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Analysis » Grenzwerte » Grenzwerte trigonometrischer Funktionen
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Universität/Hochschule Grenzwerte trigonometrischer Funktionen
mathernst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-28


Hallo zusammen,

ich habe ein Problem, ich soll bei Folgender Funktion den Grenzwert berechnen:

Limes(x->pi) von (sin(x)^2)/(1+cos(x)^3)

Leider darf ich L`Hospitals Regel nicht verwenden und durch Umstellen krieg ich den richtigen Weg nicht herraus.

Vielen Dank schonmal,

Liebe Grüße, mathernst




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-28


Hallo

Ich würde hier Poternzreihen verwenden.

Gruß caban



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Ixx
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-28


Ich würde mal 1+cos(x) kürzen...




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-28


Hallo

Eine einfachere Alternative ist es den Nenner mit dem trigonometrischen Pythagoras zu ersetzen und dann Zähler und Nenner zu faktorisieren.

Gruß Caban

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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mathernst
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-28


ah okay.
Ja, die Idee mit dem trigonometrischen Pythagoras hatte ich auch schon.
Doch wie kann ich danach so faktorisieren, dass ich etwas kürzen kann?




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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Der zielführende Tipp hier ist der von Ixx in Beitrag #2. Um den umzusetzen nutze im Zähler (nach der Anwendung des trigonometrischen Pythagoras, den du noch nach \(\sin^2x\) auflösen müsstest) die dritte binomische Formel und im Nenner eine bekannte Faktorisierung für den Term \(1+x^3\). Diese zu finden, überlasse ich dir jetzt aber. 🙂

@Caban (folgender Beitrag):
Im Nenner steht aber keine Differenz...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-28


fed-Code einblenden
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-28


Hallo Caban,

2020-06-28 20:29 - Caban in Beitrag No. 6 schreibt:
fed-Code einblenden

Stimmt. Ist aber etwas umständlich.


Gruß, Diophant



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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-28


Hallo

Bei mir kürzt sich cos(x)+1 raus. 0/ 0 gibt es dann nicht mehr.


Gruß Caban



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-29


Huhu,

2020-06-28 18:03 - Caban in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine einfachere Alternative ist es den Nenner mit dem trigonometrischen Pythagoras zu ersetzen und dann Zähler und Nenner zu faktorisieren.

über Reihenentwicklung ist es doch auch ein Witz. Ich würde den Grenzwert vorher noch etwas modifizieren:

\(\displaystyle \lim_{x\to \pi} \frac{\sin^2(x)}{1+\cos^3(x)}=\lim_{t\to 0} \frac{\sin^2(t)}{1-\cos^3(t)}=\lim_{t\to 0} \frac{\sin^2(t)}{t^2}\cdot \frac{t^2}{1-\cos^3(t)}\)

Der erste Faktor geht offensichtlich gegen 1, und der zweite Faktor mit Reihenentwicklung ist \(\frac{t^2}{1-\left(1-\frac{3}{2}t^2+\mathcal{O}(t^4)\right)}\).

Gruß,

Küstenkind



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