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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Anwendung der Spur auf einen Isomorphismus
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Beruf J Anwendung der Spur auf einen Isomorphismus
sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-27


Hallo Zusammen, ich stecke wieder einmal fest.

$Tr(\rho(h)\rho(g)\rho(h^{-1}))= Tr(\rho(g) )$

weil es hier um die Darstellung von Gruppen geht ist $\rho(g)$ ein Isomorphismus. Das Symbol Tr steht für die Spur.

Ich sehe gerade nicht welche Eigenschaft von Isomorphismen, bzw. Eigenschaft der Spur diese Umformung erlaubt und braucht Hilfe.


Noch eine zweite Frage:
Satz: Die Menge aller zentralen Funktionen auf G bilden einen UVR von $\mathcal{F}(G,\mathbb{C})$

Frage: was bedeutet das Symbol  $\mathcal{F}(G,\mathbb{C})$.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Hallo,

du brauchst, dass die Spur zyklisch ist, also $\tr(f\circ g) = \tr(g\circ f)$. Außerdem musst du benutzen, dass $\rho$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Bei deiner zweiten Frage bin ich mir nicht sicher, aber ich vermute mal, dass $\mathcal F(G,\IC)$ der Vektorraum aller Funktionen von $G$ nach $\IC$ sein soll.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-27


Hallo Nuramon, vielen Dank für deine Schnelle Antwort.

Ja, unter den Stichwörtern "zyklisch" und "Spur" habe ich es gefunden.

Somit gilt: $Tr(\rho(h)\rho(g)\rho(h^{-1}))=Tr(\rho(h)(\rho(h^{-1})\rho(g)) =Tr(\rho(h*h^{-1})\rho(g))=Tr(\rho(e_G)\rho(g))=Tr(\rho(e_G*g))=Tr(\rho(g) )$

Stimmt das so?

Bezüglich $\mathcal{F}(G,\mathbb{C})$ nehme ich das mal so an wie du gesagt hast und schaue was da passiert.



Ich haben nochmals eine Frage:

Die Realtion $p^2=p$ bedeuted dass p ein Projektor ist, genauer ein Projektor auf sein Bild, parallel zu seinem Kern (welche in V komplementär sind). Weiter verschwindet p durch $X^2-X$....


Hier stehe ich wieder an. Gemäss Aufgabenstellung ist $V$ irgendein $\mathbb{C}$-Vektorraum. Nicht zwangsweise Polynome.

Nun verstehe ich nicht weshalb $p(X^2-X)=p(X^2)-p^2(X)$ den Wert $0_V$ ergeben sollte.

Bin ich überhaupt auf der richtigen Fährte? Aus vorhergehenden Teilaufgaben (Wo auch Du mir bereits geholfen hast) sind noch weitere Eigenschaften von $p$ zu entnehmen.

Aber ich vermute, dass ich einen anderen, viel trivialeren, Knopf habe und keine weiteren Eigenschaften von $p$ benötigt werden



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-27 14:21 - sulky in Beitrag No. 2 schreibt:
Somit gilt: $Tr(\rho(h)\rho(g)\rho(h^{-1}))=Tr(\rho(h)(\rho(h^{-1})\rho(g)) =Tr(\rho(h*h^{-1})\rho(g))=Tr(\rho(e_G)\rho(g))=Tr(\rho(e_G*g))=Tr(\rho(g) )$

Stimmt das so?
Es stimmt in dem Sinne, dass alle Gleichungen "zufällig" tatsächlich wahr sind. Trotzdem würde ich das nicht als Beweis akzeptieren: Wie begründest du das erste Gleichheitszeichen? Die Eigenschaft $\tr (f\circ g) = \tr(g\circ f)$ hast du jedenfalls nicht (bzw. falsch) angewendet.


