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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » e*pi ist irrational (Beweis)
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Universität/Hochschule J e*pi ist irrational (Beweis)
Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-29 23:24


Liebes Matheforum

Ich habe beim Grübeln über meinen Analysisunterlagen festgestellt, dass sich mit gewissen Überlegungen (siehe unten) der Logarithmus einer negativen Zahl berechnen lässt.


Behauptung 1: \(\ln(-1)=\mathrm{i}\pi\).
Beweis: Mit der Eulerschen Identität
\[
        \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0
\] gilt
\[
            \ln(-1)
            = \ln(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi})
            = \mathrm{i}\pi.
\]
Damit habe ich dann das Folgende angestellt:

Behauptung 2: \(\mathrm{e}\cdot\pi\) ist irrational.
Beweis:
\[
        \begin{align*}
            \mathrm{i}\pi
            &= \ln\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\right) \\
            &= \ln(-1) \quad\color{red}{\text{, wegen der Eulerschen Identität.}} \\
            &= \ln(\mathrm{i}^2) \quad\color{red}{\text{, nach Definition der imaginären Einheit.}} \\
            &= 2\ln(\mathrm{i}) \quad\color{red}{\text{, wegen den Logarithmengesetzen.}} \\
            &\\
            \implies \pi &= \frac{2\ln(\mathrm{i})}{\mathrm{i}} \quad\color{red}{\text{, durch Division beider Seiten durch $\mathrm{i}$.}}
        \end{align*}
\]
Angenommen, \(\mathrm{e} \cdot \pi\) wäre eine rationale Zahl. Dann liesse sie sich schreiben als Quotient
\[
    \begin{align*}
        \mathrm{e} \cdot \pi = \frac{a}{b}
    \end{align*}
\] mit \(a \in \mathbb{Z}\) und \(b\in\mathbb{N}\backslash\{0\}\). Mit den vorherigen Überlegungen folgte sogleich
\[
    \begin{align*}
        \mathrm{e} \cdot \frac{2\ln(\mathrm{i})}{\mathrm{i}} &= \frac{a}{b} \\
        2\mathrm{e}b\ln(\mathrm{i}) &= a\mathrm{i} \quad\color{red}{\text{, durch Multiplikation beider Seiten mit \(\mathrm{i}b\).}}\\
        \ln\left(\mathrm{i}^{2\mathrm{e}b}\right) &= a\mathrm{i} \quad\color{red}{\text{, wegen den Logarithmengesetzen.}}\\
        \ln\left((\mathrm{i}^2)^{\mathrm{e}b}\right) &= a\mathrm{i} \quad\color{red}{\text{, wegen den Potenzgesetzen.}}\\
        \ln\left((-1)^{\mathrm{e}b}\right) &= a\mathrm{i} \quad\color{red}{\text{, nach Definition der imaginären Einheit.}}\\
        (-1)^{\mathrm{e}b} &= \mathrm{e}^{a\mathrm{i}} \quad\color{red}{\text{, durch Exponentierung beider Seiten.}}\\
        (-1)^{2\mathrm{e}b} &= \mathrm{e}^{2a\mathrm{i}} \quad\color{red}{\text{, durch Quadrieren beider Seiten.}}\\
        \left((-1)^2\right)^{\mathrm{e}b} &= \mathrm{e}^{2a\mathrm{i}} \quad\color{red}{\text{, wegen den Potenzgesetzen.}}\\
        1^{\mathrm{e}b} &= \mathrm{e}^{2a\mathrm{i}} \quad\color{red}{\text{, weil $(-1)^2=1$.}}\\
        \mathrm{e}^0 &= \mathrm{e}^{2a\mathrm{i}} \quad\color{red}{\text{, weil $1^{\mathrm{e}b}=1=\mathrm{e}^0$.}}\\
        0 &= 2a\mathrm{i} \quad\color{red}{\text{, weil die Exponentialfunktion injektiv ist.}}\\
        0 &= a \quad\color{red}{\text{, durch Division beider Seiten durch $2\mathrm{i}$.}}
    \end{align*}
\] Also resultiert
\[
    \begin{align*}
        \mathrm{e}\cdot \pi &= \frac{a}{b} = \frac{0}{b} = 0,
    \end{align*}
\] was wegen \(\mathrm{e}\neq0\neq\pi\) unmöglich ist.


Gerne wüsste ich, ob das legitim ist, was ich hier getan habe, denn ich hatte noch keine komplexe Analysis an der Uni und meinte eigentlich mal, der Logarithmus existiere nur für positiven reellen Input...

Danke im Voraus!😁



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-30 00:07


Hallo,

so wie es da steht ist es illegitim.

