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Lineare Algebra » Vektorräume » Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen
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Universität/Hochschule Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen
Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-27


Hallo,

ich habe ein Problem damit, wie man sich die Vektoren bzw. Vektorräume von Abbildungen vorstellen muss/kann.

Ich glaube mein Grundproblem ist ein bischen, dass ich mir Vektoren immer als n-Tupel aus $\mathbb{R}^n$ vorstelle, wo dann die Dimensionalität einfach die Anzahl der Einträge des Tupels ist.

Meine Frage: Kann man sich (unendlich dimensionale) Vektorräume von Funktionen oder Folgen auch in ähnlicher weise vorstellen?

1.) Also zB bei $\ell^2$: Dort sind die Vektoren ja unendliche Folgen $(x_n)_n$. Könnte man sich das dann so vorstellen, dass jedes Folgenglied $x_n$ quasi korrespondiert mit einem Eintrag aus einem Tupel? Damit wäre dann ein Vektor zB $(x_1, x_2, x_3, ...)$. Und da die Folge unendlich viele Glieder hat, sind damit die  Vektoren und damit der Vektorraum unendlich dimensional?

2.) Wie würde man sich das dann aber in einem Vektorraum von Funktionen vorstellen? Da dort die Definitionsmenge in der Regel überabzählbar unendlich ist, ist ja sogar schon der Versuch einen Vektor als Tupel hinzuschreiben unmöglich. Kann man da trotzdem irgendeine Analogie finden zu den Vektoren, die als Tupel dargestellt werden können? Sprich, könnte man da auch irgendwie aus der Struktur der Vektoren die Dimensionalität ablesen, so wie bei Tupel aus dem $\mathbb{R}^n$?

3.) Gibt es bei der Dimensionalität auch die Unterscheidung von abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich? Also sind zB Folgenräume abzählbar unendliche Vektorräume und Funktionenräume überabzählbar unendliche Vektorräume?




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-27

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Hallo Gast123,

man kann sich die Vektoren aus $\R^n$ durch ihre $n$ Komponenten charakterisiert denken. Der Vektor $(4,2,8)$ hätte zum Beispiel als erste Komponente die 4, als zweite die 2 und als dritte die 8. Das geht auch bei Folgenräumen: eine Folge ist durch ihre abzählbar vielen Komponenten charakterisiert: Die Folge $a_n=1/n$ hat als $n$-te Komponente $1/n$.
Und das geht auch für Funktionen auf $\R$. Sie sind durch ihre überabzählbar vielen Komponenten charakterisiert. Etwa hat $f(x)=x^2$ als $x$-te Komponente $x^2$. Das lässt sich nur leider nicht in “Tupelform“ darstellen, weil das höchstens abzählbar viele Komponenten voraussetzt.

Eine andere Sichtweise wäre, ganz von Tupeln wegzugehen, und auch Vektoren aus $\R^n$ wie Funktionen zu behandeln. Man könnte sich beispielsweise alle Funktionen $\{1,2,\dots, n\}\to\R$ vorstellen. Die Funktion $f:i\mapsto f(i)$ könnte man dann in Kurzschreibweise als $(f(1),\dots,f(n))$ notieren. Dann steht ein Vektor also für eine Abbildung $f:\{1,\dots,n\}\to\R$, und seine Komponenten sind einfach die Bilder von $1$ bis $n$. Das kann man dann mit Leichtigkeit auf Abbildungen $X\to\R$ mit beliebigem $X$ übertragen, nur eventuell ohne schöne Kurzschreibweise, wenn $X$ überabzählbar ist. Mit $X=\N$ erhält man dann den Vektorraum aller Folgen, und mit $X=\R$ erhält man den Raum aller reellen Funktionen auf $\R$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-27


Noch eine Ergänzung.

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
3.) Gibt es bei der Dimensionalität auch die Unterscheidung von abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich? Also sind zB Folgenräume abzählbar unendliche Vektorräume und Funktionenräume überabzählbar unendliche Vektorräume?

Ja, die Unterscheidung gibt es. Die Dimension des Raums aller reellen Zahlenfolgen ist aber bereits überabzählbar unendlich.