Nun verstehe ich nicht weshalb $p(X^2-X)=p(X^2)-p^2(X)$ den Wert $0_V$ ergeben sollte.
Es ist gemeint, dass $p^2-p= 0$ ist. Wenn man also $X=p$ in $X^2-X$ einsetzt, erhält man die Nullabbildung.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-27


Ich glaube zu verstehen, wo meine Umformung unsauber ist.
$Tr(\rho(h)\rho(g)\rho(h^{-1}))=Tr([\rho(h)\rho(g)]\circ\rho(h^{-1}))=Tr(\rho(h^{-1})\circ[\rho(h)\rho(g)])=Tr(\rho(h^{-1})\rho(h)\rho(g))=Tr(h^{-1}hg)=Tr(g)$

Ist so korrekt?

Das Andere habe ich noch immer nicht ganz verstanden.
Der Beweis geht dadurch weiter, dass das Polynom $X^2-X$ zwei verschiedene Nullstellen hat womit gezeigt ist, $p$ diagonalisierbar ist.

Ich sehe gerade nicht weshalb $p=X$ gesetzt werden darf.
Ist $X^2-X$ das charakteritische Polynom vom $p$?
Dagegen spricht dass das Polynom om Grade 2 ist. Die Dimension von $p$ hingegen ist nicht bekannt.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-27 16:25 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich glaube zu verstehen, wo meine Umformung unsauber ist.
$Tr(\rho(h)\rho(g)\rho(h^{-1}))=Tr([\rho(h)\rho(g)]\circ\rho(h^{-1}))=Tr(\rho(h^{-1})\circ[\rho(h)\rho(g)])=Tr(\rho(h^{-1})\rho(h)\rho(g))=Tr(h^{-1}hg)=Tr(g)$

Ist so korrekt?
Gegen Ende fehlen ein paar $\rho$s, aber sonst passt es.


Das Andere habe ich noch immer nicht ganz verstanden.
Der Beweis geht dadurch weiter, dass das Polynom $X^2-X$ zwei verschiedene Nullstellen hat womit gezeigt ist, $p$ diagonalisierbar ist.
Hier wird in dem Beweis dann vermutlich benutzt, dass ein Endomorphismus genau dann diagonalisierbar ist, wenn dessen Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat.


Ich sehe gerade nicht weshalb $p=X$ gesetzt werden darf.
Eigentlich sagt das nichts anderes aus, als dass der Ausdruck $X^2-X$ Sinn ergibt, wenn man $X$ durch $p$ ersetzt.


Ist $X^2-X$ das charakteritische Polynom vom $p$?
Nicht unbedingt, wie du selbst angemerkt hast.
$X^2-X$ ist ein Polynom, dass $p$ annuliert. Insbesondere ist also $X^2-X$ ein Vielfaches des Minimalpolynoms von $p$.
Oder allgemeiner: Wenn $f(X)$ ein Polynom ist, dann kann man einen Endomorphismus $p$ für $X$ einsetzen und erhält einen Endomorphismus $f(p)$.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-27


ja, die $\rho$'s die fehlen habe ich jetzt auch bemerkt.


Wegen dem anderen kommt nun Licht ins Dunkel.

Den Begriff "Minimalpolynom" habe ich bisher leider nicht kennengelernt dafür aber etwas sehr ähnliches. Nämlich haben wir beim Charakteristischen Polynom alle Nullstellen auf Geometrische und Algebraische Vielfachheit untersucht und dadurch auf die Diagonalisierbarkeit geschlossen.

Nun beginne ich mich zu errinnern dass wir im Kurs über Endomorphismen auch Polynome von quadratischen $\mathbb{C}$-Matrizen angeschaut haben.
Wenn $X\in \mathbb{C}_{[n\times n]}$ eine Quadratische Matrix ist, dann ist $Y=a+bX+dX^2+dX^3....$ auch Element von $\mathbb{C}_{[n\times n]}$

Dann existiert ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von Y und den Nullstellen von $a+bx+cx^2+dx^3....$
Diesen Zusammnhang muss ich leider wieder nachlesen. Ich weis es nicht mehr.


Bin ich auf der richtigen Fährte?




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-28


Zitiere doch mal den Satz um den es geht und die Stelle in dem Beweis, die du nicht verstehst.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-28


Sei $G$ eine endliche Gruppe, $(V,\rho)$ eine Repräsentation von G auf $\mathbb{C}$ von endlicher Dimension, $\chi$ sein Charakter.
$1_G$ bezeichnet de linearen, trivialen Charakter von $G$ une $V^G$ den Untervektorraum der Fixpunkte von V.

