList [(KKKZ,1 % 8),(ZKKK,7 % 8)]
fromList [(KKKZ,9 % 16),(ZKKZ,7 % 16)]
fromList [(KKKZ,9 % 16),(ZKZK,7 % 16)]
fromList [(KKKZ,9 % 16),(ZKZZ,7 % 16)]
fromList [(KKKZ,5 % 12),(ZZKK,7 % 12)]
fromList [(KKKZ,9 % 16),(ZZKZ,7 % 16)]
fromList [(KKKZ,1 % 2),(ZZZK,1 % 2)]
fromList [(KKKZ,15 % 22),(ZZZZ,7 % 22)]
fromList [(KKZK,1 % 2),(KKZZ,1 % 2)]
fromList [(KKZK,3 % 5),(KZKK,2 % 5)]
fromList [(KKZK,5 % 7),(KZKZ,2 % 7)]
fromList [(KKZK,1 % 2),(KZZK,1 % 2)]
fromList [(KKZK,1 % 2),(KZZZ,1 % 2)]
fromList [(KKZK,5 % 12),(ZKKK,7 % 12)]
fromList [(KKZK,5 % 12),(ZKKZ,7 % 12)]
fromList [(KKZK,9 % 16),(ZKZK,7 % 16)]
fromList [(KKZK,9 % 16),(ZKZZ,7 % 16)]
fromList [(KKZK,5 % 14),(ZZKK,9 % 14)]
fromList [(KKZK,1 % 2),(ZZKZ,1 % 2)]
fromList [(KKZK,7 % 16),(ZZZK,9 % 16)]
fromList [(KKZK,5 % 8),(ZZZZ,3 % 8)]
fromList [(KKZZ,3 % 7),(KZKK,4 % 7)]
fromList [(KKZZ,5 % 9),(KZKZ,4 % 9)]
fromList [(KKZZ,2 % 3),(KZZK,1 % 3)]
fromList [(KKZZ,2 % 3),(KZZZ,1 % 3)]
fromList [(KKZZ,5 % 12),(ZKKK,7 % 12)]
fromList [(KKZZ,5 % 12),(ZKKZ,7 % 12)]
fromList [(KKZZ,9 % 16),(ZKZK,7 % 16)]
fromList [(KKZZ,9 % 16),(ZKZZ,7 % 16)]
fromList [(KKZZ,1 % 2),(ZZKK,1 % 2)]
fromList [(KKZZ,9 % 14),(ZZKZ,5 % 14)]
fromList [(KKZZ,7 % 12),(ZZZK,5 % 12)]
fromList [(KKZZ,3 % 4),(ZZZZ,1 % 4)]
fromList [(KZKK,1 % 2),(KZKZ,1 % 2)]
fromList [(KZKK,1 % 2),(KZZK,1 % 2)]
fromList [(KZKK,1 % 2),(KZZZ,1 % 2)]
fromList [(KZKK,7 % 12),(ZKKK,5 % 12)]
fromList [(KZKK,7 % 12),(ZKKZ,5 % 12)]
fromList [(KZKK,5 % 14),(ZKZK,9 % 14)]
fromList [(KZKK,1 % 2),(ZKZZ,1 % 2)]
fromList [(KZKK,7 % 16),(ZZKK,9 % 16)]
fromList [(KZKK,7 % 16),(ZZKZ,9 % 16)]
fromList [(KZKK,7 % 16),(ZZZK,9 % 16)]
fromList [(KZKK,5 % 8),(ZZZZ,3 % 8)]
fromList [(KZKZ,1 % 2),(KZZK,1 % 2)]
fromList [(KZKZ,1 % 2),(KZZZ,1 % 2)]
fromList [(KZKZ,7 % 16),(ZKKK,9 % 16)]
fromList [(KZKZ,7 % 16),(ZKKZ,9 % 16)]
fromList [(KZKZ,1 % 2),(ZKZK,1 % 2)]
fromList [(KZKZ,9 % 14),(ZKZZ,5 % 14)]
fromList [(KZKZ,7 % 16),(ZZKK,9 % 16)]
fromList [(KZKZ,7 % 16),(ZZKZ,9 % 16)]
fromList [(KZKZ,7 % 16),(ZZZK,9 % 16)]
fromList [(KZKZ,5 % 8),(ZZZZ,3 % 8)]
fromList [(KZZK,1 % 2),(KZZZ,1 % 2)]
fromList [(KZZK,1 % 2),(ZKKK,1 % 2)]
fromList [(KZZK,1 % 2),(ZKKZ,1 % 2)]
fromList [(KZZK,9 % 16),(ZKZK,7 % 16)]
fromList [(KZZK,5 % 12),(ZKZZ,7 % 12)]
fromList [(KZZK,7 % 12),(ZZKK,5 % 12)]
fromList [(KZZK,7 % 12),(ZZKZ,5 % 12)]
fromList [(KZZK,7 % 16),(ZZZK,9 % 16)]
fromList [(KZZK,5 % 8),(ZZZZ,3 % 8)]
fromList [(KZZZ,1 % 2),(ZKKK,1 % 2)]
fromList [(KZZZ,1 % 2),(ZKKZ,1 % 2)]
fromList [(KZZZ,9 % 16),(ZKZK,7 % 16)]
fromList [(KZZZ,5 % 12),(ZKZZ,7 % 12)]
fromList [(KZZZ,7 % 12),(ZZKK,5 % 12)]
fromList [(KZZZ,7 % 12),(ZZKZ,5 % 12)]
fromList [(KZZZ,7 % 8),(ZZZK,1 % 8)]
fromList [(KZZZ,15 % 16),(ZZZZ,1 % 16)]
fromList [(ZKKK,1 % 2),(ZKKZ,1 % 2)]
fromList [(ZKKK,1 % 2),(ZKZK,1 % 2)]
fromList [(ZKKK,1 % 2),(ZKZZ,1 % 2)]
fromList [(ZKKK,1 % 3),(ZZKK,2 % 3)]
fromList [(ZKKK,1 % 2),(ZZKZ,1 % 2)]
fromList [(ZKKK,3 % 7),(ZZZK,4 % 7)]
fromList [(ZKKK,7 % 11),(ZZZZ,4 % 11)]
fromList [(ZKKZ,1 % 2),(ZKZK,1 % 2)]
fromList [(ZKKZ,1 % 2),(ZKZZ,1 % 2)]
fromList [(ZKKZ,1 % 3),(ZZKK,2 % 3)]
fromList [(ZKKZ,1 % 2),(ZZKZ,1 % 2)]
fromList [(ZKKZ,3 % 7),(ZZZK,4 % 7)]
fromList [(ZKKZ,7 % 11),(ZZZZ,4 % 11)]
fromList [(ZKZK,1 % 2),(ZKZZ,1 % 2)]
fromList [(ZKZK,4 % 9),(ZZKK,5 % 9)]
fromList [(ZKZK,2 % 7),(ZZKZ,5 % 7)]
fromList [(ZKZK,3 % 8),(ZZZK,5 % 8)]
fromList [(ZKZK,7 % 12),(ZZZZ,5 % 12)]
fromList [(ZKZZ,4 % 7),(ZZKK,3 % 7)]
fromList [(ZKZZ,2 % 5),(ZZKZ,3 % 5)]
fromList [(ZKZZ,1 % 2),(ZZZK,1 % 2)]
fromList [(ZKZZ,7 % 10),(ZZZZ,3 % 10)]
fromList [(ZZKK,1 % 2),(ZZKZ,1 % 2)]
fromList [(ZZKK,1 % 3),(ZZZK,2 % 3)]
fromList [(ZZKK,3 % 5),(ZZZZ,2 % 5)]
fromList [(ZZKZ,1 % 3),(ZZZK,2 % 3)]
fromList [(ZZKZ,3 % 5),(ZZZZ,2 % 5)]
fromList [(ZZZK,1 % 2),(ZZZZ,1 % 2)]




