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Analysis » Stetigkeit » Ist die Komposition gleichmäßig stetig?
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Universität/Hochschule J Ist die Komposition gleichmäßig stetig?
Schokopudding
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-25


Nabend!

Sei $u\in C([0,T]\times\mathbb{R})$ beschränkt und $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ beschränkt und gleichmäßig stetig.

Ist dann $f\circ u$ ebenfalls beschränkt und gleichmäßig stetig?



Dass $f\circ u$ beschränkt ist, ist klar, da es sowohl $u$ als auch $f$ sind. Aber es ist mir nicht klar, ob die Komposition gleichmäßig stetig ist.





Viele Grüße



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-25


2020-06-25 19:31 - Schokopudding im Themenstart schreibt:
Aber es ist mir nicht klar, ob die Komposition gleichmäßig stetig ist.

Warum sollte sie das ohne zusätzliche Forderungen an $u$ sein?

Gegenbeispiel: Wähle eine beschränkte und stetige, aber nicht gleichmäßig stetige Funktion $\phi$, etwa $x\mapsto\sin\left(x^2\right)$. Setze dann $u(t,x)=\phi(x)$ und wähle für $f$ eine beschränkte und gleichmäßig stetige Fortsetzung von $x\mapsto x$ für $x\in\phi(\mathbb R)$.

--zippy



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