1) Man betrachte die $\mathbb{C}$-lineare Abbildung von $V$ in sich selber, definiert durch:

$p=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\rho(g)$

i) $\forall v \in V^G, p(v)=v$;
ii) $Im p=V^G=Kern(p-id_V)$
iii)$p^2=p$

Bis hierher alles Klar, denn da hast du mir bereits in einem anderen MP-Beitrag geholfen-

2) Daraus zu folgern dass: $dim \; V^G=<\chi,1_G>$ wobei $<\cdot,\cdot>$ bezeichnet das Skalarprodukt auf den zentralen Funktionen von G


Nun geht die Musterlösung wie folgt vor:
Die Relation $p^2=p$ bedeutet dass $p$ ein Projektor ist, genauer ein Projektor auf sein Bild, Parallel zu seinem Kern.

Weiter verschwindet $p$ durch $X^2-X$....

Hier weis ich nicht mehr weiter. Es vird verwendet dass $X^2-X$ ein Polynom ist mit einfachen Nullstellen, wodurch $p$ diagonalisierbar ist.

Leider konnte ich noch immer nicht verstehen wie die Diagonalisierbarkeit von $p$ gezeigt wird.
$X$ wird nicht weiter definiert.
Der Ausdruck $p(X^2-X)$ ist mir unklar, denn $p$ ist definiert auf dem VR V und auf einem Vektorraum ist i.a. die Quadrierung nicht definiert.

hier ist nicht $p(X^2-X)=O_V$ gemeint, sondern was anderes.

Wie wird die diagonalisierbarkeit von $p$ gezeigt?
 



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-28


2020-06-28 21:40 - sulky in Beitrag No. 8 schreibt:
Weiter verschwindet $p$ durch $X^2-X$....

Das hast du vermutlich selbst übersetzt... Gemeint ist: Wenn man in das Polynom $a:=X^2-X$ die lineare Abbildung $p$ einsetzt, erhält man die Nullabbildung, d.h. es ist $a(p)=p^2-p=0$.

$p$ besitzt als lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum ein Minimalpolynom. Dieses Minimalpolynom muss ein Teiler von $a$ sein. Da $a$ die Primfaktorzerlegung $a=X(X-1)$ hat und somit quadratfrei ist, muss auch das Minimalpolynom von $p$ quadratfrei sein. Und das ist genau die Bedingung für Diagonaliserbarkeit von $p$.

--zippy



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-28 21:40 - sulky in Beitrag No. 8 schreibt:
Weiter verschwindet $p$ durch $X^2-X$....

Hier weis ich nicht mehr weiter. Es vird verwendet dass $X^2-X$ ein Polynom ist mit einfachen Nullstellen, wodurch $p$ diagonalisierbar ist.

Leider konnte ich noch immer nicht verstehen wie die Diagonalisierbarkeit von $p$ gezeigt wird.
$X$ wird nicht weiter definiert.
Der Ausdruck $p(X^2-X)$ ist mir unklar, denn $p$ ist definiert auf dem VR V und auf einem Vektorraum ist i.a. die Quadrierung nicht definiert.

hier ist nicht $p(X^2-X)=O_V$ gemeint, sondern was anderes.
Ich habe doch schon zweimal geschrieben, dass nicht $X^2-X$ in $p$ eingesetzt wird, sondern $p$ in $X^2-X$.


Wie wird die diagonalisierbarkeit von $p$ gezeigt?
Siehe meine Bemerkung in No.5.
Falls ihr wirklich noch nichts über das Minimalpolynom gelernt hat, dann steht an der Stelle sicher noch mehr zur Begründung der Diagonalisierbarkeit im Beweis als du hier wiedergegeben hast.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29


Hallo Nuramon,

Ja, "Minimalpolynom" war das Stichwort, welches mir gefehlt hat.
Wir hatten im 2. Studienjahr den Kurs "Reduktion von Endomorphismen".
Dort wurde dies gelehrt. Ich wusste einfach nicht wie es auf deutsch heisst und konnte mich nicht mehr detailliert erinnern.


