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Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Urbild unter Morphismus entspricht Idealabschluss
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Universität/Hochschule J Urbild unter Morphismus entspricht Idealabschluss
lpodl
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-26


Sei $\varphi: X \rightarrow Y$ ein Morphismus zwischen affinen Varietäten. Für jede Untervarietät $Z \subseteq Y$ mit dem Verschwindungsideal $\mathcal{I}(Z) = J \subseteq K[Y]$ gilt dann $\mathcal{V} (J \cdot K[X]) = \varphi^{-1}(Z)$.

Diese Aussage habe ich an verschiedenen Stellen, zuletzt auf Stackexchange gefunden. Allerdings habe ich nie einen Beweis dafür gesehen. In dem Post wird zwar auf Atiyah-Macdonald verwiesen, ich sehe aber nicht den Zusammenhang mit dem Satz.

Kann mir jmd. einen kurzen Beweis für die Aussage liefern oder auf eine geeignete Quelle verweisen?



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Nichtarchimedes
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 17
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-02

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Hallo, der Beweis ist nicht schwer:

Für $x \in X$ gilt
$$ \begin{split}
x \in \phi^{-1}(Z) &\iff \phi(x) \in Z \\
&\iff f(\phi(x)) = 0 \text{ für alle } f \in J \\
&\iff \phi^\ast(f) (x) = 0 \text{ für alle } f \in J \\
& \iff x \in V(\phi^\ast(J)).
\end{split}
$$ Jetzt benutzt man noch, dass die Verschwindungsmenge sich nicht ändert, wenn man zum erzeugten Ideal übergeht, und dass $J \cdot K[X]$ per Definition das von $\phi^\ast(J)$ erzeugte Ideal ist.

Viele Grüße
Nichtarchimedes
\(\endgroup\)


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lpodl hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
lpodl hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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