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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-08


Zwischenstand für die 4-er-Kombis...



Zweiflerisch und erbsenzählerisch wie ich bin, habe ich jeden maßgeblichen Wert von Hand ermittelt, und zwar jeweils ein- bis zweimal nach der hauptsächlich grafischen Methode von [rotella] sowie über Absorptionsgleichungen.

@gonz @tactac:
Euere algorithmischen Resultate stimmen bislang alle ;)

Merkwürdig:
"Unterwegs" war ich kurz der These verfallen, dass sich für jede Kombi die Zähler der beiden anteiligen Zielwahrscheinlichkeiten um eine Zweierpotenz unterscheiden sollten, also um 1, 2, 4, 8 usw.
Die Kombi "KKZK vs. KZKZ" ist dann da jedoch mit 2/7 zu 5/7 "aus der Reihe getanzt". Blöd auch...

Auf eine zusätzliche, interessante Problemstellung bin ich auch schon wieder gekommen:

Ein Trickbetrüger hat eine Nahtoderfahrung, bei der er vom miesen Spiel des Teufels Wind bekommt. Nun überlegt er, eine Münze zu manipulieren, so dass sie stets mit erhöhter Wahrscheinlichkeit "Kopf" erbringen sollte. Diese möchte er dann bis zu seinem Tod in der Hosentasche tragen, um damit vielleicht die Gewinnchancen des Teufels "einbremsen" zu können. Wie stark sollte er die "Kopf"-Wahrscheinlichkeit erhöhen, und welche 3[!]-er-Vorgabe-Kombi sollte er dann wählen?