Falls ihr wirklich noch nichts über das Minimalpolynom gelernt hat, dann steht an der Stelle sicher noch mehr zur Begründung der Diagonalisierbarkeit im Beweis als du hier wiedergegeben hast.

Mehr noch. Ich glaube mich zu errinnern, dass ein Projektor sowieso nur die Eigenwerte Null und Eins annehmen kann. Aber ganz sich bin ich mir da nicht.

Nun aber zurück zur linearen Algebra. Nun habe ich das Polynom $X^2-X$ welches sehr wahrscheinlich das Minimalpolynom ist.
Die Lösungen von $X^2-X=0$ sind Eigenwerte der Matrix, welche $p$ räpresentiert. Aber wie kann ich wissen, dass es wirklich das Minimalpolynom ist? d.H. dass mir keine weiteren Eigenwerte entgehen?

Selbst wenn ich wüsste, dass $X^2-X$ Das Minimalpolynom ist. Wieso genügt dies um die Diagonalisierbarkeit sicherzustellen? Weshalb müssen nicht die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten untersucht werden?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2020-06-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-27 16:48 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
[...], dass ein Endomorphismus genau dann diagonalisierbar ist, wenn dessen Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat.

$X^2-X$ ist nicht zwingend das Minimalpolynom von $p$. Aber da $p^2-p=0$ ist, ist $X^2-X$ auf jeden Fall ein Vielfaches des Minimalpolynoms von $p$.

Wiederhole am besten die Definition des Minimalpolynoms.
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29


Auf Wikipedia wird das minimale Polynom über einer $K$-Algebra definiert.

Später erfolgt eine weitere Definition, spezifisch für $\mathbb{C}_[n\times n]$. Diese lautet:

Das Minimalpolynom $p$ eine quadratischen $n\times n$ Matrix $A$ über einem Körper $K$ ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in $K$ Sodass $p(A)=0$

Soweit Wikipedia. Eigentlich wäre $p=0$  ein Polynom vom Grade Null.
Ich habe nochmals auf Wikipedia geschaut, Polynome Nullten Grades werden auch zu den Polynomen gezählt.
Wäre bei der Definition des Minimalpolynoms gemeint, dass der Grad mindestens 1 sein müsste?







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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2020-06-29


2020-06-29 17:11 - sulky in Beitrag No. 13 schreibt:
Eigentlich wäre $p=0$  ein Polynom vom Grade Null.

Nein, $p=1$ wäre ein Polynom vom Grade 0. Das Nullpolynom $p=0$ hat einen noch kleineren Grad. Man kann z.B. $\deg 0:=-\infty$ festlegen.

2020-06-29 17:11 - sulky in Beitrag No. 13 schreibt:
Wäre bei der Definition des Minimalpolynoms gemeint, dass der Grad mindestens 1 sein müsste?

In der Definition ist von normierten Polynomen die Rede. Das Nullpolynom ist nicht normiert.

Solche Spitzfindigkeiten vermeidet man übrigens mit der viel natürlicheren ersten Definition aus dem Wikipedia-Artikel: Man betrachtet die Abbildung, die einem Polynom $p\in K[X]$ die lineare Abbildung $p(A)$ zuordnet. Diese Abbildung ist ein Ringhomomorphismus, ihr Kern $\{p\in K[X]:p(A)=0\}$ somit ein Ideal in $K[X]$. Alle Ideale in $K[X]$ sind Hauptideale, also von der Form $\langle q\rangle=K[X]\cdot q$. Das Minimalpolynom von $A$ ist das normierte Polynom $q$ mit $\{p\in K[X]:p(A)=0\}=\langle q\rangle$.  Mit dieser Definition sieht man sofort, warum das Nullpolynom nicht in Frage kommt.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30


ok. Lassen wir uns nicht dadurch aufhalten.

