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Physik » Mathematische Physik » Wieso wird bei Lagrange-Fkt. ein Vektor scheinbar wie eine einfache Ableitungsvariable betrachtet?
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Universität/Hochschule J Wieso wird bei Lagrange-Fkt. ein Vektor scheinbar wie eine einfache Ableitungsvariable betrachtet?
Sambucus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-06-30


In kartesischen Koordinaten gilt für die Lagrange Funktion im dreidimensionalen Raum $L=(\vec r, \dot{\vec r}, t)$ mit $\vec r = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$

Sei $T$ die kinetische Energie, für ein nicht relativistisches freies Teilchen in einem abgeschlossenen System ist dann: $L=T=\frac{m}{2}\dot{\vec r}^2 $, da das Potential für ein freies Teilchen gleich null ist.

Okay, jetzt muss man unter Anderem für die Euler-Lagrange-Gleichung folgendes Berechnen: $\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec r}}= \nabla_{\dot{\vec r}} L$ und $\frac{\partial L}{\partial \vec r}=\nabla_{\vec r} L$

--------
Hinweis:
Ich weiß nicht ob die Notation $\nabla_{\dot{\vec r}} $ korrekt ist? Damit meine ich dass nach den einzelnen Komponenten von $\dot r_1,\dot r_2,\dot r_3$ partiell abgeleitet wird, also $\nabla_{\dot{\vec r}} L = \begin{pmatrix}\frac{\partial L}{\partial \dot r_1}\\\frac{\partial L}{\partial \dot r_2}\\\frac{\partial L}{\partial \dot r_3}\end{pmatrix}$.
Nach diesem Schema gilt dann analog:

$\nabla_{\vec r} L = \begin{pmatrix}\frac{\partial L}{\partial  r_1}\\\frac{\partial L}{\partial  r_2}\\\frac{\partial L}{\partial  r_3}\end{pmatrix}$.

-------------

Weiter mit der eigentlichen Frage, warum gilt folgendes?

i) $\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec r}}=\frac{\partial }{\partial \dot{\vec r}}\frac{m}{2}\dot{\vec r}^2 = m\dot{\vec r}$

ii) $\frac{\partial L}{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial \vec r}\frac{m}{2}\dot{\vec r}^2 = 0$


Hier wird abgeleitet, als wenn $r$ einfach irgendeine eindimensionale Variable wäre und kein Vektor.
Als wenn man bei einer differenzierbaren Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto f(x)$, einfach nur $\frac{df}{dx}$ berechnet.

Warum kann man das hier so extrem abkürzen? Könnte es nicht sein, dass zum Beispiel $\frac{\partial \dot{\vec r}^2}{\partial r_1} \neq 0 $ gilt?

Mir fällt dafür zwar gerade kein Beispiel ein, aber auch kein formulierbares Argument, warum das nicht gelten kann...

Oder verstehe ich etwas komplett falsch?



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-06-30

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Hallo Sambucus,

es ist $\dot{\vec r}=(\dot r_1,\dot r_2,\dot r_3)$. Die Komponenten werden alle jeweils als unabhängige Variable behandelt. Bei der partiellen Ableitung nach $r_1,r_2,r_3$ wirken sie deshalb wie Konstanten, es kommt also jedes mal 0 raus. So wie im eindimensionalen Fall auch $\frac{\partial \dot r}{\partial r}=0$ ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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Orangenschale
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2020-06-30

\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Sambucus,

ich kenne die Notation $\frac{\partial L}{\partial \vec r}$ noch aus der Experimentalphysikvorlesung, aber ehrlich gesagt finde ich das keinen guten Stil, weil es eben zu solchen Verwirrungen kommen kann.

In der Regel schreibt man auch nicht $\vec r = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$, sdondern $\vec r = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$.
Der Grund ist, dass $r_i$ häufig für den Betrag eines Vektors $\vec r_i$ verwendet wird.