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Carmageddon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-27


Hallo Gast123,

ich habe irgendwann aufgehört mir bei unendlich-dimensionalen VR etwas vorzustellen. Dort passieren so viele verrückte Dinge, die (in meinen Augen) jeglicher Intuition wiedersprechen. ;)


Zu deinen Fragen:

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:

Ich glaube mein Grundproblem ist ein bischen, dass ich mir Vektoren immer als n-Tupel aus <math>\mathbb{R}^n</math> vorstelle, wo dann die Dimensionalität einfach die Anzahl der Einträge des Tupels ist.

Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.

Aber ich verstehe worauf du hinaus willst: auf VR die isomorph zum <math>\IR^n</math> sind. Dort ist die Vorstellung durchaus legitim. Leider geht diese Anschauung im unendlich dimensionalen verloren...

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
1.) Also zB bei <math>\ell^2</math>: Dort sind die Vektoren ja unendliche Folgen <math>(x_n)_n</math>. Könnte man sich das dann so vorstellen, dass jedes Folgenglied <math>x_n</math> quasi korrespondiert mit einem Eintrag aus einem Tupel? Damit wäre dann ein Vektor zB <math>(x_1, x_2, x_3, ...)</math>. Und da die Folge unendlich viele Glieder hat, sind damit die  Vektoren und damit der Vektorraum unendlich dimensional?

Wie schon mit meinem Beispiel von oben: Die Anzahl der "Folgen-Glieder" hat nichts mit der Dimension zu tun. Von daher ist deine Argumentation falsch.

Die große Verwirrung besteht meiner Meinung nach in der "Definition" von "unendlich". Hat der Vektorraum die Dimension "abzählbar unendlich" oder "überabzählbar unendlich". Ich habe das bewusst in Klammern gesetzt, da dies höchst unmathematisch formuliert ist ;)

Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.



2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
2.) Wie würde man sich das dann aber in einem Vektorraum von Funktionen vorstellen? Da dort die Definitionsmenge in der Regel überabzählbar unendlich ist, ist ja sogar schon der Versuch einen Vektor als Tupel hinzuschreiben unmöglich. Kann man da trotzdem irgendeine Analogie finden zu den Vektoren, die als Tupel dargestellt werden können? Sprich, könnte man da auch irgendwie aus der Struktur der Vektoren die Dimensionalität ablesen, so wie bei Tupel aus dem <math>\mathbb{R}^n</math>?

Nein, und dies kann auch i.A. nicht gehen (siehe Antwort auf Frage 3)

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
3.) Gibt es bei der Dimensionalität auch die Unterscheidung von abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich? Also sind zB Folgenräume abzählbar unendliche Vektorräume und Funktionenräume überabzählbar unendliche Vektorräume?

Gute Frage! (Im Ernst, das ist eine echt gute Frage :) ) Man muss hier ein bisschen in die Funktionalanalysis einsteigen. Dann lässt sich zeigen, dass jeder "unendlich dimensionale" VR (im Sinne wie oben: Es gibt keine endliche Basis) eine überabzählbar unendliche Hamel-Basis besitzt.

Edit: Dies gilt natürlich nur für Banach-Räume...

Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.



Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen.

Als kleine Übung kannst du dir ja mal eine Schauderbasis von <math>\ell^2</math> überlegen!


Viele Grüße


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Zitat: "Es gibt einen Beweis aus der Physik: Er ist kurz, er ist elegant... und falsch"



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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-27


2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:

Gute Frage! (Im Ernst, das ist eine echt gute Frage :) ) Man muss hier ein bisschen in die Funktionalanalysis einsteigen. Dann lässt sich zeigen, dass jeder "unendlich dimensionale" VR (im Sinne wie oben: Es gibt keine endliche Basis) eine überabzählbar unendliche Hamel-Basis besitzt.


Das ist so nicht richtig, es gibt durchaus Vektorräume, die eine abzählbar unendliche Hamel-Basis haben, zum Beispiel der Vektorraum aller (reellen) Polynomfunktionen - hier ist $\{ x^n | n \in \mathbb{N}_0 \}$ eine Basis. Dass es keine abzählbar unendlichen Basen geben kann, gilt nur für Banach-Räume.