$X^2-X$ ist also ein normiertes Polynom vom Grade 2 welches $P(p)=\vec{0}$ erfüllt. Ein Polynom ersten grades welches die Bedingung erfüllt kann es nicht geben.
Somit ist $X^2-X$ Minimalpolynom und die Nullstellen sind Eigenwerte von $p$

Ist aber dadurch bereits bewiesen dass ausser {0,1} keine weiteren Eigenwerte existieren?




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2020-06-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-06-30 12:20 - sulky in Beitrag No. 15 schreibt:
ok. Lassen wir uns nicht dadurch aufhalten.

$X^2-X$ ist also ein normiertes Polynom vom Grade 2 welches $P(p)=\vec{0}$ erfüllt.
Zur Sicherheit: Was bedeutet $\vec 0$ hier? Es ist nämlich nicht $P(p)\in V$.


Ein Polynom ersten grades welches die Bedingung erfüllt kann es nicht geben.
Doch, kann es. Z.B. wenn $p=\id_V$ oder $p=0$. (Das sind aber tatsächlich die einzigen Gegenbeispiele.)


Somit ist $X^2-X$ Minimalpolynom und die Nullstellen sind Eigenwerte von $p$
Diese Folgerung ist dann natürlich auch nicht mehr richtig. Es stimmt aber, dass alle Eigenwerte von $p$ auch Nullstellen von $X^2-X$ sein müssen.


Ist aber dadurch bereits bewiesen dass ausser {0,1} keine weiteren Eigenwerte existieren?
Versuch das doch mal das selbst zu beweisen.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30


Ja die Fälle $p=Id_V$ und $p=0_V$ sind mir entgangen.

Bevor ich aber nun zu knobeln beginne noch die Frage ob ich die Aufgabenstellung auch richtig verstanden habe?

Unabhängig von der Aufgabenstellung gilt:
Sei $P$ das Minimale Polynom von $A\in \mathbb{C}_{[n\times n]}$
Dann gilt: $\{\lambda \in \mathbb{C}|p(\lambda)=0\}= spectrum(A)$

ist das so richtig? Oder meinst du dass ich die Aussage nur für unsere Beispiel mit $X^2-X$ beweisen soll?



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2020-06-30 22:21 - sulky in Beitrag No. 17 schreibt:
Unabhängig von der Aufgabenstellung gilt:
Sei $P$ das Minimale Polynom von $A\in \mathbb{C}_{[n\times n]}$
Dann gilt: $\{\lambda \in \mathbb{C}|p(\lambda)=0\}= spectrum(A)$

ist das so richtig?
Das ist richtig.


Oder meinst du dass ich die Aussage nur für unsere Beispiel mit $X^2-X$ beweisen soll?
Kannst du machen, wie du willst. Am besten beides.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


Ich bin noch nicht soweit.

Hab mir nochmals Wikipedia angeschaut, dort steht:

Die Vielfachheit einer Nullstelle
λ {\displaystyle \lambda }
 von
p {\displaystyle p}
 ist die algebraische Vielfachheit....

Wenn nun auch noch diese Bedingung vom minimalPolynom verlangt ist, was genau ist denn noch der Unterschied zwischen dem Minimalpolynom und dem Charakteristischen Polynom? Ausser dass das Minimalpolynom normiert ist?

In unserem Falle mit dem Projektor $p^2=p$ ist der Grad des Minimalpolynomes 2. Da Aber p definiert ist auf einem Vektorraum der Dimension $n$ dann hat doch das Charakteristische Polynom auch den Grad $n$ oder verwechsle ich da gerade etwas?






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2020-07-01 12:43 - sulky in Beitrag No. 19 schreibt:
Die Vielfachheit einer Nullstelle
λ {\displaystyle \lambda }
 von
p {\displaystyle p}
 ist die algebraische Vielfachheit....
Das ist falsch. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes wird durch das charakteristische Polynom festgelegt, nicht durch das Minimalpolynom.



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sulky
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Ok, sei $X\in \mathbb{C}_{[n\times n]}$ und $P=aX^n+bX^{n-1}+...+q$ das Minimalpolynom von $X$.
weiter $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$  die zu $P$ gehörende Polynomfunktion sodass $p(x)=ax^n+bx^{n-1}+...+q$.