Selber "gelöst" habe ich es noch nicht. Aber schon ein wenig herumgerechnet.
Die Richtung, die sich andeutet, finde ich faszinierend!



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.33, eingetragen 2020-07-08


Huhu cramilu,

Du solltest zumindest die "Möbius-Münze" ($\mathbb{P}(\mathrm{Kopf}) = 1$) ausschliessen, sonst ist die Antwort wohl ein wenig zu einfach.

Zum Aufwärmen schon mal ein kleines Beispiel: Spielen $3$ Personen mit Sequenzen der Länge $4$, so sollte der erste Spieler auch bei einer Münze, die mit $60$% W'keit Zahl zeigt keinesfalls "ZZZK" wählen. Der Teufel und seine Grossmutter senken dann die Gewinnw'keit der armen Seele auf ca. $6$%!

lg, AK



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09


@AnnaKath: Jau... Das muss präzisiert werden ;)

Der Trickbetrüger beim Teufel

Ein Trickbetrüger hat eine Nahtoderfahrung, bei der er vom miesen Spiel des Teufels Wind bekommt. Nun überlegt er, eine Münze zu manipulieren, so dass sie stets mit erhöhter Wahrscheinlichkeit "Kopf" erbringen sollte. Diese möchte er dann bis zu seinem Tod in der Hosentasche tragen, um damit vielleicht die Gewinnchancen des Teufels "einbremsen" zu können. Allerdings muss er dabei bedenken, dass der Teufel argwöhnisch verlangen könnte, selber "vorlegen" zu dürfen...
Wie stark sollte der Trickbetrüger die "Kopf"-Wahrscheinlichkeit erhöhen, welche 3[!]-er-Vorgabe-Kombi sollte er dann selber wählen, falls er "vorlegen" darf, und welche zu bedenkenden Vorgaben des Teufels sollte er wie "kontern"?



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09


@gonz:
Könnte Ihr Algorithmus auch Tabellen wie die in #27 "ausspucken", falls es sich um eine Drei-Zu-Zwei-Münze (zeigt zu 60 % "Kopf") oder um eine Fünf-Zu-Drei-Münze (zeigt zu 62,5 % "Kopf") handelt?
Die würden wohl im Ansatz illustrieren, wohin ich mit meiner "Trickbetrüger"-Erweiterung abziele ;)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.36, eingetragen 2020-07-09


Ja, allerdings arbeite ich aktuell noch daran, das Ganze etwas zu "hübschen". Ich werde mal sehen was sich machen lässt :)



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.37, eingetragen 2020-07-09


Die Tabellen, die hier standen, waren falsch :)

Danke an cramilu für das Nachprüfen.



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cramilu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-09


@gonz:

Oups... dass sich die Chancen für den Teufel bei Vorgaben "KKK" bzw. "ZZZ" und Kontern "ZKK" bzw. "KZZ" jeweils zu 98/125 mit der 3/5-Münze oder 387/512 mit der 5/8-Münze ergeben sollten, scheint mir zwingend. In Deinen Tabellen lauten da jedoch die Werte anders...

Tabellarisch betrachtet läuft meine Aufgaben-Erweiterung darauf hinaus, ob es eine "Fälschungsmöglichkeit" gibt, so dass in mindestens einer Tabellenzeile nur Spaltenhöchstwerte von 1/2 zustandekommen!



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.39, eingetragen 2020-07-09


Dann sieht dieses vielleicht besser aus. Allerdings hatte ich noch keine Zeit, es hinreichend zu überprüfen...

plain ASCII
Teufel Vers. 13.1 by gonz
Ohne Grandma, p(Kopf)=5/8, Chance des Teufels
 
           KKK        KKZ        KZK        KZZ        ZKK        ZKZ        ZZK        ZZZ
KKK        ---        3/8      39/79    117/317    387/512  1161/3136  1161/2536 3483/15608
KKZ        5/8        ---       3/11       9/49      39/64    117/512    117/392   351/2776
KZK      40/79       8/11        ---        3/8      39/88    117/392    237/512   711/3136
KZZ    200/317      40/49        5/8        ---        5/8     49/104       9/64     27/512
ZKK    125/512      25/64      49/88        3/8        ---        3/8      24/49     72/347
ZKZ  1975/3136    395/512    275/392     55/104        5/8        ---       8/13      24/79
ZZK  1375/2536    275/392    275/512      55/64      25/49       5/13        ---        3/8
ZZZ12125/15608  2425/2776  2425/3136    485/512    275/347      55/79        5/8        ---


PS.: Wäre es von einem Schüler, würde ich etwas sagen wie - du sollst nicht raten * ggg Sprich ich gelobe Besserung

PPS.: Gerade mit den Ergebnissen von tactac verglichen - scheint zu passen :)



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