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Analysis » Stetigkeit » Transpositionsabbildung stetig
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Universität/Hochschule J Transpositionsabbildung stetig
tobias150801
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  Themenstart: 2020-06-29

Hallo, ich soll zeigen dass die Transpositionsabbildung \( \mathbb{K}^{p\times m} \to \mathbb{K}^{m \times p} \) , \(A \mapsto A^T\) stetig ist. Wie gehe ich da überhaupt ran? Habe keinen wirklichen Ansatz. Viele Grüße


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Rathalos
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  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-29

Hi tobias150801, Hattet ihr schon gezeigt, dass lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen stetig sind? Wenn ja zeige einfach, dass die Abbildung linear ist. Ansonsten schreibe doch erstmal die Definition der Stetigkeit für die Abbildung hin und versuche dies zu zeigen bzw. wo genau dann dein Problem liegt.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-29

Hallo tobias150801, trage die benötigten Werkzeuge (=Definitionen) zusammen und lege los. mfg thureduehrsen [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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tobias150801
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29

Hallo Rathalos, leider hatten wir diesen Satz noch nicht. Das einzige was ich aus meinem Skript entnehmen kann ist, dass die gewählte Norm beliebig gewählt werden darf, da alle Normen im K^{p,m} äquivalent sind und dass da wohl der Trick drin liegt. Selbst bei der Definition bin ich mir nicht sicher: Ich muss doch zeigen, dass \(\left\lVert A_n^T-A^T\right\rVert\to 0\) für \(n\to\infty\) Ein Satz lautet: \(L:(E,\left\lVert\cdot\right\rVert)\to(\mathbb{K}^{p\times m},\left\lVert\cdot\right\rVert)\) ist stetig genau dann wenn für jedes k=1,...,p und j=1,...,m die Funktion \(f_{k,j}:(E,\left\lVert\cdot\right\rVert)\to(\mathbb{K},|\cdot|), f(x)=(L(x))_{k,j}\), die jedem x den k,j- Eintrag von L(x) zuordnet, stetig auf E ist. Wie gesagt, bin mir selbst bei der Definition gerade unsicher, da das ja Matrizen sind.. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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Rathalos
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  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-29

Hallo tobias150801, Die Definition ist eigentlich Analog zum eindimensionalen Fall, dh \(\forall \epsilon > 0 \exists \delta >0:\forall A,B\) \[||A-B|| < \delta \implies \hspace{1cm} ||A^T-B^T|| < \epsilon\]. Dies ist zuzeigen, natürlich kannst du auch es mit deiner Folgendefinition versuchen. Nun wäre ja eine Abschätzung der Form \(||A^T-B^T|| < a \cdot ||A-B||\) wünschenswert, damit du das Delta bestimmen kannst, oder ausnutzen kannst, dass \(||A_n-A|| \rightarrow 0\) bei deiner Folgendefinition. Daher wäre der nächste Schritt mal nachzuschauen, welche Normen es gibt und wie du ||A^T|| in dieser berechnest? (Hinweiß: \(||A^T|| = ||A||\) gilt bei manchen Normen)


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tobias150801
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-29

Ah, hatte diese Definition als gleichmäßige Stetigkeit verbucht gehabt. Ok, das macht Sinn das so zu definieren. Dann könnte ich doch folgendes sagen: \(\delta:=\epsilon\) \( \left\lVert A^T-B^T \right\rVert=\left\lVert(A-B)^T\right\rVert=\left\lVert A-B\right\rVert<\delta=\epsilon \) Natürlich muss ich hier noch die von dir angesprochene Metrik finden. Als Idee käme mir die Spalten/Zeilen-Summennorm (bzw. Maximumsnorm) Vielen Dank und Viele Grüße


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tobias150801
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30

Nur zur Rückmeldung, mit der Frobeniusnorm sollte das eig klappen und habe jetzt damit bewiesen. Nochmals vielen Dank und Liebe Grüße.


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Nuramon
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  Beitrag No.7, eingetragen 2020-06-30

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\) \quoteon(2020-06-29 16:36 - tobias150801 in Beitrag No. 5) Ah, hatte diese Definition als gleichmäßige Stetigkeit verbucht gehabt. \quoteoff Damit lagst du auch richtig. Für Stetigkeit gehört der $\forall A$-Quantor an den Anfang (damit darf dann also $\delta$ auch von $A$ abhängen).\(\endgroup\)


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