Zudem werden die meisten Rechnungen deutlich einfacher und übersichtlicher wenn man die Summenkonvention verwendet. Vielleicht nicht gerade bei diesen leichten Aufgaben, aber definitiv wenn z.B. Kreuzprodukte, Rotationen, Divergenzen und Gradienten vorkommen, wie in der Elektrodynamik. Ich würde dir sehr empfehlen, dich mit dieser Notation vertraut zu machen, da sie viele Dinge so extrem vereinfacht.  
 

Als Beispiel würde ich zum Beispiel die erste Aufgabe so lösen (sehr ausführliche Erklärung!!):
(i) $L=\frac12 m \vec {\dot r}^2$
Umschreiben unter Zuhilfenahme von Summen, also $\vec {\dot r}^2 = \sum_{i=1}^3 {\dot x_i}^2 $ was man mit der Summenkonvention noch weiter vereinfachen kann zu $\vec {\dot r}^2=\dot x_i \dot x_i$, wobei bekanntlich über doppelte Indizes summiert wird. Das ist der einzige Grund (!) warum wir nicht ${\dot x_i}^2$ schreiben sondern $\dot x_i \dot x_i$. Die Lagrangefunktion kann man also auch schreiben als
$$ L=\frac12 m \dot x_i \dot x_i\,.
$$
Wollen wir nun die Bewegungsgleichungen bestimmen, also die Differentialgleichungen für die drei Koordinaten $x_i$, dann können wir das nun in einer Zeile erledigen. Die Bewegungsgleichung im Lagrangeformalismus ist gegeben durch
$$ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i}-\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0
$$ Berechnen wir nun was gefragt ist:
$$ \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} = \frac{\partial }{\partial \dot x_i} \left(\frac12 m \dot x_j \dot x_j\right) = \frac12 m (\delta_{ij} \dot x_j + \dot x_j \delta_{ij}) = m\dot x_i
$$ Drei Dinge sollten dir auffallen:
(1) Ich habe den Index $i$ in der Lagrangefunktion durch $j$ ersetzt, weil wir nach $\dot x_i$ ableiten wollen, und somit der Index $i$ schon vergeben war.
(2) Beim Ableiten des Produkts $\dot x_j \dot x_j$ habe ich einfach die Produktregel verwendet
(3) Für die partielle Ableitung gilt $\frac{\partial \dot x_j}{\partial \dot x_i} = \delta_{ij}$. Diese Relation kannst du dir leicht klar machen.

Ansonten wird über doppelte Indizes summiert, deswegen liest man z.B. in obiger Gleichung $\delta_{ij}\dot x_j$ immernoch als Summe über $j$, aber nicht über $i$ (dieser Index ist fest vorgegeben). Demnach $\delta_{ij}\dot x_j = \sum_{j=1}^3 \delta_{ij}\dot x_j = \dot x_i$.

Die zweite Aufgabe ist trivial, da die Lagrangefunktion nicht vom Ort sondern nur von den Geschwindigkeiten abhängt.

Das war jetzt vielleicht mit Kanonen auf Spatzen geschossen, aber ich wollte die Gelegenheit nutzen dir zu zeigen, wie man solche Aufgaben mit einer geschickten Konvention (Summenkonvention) effizient lösen kann und wie man mit diesem Handwerkzeug sehr gut auch für schwerere Probleme gerüstet ist.

Viele Grüße
OS


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If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress.

P.A.M. Dirac
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Sambucus
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Hallo, danke an euch beide für die jeweils hilfreiche Antwort ! :)


2020-06-30 15:39 - Orangenschale in Beitrag No. 2 schreibt:

Zudem werden die meisten Rechnungen deutlich einfacher und übersichtlicher wenn man die Summenkonvention verwendet. Vielleicht nicht gerade bei diesen leichten Aufgaben, aber definitiv wenn z.B. Kreuzprodukte, Rotationen, Divergenzen und Gradienten vorkommen, wie in der Elektrodynamik. Ich würde dir sehr empfehlen, dich mit dieser Notation vertraut zu machen, da sie viele Dinge so viel extrem vereinfacht.  


Den Tipp werde ich mir für die Vorbereitung auf das nächste Semester merken.

@Orangenschale Vielen Dank dass du dir so viel Mühe gemacht hast, deine Antwort war sehr informativ und gut strukturiert!

Gruß Sambucus



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