Sei nun $\vec{v}\in V$ ein Eigenvektor von $X$ zu ew $\lambda$.
Dann gilt: $0=P(X)=P(X)\vec{v}=(P(X)-q)\vec{v}+q\vec{v}=a\lambda^n \vec{v}+b\lambda^{n-1}\vec{v}+...+q\vec{v}-q\vec{v}=p(\lambda)\vec{v}=p(\lambda)$


Aber ich bin noch immer nicht am Ziel bezüglich unserem Beispile mit dem Projektor $p\circ p=p$. Um sicher zu sein dass p diagonalisierbar ist genügt es ja nicht die Nullstellen des Minimalpolynomes $X^2-X$ zu kennen. Die Nullstellen müssen auch noch nach geom. und alg. Vielfachheit untersucht werden.
Diesbezügliche Falschinformationen auf Wikipedia machen die Sache nicht einfacher.

Nun kenne ich alle Eigenwerte von $p$ wie geht es weiter um sicher zu sein dass $p$ diagonalisierbar ist?



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zippy
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2020-07-04 13:19 - sulky in Beitrag No. 21 schreibt:
Die Nullstellen müssen auch noch nach geom. und alg. Vielfachheit untersucht werden.

Nein, das müssen sie nicht. Der einfache Zusammenhang für einen Vektorraum über $\mathbb C$ lautet: "das Minimalpolynom ist quadratfrei $\iff$ der Operator ist diagonalisierbar" (und "quadratfrei" bedeutet dasselbe wie "alle Nullstellen sind einfach")



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


Hallo Zippy und nuramon,

Nun sind wir aber am entscheidenden Punkt angekommen.
Bisher dachte ich dass beim Minimalen Polynom einer Matrix immer alle Nullstellen Einfach sind. War ich hier in einem Irrtum?

wenn z.b. $P(X)=(X-X_1)^2(X-X_2)...(X-X_n)=0$ dann ist ja $p(X)=(X-X_1)(X-X_2)...(X-X_n)$ auch gleich Null und von kleinerm Grade als $P$ deswegen kann $P$ nicht minimalpolynom von $X$ sein.


Stimmt das so nicht?



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.24, eingetragen 2020-07-05


2020-07-05 21:54 - sulky in Beitrag No. 23 schreibt:
Stimmt das so nicht?

Nein, das stimmt nicht. Warum sollte denn – wenn ich die Matrix mal $A$ nenne – $p(A)=0$ sein?

Standard-Gegenbeispiel: $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Das Minimalpolynom von $A$ ist $P=X^2$ und für das Polynom $p=X$ gilt nicht $p(A)=0$.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.25, eingetragen 2020-07-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Das Minimalpolynom eines Endomorphismus kann auch mehrfache Nullstellen haben (immer dann, wenn der Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist).

Einfaches Beispiel:
Was ist das Minimalpolynom der Matrix $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.23 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-05


hmmm... Dann stimmt meine überlegung dann wenn $X$ eine komplexe Zahl ist, aber wenn $X\in \mathbb{C}_{n\times n}$ dann kann es sich unter Umständen anders verhalten?

Ist das so richtig?

Falls ja muss ich mir das kurz durch den Kopf gehen lassen...



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zippy
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2020-07-05 22:10 - sulky in Beitrag No. 26 schreibt:
Dann stimmt meine überlegung dann wenn $X$ eine komplexe Zahl ist

Das Minimalpolynom einer komplexen Zahl $z$ ist einfach $X-z$, also ein Polynom vom Grad 1.

Das hat tatsächlich nur einfache Nullstellen. Aber auch nur genau eine Nullstelle. Was dich bei deiner Überlegung auf die Idee bringt, dass sich die erste Eigenschaft (nur einfache Nullstellen) auf den allgemeinen Fall übertragen lässt, die zweite (genau eine Nullstelle) aber nicht, ist mir schleierhaft.



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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-06


In einem anderen Beispiel steht:

der Isomorphismus $\rho(g)$ von $V$ verschwindet durch das Polynom $X^{|G|}-1$ dessen Nullstellen alle einfach sind.

