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 Implizite Funktionen, Gleichungssystem |
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EuskiPeuski712
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 91
 |  Themenstart: 2020-07-01
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Hallo Leute,
ich habe ein Problem beim Verständnis folgender Aufgabe:
Ist das System
x^3+y^3+z^3-1=0
xyz+1=0
in einer Umgebung des Punktes (1,-1,1) eindeutig nach y und z auflösbar ? Wenn ja berechnen sie ggf. y'(1) und z'(1)
Wahrscheinlich habe ich ein kleines Verständnisproblem. Ich bin mir mit der Formulierung "eindeutig nach y und z auslösbar" etwas unsicher. Ich bin so vorgegangen, dass ich das System nach (y,z) auflöse und somit eine Funktion g(x)=(y,z) finde. Alles andere würde auch keinen Sinn machen (zumindest nach meinem Verständnis) oder was meint ihr ?
Nun verstehe ich aber nicht die Aussage, man solle y'(1) und z'(1) berechnen. Was genau ist überhaupt mit y' und z' gemeint ?
Ich würde mich über Hinweise freuen :)
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Conny42
Senior 
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 155
 | Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-01
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Huhu EuskiPeuski,
was mit "eindeutig auflösbar" gemeint ist, hast du richtig verstanden. Du musst hier aber nicht explizit nach y und z auflösen, du kannst zeigen, dass die Voraussetzungen vom Satz über implizite Funktionen erfüllt sind und ihn anwenden.
y und z können dann in einer Umgebung des Punktes (1,-1,1) als Funktionen von x geschrieben werden, also meint y' bzw. z' die Ableitung von y bzw. z nach x und der Satz über implizite Funktionen sagt dir auch, wie diese Ableitungen berechnet werden können.
Liebe Grüße,
Conny
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EuskiPeuski712
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 91
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01
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Erst einmal danke dir für die schnelle Antwort.
Ich konnte jetzt begründen, dass die Funktion auflösbar ist und habe eine Funktion g(x)=(y,z) gefunden.
Nun habe ich die Formel für g'(x) angewandt und erhalte:
g'(x)= -(\pd\ _x (x.g(x)))/(\pd\ _y,z F(x,g(x)))
g'(x)=(-y(x^3-z^3)/(x(y^3-z^3));z(x^3-y^3)/(x(y^3-z^3))
Muss ich die Ableitung von g dann im entsprechenden Punkt (1,-1,1) untersuchen ?
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Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 155
| Beitrag No.3, eingetragen 2020-07-01
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Huhu EuskiPeuski,
\quoteon(2020-07-01 18:51 - EuskiPeuski712 in Beitrag No. 2)
Nun habe ich die Formel für g'(x) angewandt und erhalte:
g'(x)= -(\pd\ _x (x.g(x)))/(\pd\ _y,z F(x,g(x)))
g'(x)=(-y(x^3-z^3)/(x(y^3-z^3));z(x^3-y^3)/(x(y^3-z^3))
\quoteoff
Die Formel für $g'(x)$ ist
$g'(x) = -(D_{(y,z)}F(x,g(x)))^{-1} D_x F(x,g(x))$ (mit $F(x,y,z) = (x^3+y^3+z^3-1,xyz+1)$),
und da $D_{(y,z)}F$ eine Matrix ist, solltest du das nicht als Bruch schreiben. Dein Ergebnis stimmt, du solltest nur noch auf der rechten Seite dazu schreiben, dass an der Stelle $(x,y,z)=(x,g(x))$ ausgewertet wird. Um $g'(1)$ zu berechnen, musst du nun an der Stelle $(1,g(1))=(1,-1,1)$ auswerten.
Liebe Grüße,
Conny
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