Gruß,
David



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-27


Vielen Dank an alle für eure Antworten!


@Carmageddon

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.
Liegt das daran, dass aus diesem Vektorraum zwei beliebige Vektoren immer linear Abhängig sind und daher die maximale Anzahl an linear Unabhänigeng Vektoren 1 ist?


2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Tatsächlich war das erst kürzlich eine Übungsaufgabe, genau das zu zeigen. Allerdings hatte ich die Argumentation der Lösung nicht verstanden. Dort hat man nämlich gezeigt, dass es für jedes $n \in \mathbb{N}$ n linear unabhängige Vektoren gibt. Da aber ja n eine natürlich Zahl ist, ist die Anzahl ja doch immer endlich, daher weiß ich nicht wo dann der Übergang ins unendliche kommt? Oder wird hier unendlich wieder so definiert, dass es über jede Grenze hinweg wächst?

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.

Ich kenne diese Begriffe von Hamel und Schauder Basis leider nicht. Auf Wikipedia steht allerdings: "[...]Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt". Ich würde das jetzt so interpretieren, dass die Hamelbasis nur endlich Dimensional sein kann und nicht unendlich dimensional?

Ist die Hamelbasis aber im Prinzip die "normale" Basis die man aus endlichen Vektorräumen kennt?

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.

Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe: Heißt das, dass es Fälle gibt, wo ich für den selben unendlichen VR eine abzählbar unendliche Schauder-Basis finden kann und eine überabzählbar unendliche Hamelbasis? Dann wäre der Begriff der Dimensionalität hier aber nicht eindeutig definiert oder?



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Carmageddon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-28


Hallo,


2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.
Liegt das daran, dass aus diesem Vektorraum zwei beliebige Vektoren immer linear Abhängig sind und daher die maximale Anzahl an linear Unabhänigeng Vektoren 1 ist?

Eine Basis ist z.b. gegeben durch <math>\{(1,0,..,0) \in \IR^9\}</math>. Rechne einfach die Eigenschaften einer Basis durch.



2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Tatsächlich war das erst kürzlich eine Übungsaufgabe, genau das zu zeigen. Allerdings hatte ich die Argumentation der Lösung nicht verstanden. Dort hat man nämlich gezeigt, dass es für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> n linear unabhängige Vektoren gibt. Da aber ja n eine natürlich Zahl ist, ist die Anzahl ja doch immer endlich, daher weiß ich nicht wo dann der Übergang ins unendliche kommt? Oder wird hier unendlich wieder so definiert, dass es über jede Grenze hinweg wächst?

Es gibt überhaupt keinen Übergang ins unendliche. Man verwendet hier nun die Eigenschaft, dass eine Basis eine maximale lineare unabhängige Menge ist, sprich sobald man einen weiteren beliebigen Vektor hinzunimmt ist die Menge linear abhängig. Sollte es für beliebige <math>n</math>, aber immer <math>n</math> unabhängige Vektoren geben, kann so eine Menge offensichtlich nicht endlich sein.


2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.

Ich kenne diese Begriffe von Hamel und Schauder Basis leider nicht. Auf Wikipedia steht allerdings: "[...]Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt". Ich würde das jetzt so interpretieren, dass die Hamelbasis nur endlich Dimensional sein kann und nicht unendlich dimensional?

Ist die Hamelbasis aber im Prinzip die "normale" Basis die man aus endlichen Vektorräumen kennt?


Für endlich-dimensionale VR stimmen Hamelbasis und "normale" Basis überein. Deine Interpretation kann ich nicht nachvollziehen. Wie schließt du darauf, dass die Hamel-Basis endlich sein muss?

Die Hamel-Basis ist die "normale" Basis. Sie muss nun nur nicht mehr aus endlich vielen Elementen bestehen, wie man es in der endlich-dimensionalen Linearen Algebra lernt, sondern sie besteht nun aus unendlich vielen Elementen. Die englische Wiki-Seite erklärt das recht gut in der Defintion: hier



2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.

Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe: Heißt das, dass es Fälle gibt, wo ich für den selben unendlichen VR eine abzählbar unendliche Schauder-Basis finden kann und eine überabzählbar unendliche Hamelbasis? Dann wäre der Begriff der Dimensionalität hier aber nicht eindeutig definiert oder?


Ja, solche Fälle gibt es. Man muss hier allerdings dazusagen, dass man für den Begriff der Schauderbasis eine Norm benötigt. Die Hamelbasis benötigt dies nicht. Nun, man spricht hier von unendlich-dimensionalen VR und belässt es meist dabei.

Man kann für unendlich-dimensionale VR auch nicht mehr sagen, dass sie alle isomorph zueinander sind (wie etwa endlich-dimensionale VR über <math>\IR</math>). Hier gibt es einen wahren Zoo an fundamental unterschiedlichen VR (diese Räume werden erst mit der richtigen Norm interessant). Die "richtige" Definition der Dimension spielt hier in meinen Augen keine große Rolle hier.


Viele Grüße



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29


Hallo, danke für deine Antworten.


2020-06-28 15:32 - Carmageddon in Beitrag No. 6 schreibt:
Es gibt überhaupt keinen Übergang ins unendliche. Man verwendet hier nun die Eigenschaft, dass eine Basis eine maximale lineare unabhängige Menge ist, sprich sobald man einen weiteren beliebigen Vektor hinzunimmt ist die Menge linear abhängig. Sollte es für beliebige <math>n</math>, aber immer <math>n</math> unabhängige Vektoren geben, kann so eine Menge offensichtlich nicht endlich sein.


Hm, ich muss gestehen, dass mir diese Argumentation immer noch nicht klar ist. Da ja $n \in \mathbb{N}$ ist, ist $n$ ja per Definition immer eine natürlich Zahl, dh insbesondere endlich. Und selbst wenn man dann für jedes $n \in \mathbb{N}$ eine Basis finden kann, hat dann doch jede dieser Basen nur endlich viele Vektoren.


2020-06-28 15:32 - Carmageddon in Beitrag No. 6 schreibt:
Für endlich-dimensionale VR stimmen Hamelbasis und "normale" Basis überein. Deine Interpretation kann ich nicht nachvollziehen. Wie schließt du darauf, dass die Hamel-Basis endlich sein muss?

Also ich komme auf diese Interpretation wegen dem Satz auf Wikipedia, dass für eine Hambelbasis "[...] verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt".
Und wenn sich jeder Vektor durch endliche Linearkombinationen der Basisvektoren darstellen lässt, muss das maximale Erzeugendensystem ja endlich sein, oder?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-29


2020-06-29 08:56 - Gast123 in Beitrag No. 7 schreibt:
Und wenn sich jeder Vektor durch endliche Linearkombinationen der Basisvektoren darstellen lässt, muss das maximale Erzeugendensystem ja endlich sein, oder?

Nein, betrachte doch das Beispiel von DavidM, den Polynomring $\mathbb R[X]$.

Die Menge $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ ist einen Basis, denn jedes Polynom lässt sich eindeutig als Linearkombination der endlich vielen Basiselemente $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ darstellen, wobei $n$ der Grad des Polynoms ist. Aber keine dieser endlichen Mengen ist ein Erzeugendsystem.

Dass das so ist, liegt im Wesentlichen an Folgendem:
1. Jedes Polynom enthält eine höchste Potenz $X^n$, die durch seinen Grad festgelegt ist.
2. Es gibt aber Polynome beliebig hohen Grades.

--zippy



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Gast123
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-10


Hallo zippy,

ich habe noch zwei Fragen zu deiner Antwort:


2020-06-29 09:28 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Menge $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ ist einen Basis, denn jedes Polynom lässt sich eindeutig als Linearkombination der endlich vielen Basiselemente $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ darstellen, wobei $n$ der Grad des Polynoms ist. Aber keine dieser endlichen Mengen ist ein Erzeugendsystem.

1.) Vielleicht fehlen mir hier auch Kenntnisse aus der (Linearen) Algebra, aber eine Basis ist doch immer auch ein minimales Erzeugendensystem? Wie kann es dann sein, dass $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ eine (endliche) Basis ist aber kein Erzeugendensystem?