Die "Logarithmusrechenregeln" aus den reellen Zahlen gelten im komplexen nicht notwendigerweise.
Insbesondere ist $r \ln (a) = ln(a^r)$ im Allgemeinen nicht erfüllt.
Ferner ist die komplexe Exponentialfunktion nicht injektiv($1=exp(0)=exp(2\pi i)=exp(4\pi i)=\ldots $)



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-30 08:59


Es ist außerdem bislang noch ungelöst, ob $e \pi$ irrational ist.


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The difference between the novice and the master is that the master has failed more times than the novice has tried. ~ Koro-Sensei



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2020-06-30 11:07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}\)
Ein weiteres Indiz dafür, dass dein Beweis wohl nicht stimmen kann: Setze mal $a=e \pi$ und $b=1$ und verfolge die einzelnen Beweisschritte. Wenn am Ende ein Widerspruch herauskommt, kann dieser nicht von der Annahme $e\pi = \frac ab$ kommen.
\(\endgroup\)


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2020-06-30 16:57


2 Denkfehler:

a) es gibt unendlich viele Variablen a & b, die als Quotient Pi*e ergeben ; entscheidend ist, dass a und b nicht gleichzeitig ganzzahlig sein dürfen

b) mit Konstruktionen wie
1 = irgendwas^(0*irgendwas)
kann man fast jede Gleichung "kaputt" machen

Einen gültigen Beweis für die Irrationalität von Pi*e findet man unter hier

Da werden 2 ganzzahlige monoton steigende Zahlenfolgen iterativ gebildet, die als Bruch im UNENDLICHEN gegen Pi*e konvergieren.

lim Zaehler(n)/Nenner(n) = Pi*e mit n -> inf

Beispiel bei Index 31 und 21:
(22526049624551*3587785776203)/(8286870547680*1142027682075)
weicht 8*10^(-25 ) von Pi*e ab.

Das Wort UNENDLICH bedeutet "nie enden" oder anders: es gibt keine 2 endlichen Zahlen, die als Bruch Pi*e ergeben können.

Wäre Pi*e durch ein Bruch darstellbar,
- würde sich schon "vor unendlich was einschwingen" (immer wieder würde sich das selbe kürzen)
- oder die beiden Folgen würden nicht mehr monoton steigen
 
Für Pi geht das einfacher. Unter §6 gibt es Beispiele für mehrere ganzzahlige ansteigende Bruch-Folgen, die gegen Pi konvergieren.



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2020-06-30 17:10


@hyperG: Lies dir doch bitte den Beitrag von Kezer durch. Wie "grandios" dein Autor ist, kannst du hier nachlesen.

Gruß,

Küstenkind



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2020-06-30 17:50


Habe etwas recherchiert.

N. A. Carella (den ich bis heute nicht kannte) hat seit 2005 73 verschiedene Artikel bei arXiv hochgeladen, je zur Hälfte in den Kategorien GM und NT (hier). Wer GM als Hauptkategorie hat, wird nur von den Moderatoren in andere Kategorien (hier NT) gesteckt. Es dürfte daher nicht nur Unsinn sein. Seine Beweise können aber trotzdem alle falsch sein, da arXiv ein Preprintserver ist und verständlicherweise kein Reviewprozess stattfindet. Er hat bisher einen Artikel veröffentlicht: "The Primitive Root 2 And The Generalized Artin Conjecture" im European Journal of Pure and Applied Mathematics 2015 (hier). Autoren müssen allerdings bei diesem Journal bezahlen. "Author Fees: Fast Track Review: 250.00 (USD), Article Publication: 400.00 (USD)." Das ist immer fragwürdig.

Carella kann für math.GM. "endorsen". Sollte sich der ein oder andere merken.😉

Gruß, Slash


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Bound to be disappointing so why wait?



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Phoensie
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2020-06-30 18:12


2020-06-30 00:07 - qwertzusername in Beitrag No. 1 schreibt:
Insbesondere ist $r \ln (a) = ln(a^r)$ im Allgemeinen nicht erfüllt.
Ferner ist die komplexe Exponentialfunktion nicht injektiv($1=exp(0)=exp(2\pi i)=exp(4\pi i)=\ldots $)

Merci für die einleuchtenden Erläuterungen und Artikel. Da bin ich wohl voreilig unterwegs gewesen mit den Logarithmengesetzen...

Kennt ihr allenfalls Irrationalitätsbeweise ähnlich komplexer Art dem, was ich probiert habe (abgesehen von sqrt(2), sqrt(3) u.ä. die wir in Analysis I angeschaut haben), die sich durch eine solche direkte „Berechnung“ beweisen liessen? Oder so was wie, dass i^i reell ist (finde ich auch einen coolen kleinen Beweis). Denn, obwohl sich Fehler in meinem Entwurf versteckten, fand ich doch eigentlich den Weg dorthin „elegant“, da ich keine allzu komplizierten Konstruktionen brauchte und legidlich an den Umformungen gescheitert bin, die für andere Szenarien vielleicht hinhauen.