Nun wird in keinem Wort erwähnt dass $X^{|G|}-1$ das Minimalpolynom ist.
Und woran kann man so schnell erkennen, dass alle Nullstellen einfach sind?



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.29, eingetragen 2020-07-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-07-06 00:21 - sulky in Beitrag No. 28 schreibt:
der Isomorphismus $\rho(g)$ von $V$ verschwindet durch das Polynom $X^{|G|}-1$ dessen Nullstellen alle einfach sind.
Das folgt aus dem Satz von Lagrange.


Nun wird in keinem Wort erwähnt dass $X^{|G|}-1$ das Minimalpolynom ist.
Warum sollte man auch eine Aussage erwähnen, die nicht stimmt?


Und woran kann man so schnell erkennen, dass alle Nullstellen einfach sind?
Für das konkrete Polynom könntest du einfach die Nullstellen angeben.
Andere Methode: Eine Nullstelle $x_0$ eines Polynoms $p(x)\in\IC[x]$ ist genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn auch $p'(x_0)=0$ gilt. ($p'$ ist die (formale) Ableitung von $p$.)
\(\endgroup\)


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sulky
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-07


hmmm... Ich kann leider noch immer nicht erkennen wie man auf die Diagonalisierbatkeit eines Endomorphismuses kommt.

Ihr kennt da einen Satz, der mir irgendwo im bisherigen Studium irgendwie entgangen ist.

Wie heisst dieser Satz und wo finde ich Ihn?

Ich stelle mir den Satz irgendwie so vor:

Sei $P:\mathbb{C}_{[n\times n]} \to \mathbb{C}_{[n\times n] }$ eine Polynomfunktion vom Grade n und $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ eine Polynomfunktion, welche koeffizientengleich zu $P$ ist.
Sei $q$ ein Endomorphismus und $X\in \mathbb{C}_{n\times n}$ die Matrix, welche $q$ repräsentiert.
Wenn $P(X)=\vec{0}$ und n verschiedene Nullstennlen von $p$ existieren, dann ist $q$ diagonalisierbar.


Irgend so etwas in dieser Art.
Wie geht der Satz richtig? Wie heisst er, wo finde ich Ihn?




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zippy
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2020-07-07 12:27 - sulky in Beitrag No. 30 schreibt:
Wie geht der Satz richtig?

Ich habe ihn dir doch schon zweimal (in den Beiträgen 9 und 22) hingeschrieben. Eine Formulierung, in der es keine Rolle spielt, dass es um einen Vektorraum über $\mathbb C$ geht, lautet:

Ein linearer Operator ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt und quadratfrei ist.

Und da für einen Operator $A$ alle Polynome $p\ne0$ mit $p(A)=0$ Vielfache seines Minimalpolynoms sind, folgt daraus als Korollar:

Ein linearer Operator $A$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn ein Polynom $p\ne0$ mit $p(A)=0$ existiert, das in Linearfaktoren zerfällt und quadratfrei ist.

Über $\mathbb C$ kann man den "in Linearfaktoren zerfallen"-Teil weglassen, da das dort ohnehin jedes Polynom tut.

Um diesen Satz zu finden, reicht es, nach den Stichworten "minimal polynomial" und "diagonalizable" zu googlen. Man wird dann z.B. hier in Theorem 4.11 fündig.



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Nuramon
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
2020-07-07 12:27 - sulky in Beitrag No. 30 schreibt:
hmmm... Ich kann leider noch immer nicht erkennen wie man auf die Diagonalisierbatkeit eines Endomorphismuses kommt.

Ihr kennt da einen Satz, der mir irgendwo im bisherigen Studium irgendwie entgangen ist.

Wie heisst dieser Satz und wo finde ich Ihn?

Wie fett muss ich den Satz denn noch schreiben... Aber hier noch einmal (die Aussage gilt über $\IC$, für die allgemeinere Version siehe No.31) :
2020-06-27 16:48 - Nuramon in Beitrag No. 5 schreibt:
[...], dass ein Endomorphismus genau dann diagonalisierbar ist, wenn dessen Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat.
Einen Beweis solltest du in jedem guten Buch über Lineare Algebra finden. Einfach mal unter den Stichwörtern Minimalpolynom bzw. Diagonalisierbarkeit nachschlagen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.30 begonnen.]
\(\endgroup\)


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sulky
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Hallo Zippy und Nuramon,

Irgendwie habe ich tatsächlich eine spezielle Begabung diesen Satz zu übersehen *lach*

Ja genau. Das wurde bereits mehrfach gesagt.