2020-06-29 09:28 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Dass das so ist, liegt im Wesentlichen an Folgendem:
1. Jedes Polynom enthält eine höchste Potenz $X^n$, die durch seinen Grad festgelegt ist.
2. Es gibt aber Polynome beliebig hohen Grades.
2.) Was genau bedeutet es denn, dass ein Polynom einen beliebig hohen Grad haben kann? Bedeutet das, dass der Grad eines Polynoms auch unendlich sein kann?

3.) Wenn ich noch etwas mehr darüber nachdenke liegt mein Problem vielleicht auch einfach darin, dass mir nicht genau bewusst ist, wann eine Indexmenge der natürlichen Zahlen denn endlich ist und wann unendlich. Ist denn zB $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ eine unendliche Menge? Wenn ja, warum? Denn jede natürlich Zahl $k$ ist ja immer endlich...
Und ist $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ dann im Gegensatz dazu endlich?



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Kezer
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2020-07-10 17:13 - Gast123 in Beitrag No. 9 schreibt:
Hallo zippy,

ich habe noch zwei Fragen zu deiner Antwort:


2020-06-29 09:28 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Menge $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ ist einen Basis, denn jedes Polynom lässt sich eindeutig als Linearkombination der endlich vielen Basiselemente $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ darstellen, wobei $n$ der Grad des Polynoms ist. Aber keine dieser endlichen Mengen ist ein Erzeugendsystem.

1.) Vielleicht fehlen mir hier auch Kenntnisse aus der (Linearen) Algebra, aber eine Basis ist doch immer auch ein minimales Erzeugendensystem? Wie kann es dann sein, dass $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ eine (endliche) Basis ist aber kein Erzeugendensystem?

Die Menge $\{1,X, \dots, X^n \}$ ist keine Basis, sondern $1,X, \dots, X^n$ sind Basiselemente, d.h. sie sind Teil der Basis.

2020-07-10 17:13 - Gast123 in Beitrag No. 9 schreibt:
2.) Was genau bedeutet es denn, dass ein Polynom einen beliebig hohen Grad haben kann? Bedeutet das, dass der Grad eines Polynoms auch unendlich sein kann?
Der Grad kann $1$ oder $2$ oder $42$ oder $1249012749102947$ sein, also beliebig groß... Formal bedeutet es, dass es für jedes $n \in \mathbb{N}$ ein $N > n$ gibt, sodass ein Polynom Grad $N$ hat.
Ich hätte dir ja geraten, dir zu überlegen, was es bedeutet, dass es beliebig große natürliche Zahlen gibt, aber wegen deiner 3. Frage bin ich mir nicht sicher, ob die das überhaupt hilft.

2020-07-10 17:13 - Gast123 in Beitrag No. 9 schreibt:
3.) Wenn ich noch etwas mehr darüber nachdenke liegt mein Problem vielleicht auch einfach darin, dass mir nicht genau bewusst ist, wann eine Indexmenge der natürlichen Zahlen denn endlich ist und wann unendlich. Ist denn zB $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ eine unendliche Menge? Wenn ja, warum? Denn jede natürlich Zahl $k$ ist ja immer endlich...
Und ist $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ dann im Gegensatz dazu endlich?
Eine Menge heißt endlich, wie sie bijektiv zu $\{1,2,\dots,n \}$ für ein $n \in \mathbb{N}$ ist (wobei $\{1,2,\dots,n \} = \emptyset$ für $n = 0$).
Die Menge $\{1,X,X^2, \dots \}$ ist unendlich, weil sie bijektiv zu $\mathbb{N}$ ist. Ähnlich ist $\{1,X,X^2,\dots,X^n \}$ bijektiv zu $\{1,2,\dots,n+1 \}$.
Die Variable $n$ ist fest - man fixiert ein beliebiges aber festes $n$. Setze einfach z.B. $n = 42$ ein, ich denke dir ist bewusst, dass $\{1,X,\dots,X^{42} \}$ endlich ist. Das gilt, egal welches $n$ du einsetzt.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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