Zu e*π werde ich mich mal noch ein wenig umsehen, und zu verstehen versuchen, was ihr alle mir für Input gegeben habt. Toll, dass ihr so konstruktives Feedback gebt, ihr seid klasse!

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2020-06-30 18:20


Bei wikipedia steht nur, dass der Beweis vorgelegt wurde. Ob er nun anerkannt wird, ist eine andere Sache, auf die ich nicht näher eingehen will.
Ich fand es auch viel zu kompliziert/umständlich & will hier meinen eigenen Beweis vorlegen:


E = Limit[Product[(n^2 + k)/(n^2 - k), {k, 1, n}], n -> Infinity]
2 Produkte-Zerlegung:
Product[(n^2 + k), {k, 1, n}] = (n + n^2)!/(n^2)!        {oben}
Product[(n^2 - k), {k, 1, n}] = Gamma(n^2)/Gamma(n^2-n)  {unten}

Pi=lim 16^x*(x!)^4/(x*((2x)!)²)
zusammen Produkt beider:
mathematica
Limit[(16^n n!^4 ((n-1) n)! (n (1+n))!)/((n-1) (2 n)!^2 (n^2)!^2),n->\[Infinity]]
Ergebnis: Pi*E

Hier die beiden monoton ansteigenden Zahlenfolgen von Zähler(n) und Nenner(n):


Wir haben hier analog zu Pi 2 stark monoton anwachsende Zahlenfolgen aus ganzen Zahlen, die erst im UNENDLICHEN (also NIE für konstante endliche Zahlen) als Bruch den Grenzwert Pi*e ergeben.
Zwar kann man immer die Nullen am Ende kürzen, aber es wird sich aus endlich großen ganzen Zahlen nie ein Bruch formen lassen.

Gegenvorschläge, Fehler, fehlt noch was...?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2020-06-30 18:35


Oder muss man für einen Beweis aus "beiden Richtungen" zum Grenzwert kommen?

für n=500 ist der Näherungsbruch um
0.02138177403591 zu groß (man nähert sich dem Grenzwert "von oben").

Wird also noch eine Bruch-Funktion "von unten" benötigt, da man ja einen Grenzwert von 2 Seiten her ansteuern kann und ein "vermuteter Bruch" auf der anderen Seite liegen könnte?



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Kezer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2020-06-30 18:35


Zu kompliziert? Solche Fragestellungen sind nicht so einfach... Siehe auch MO/40145.

2020-06-30 18:20 - hyperG in Beitrag No. 8 schreibt:
Wir haben hier analog zu Pi 2 stark monoton anwachsende Zahlenfolgen aus ganzen Zahlen, die erst im UNENDLICHEN (also NIE für konstante endliche Zahlen) als Bruch den Grenzwert Pi*e ergeben.
Zwar kann man immer die Nullen am Ende kürzen, aber es wird sich aus endlich großen ganzen Zahlen nie ein Bruch formen lassen.


Ich weiß nicht, was du da machst, aber sowas ist nicht zielführend. Die Folge $0.9, 0.99, 0.999, \dots$ ist auch ein Bruch streng monoton wachsender Folgen mit Limes $1$, aber $1$ ist rational.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2020-06-30 19:27


Ja, ich weiß was Du meinst:
(10^n-1)/10^n oder aus der anderer Richtung (10^n+1)/10^n
aber das sind "triviale Funktionen", wo man den "primitiven Grenzwert"
schon mit bloßem Auge erkennt.

Ich habe allerdings auch noch nicht einen Beweis gefunden,
a) ab wann eine Zähler- & Nenner-Funktion "kompliziert" genug ist
b) ein Grenzwert keine Zeichen von "Periode" aufzeigt
c) ob nicht die beiden Beweise der Faktoren Pi & e mit deren anerkannten LIM-Funktionen aus ganzzahligen Bruch-Folgen
- oder erst alle 3 Randbedingungen zusammen ausreichen

Ich kenne jedenfalls keinen einzigen Fall, wo bei Erfüllung von a) bis c) ein Bruch als Grenzwert herausgekommen wäre.

Die andere Richtung meiner Grenzwert-Näherungsfunktion lautet:
(16^n n!^4 ((-1+n) n)! (n (1+n))!)/((n+1) (2 n)!^2 (n^2)!^2)
und nähert sich von unten:
100: -0.063670053399
900: -0.0071117291605



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