Ich muss mir das mal in Ruhe anschauen denn für den moment beschäftigt mich folgende Frage:


Seit frühster Schulzeit wissen wir z.B. dass $x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
In unserem Beispiel ist aber $x\in V$ und $a,b \in K$.

Weil die Addition von Körperelement mit Vektor nicht definiert ist,
ist mir der Ausdruck $(a+\vec{X})$ unklar.

Auch die fehlende Kommunitativität gibt Rätsel auf. Für das mittlere Glied hätte man:
$aX+Xb=?=(a+b)X$

Aber nun lese ich erst mal den Link welchen Zippy angefügt hat.



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sulky
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Ja, beim Beweis von Theorem 4.11 stecke ich genau dort fest.

Beim Minimalpolynom sind doch definitionsgemäss die Koeffizienten Körperelemente.

Ich bin unsicher ob ich das englische Wort "split" korrekt verstanden habe.
Ist hiermit Faktorisierung gemeint?




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zippy
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2020-07-07 21:57 - sulky in Beitrag No. 33 schreibt:
In unserem Beispiel ist aber $x\in V$ und $a,b \in K$.

Nein, für $X$ wird kein Vektor aus $V$ eingesetzt, sondern ein linearer Operator $V\to V$.

Wenn man für die Unbestimmte eines Polynoms über einem Ring $k$ (in unserem Fall ist $k=\mathbb C$) etwas einsetzen will, muss das Ding auch aus einem kommutativen Ring stammen, und zwar aus einem, in den sich $k$ einbetten lässt. Der Vektorraum $V$ ist überhaupt kein Ring, der Unterring des Endomorphismenrings von $V$, der von einem linearen Operator erzeugt wird, aber schon, und die Einbettung ist die Abbildung $k\mapsto k\cdot\rm Id$. Das löst auch dein Problem, was beim Einsetzen aus einem Ausdruck wie $a+X$ wird.

2020-07-07 22:14 - sulky in Beitrag No. 34 schreibt:
Ich bin unsicher ob ich das englische Wort "split" korrekt verstanden habe.

Genau 5 Zeilen vor dem Theorem wird dieser Begriff in dem Satz "We say a polynomial in $F[T]$ splits if ..." definiert.



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sulky
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Ja klar. Der Begriff Vektor ist hier falsch.
Aber ein linearer Operator wird ja in der Regel durch eine Matrix repräsentiert.
Da war ich gedanklich zu fest im $\mathbb{C}_{[n\times n]}$.

Das andere habe ich fast vollständig verstnden. Lediglich:


Wenn man für die Unbestimmte eines Polynoms über einem Ring $k$ (in unserem Fall ist $k=\mathbb C$) etwas einsetzen will, muss das Ding auch aus einem kommutativen Ring stammen,

lineare Operatoren werden dich i.R. durch quadratische Matrizen reprästentiert. Ist hier in jedem Falle die Kommuntativität gegeben?



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zippy
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2020-07-07 23:36 - sulky in Beitrag No. 36 schreibt:
lineare Operatoren werden dich i.R. durch quadratische Matrizen reprästentiert. Ist hier in jedem Falle die Kommuntativität gegeben?

Nein, aus diesem Grunde ist der relevante Ring auch nicht der volle Endomorphismenring (dem es an Kommutativität mangelt), sondern:

2020-07-07 22:45 - zippy in Beitrag No. 35 schreibt:
der Unterring des Endomorphismenrings von $V$, der von einem linearen Operator erzeugt wird

Da ein linearer Operator mit sich selbst vertauscht, ist dieser Unterring kommutativ.



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So, Nun habe ich wirklich verstanden, weshalb dieser lineare Operator diagonalisierbar ist.

Vielen, vielen Dank Nuramon und Zippy



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