Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel
Mathematik » Stochastik und Statistik » Unabhängig und identisch verteilt vs. abhängig und identisch verteilt
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Unabhängig und identisch verteilt vs. abhängig und identisch verteilt
MAlipe
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.07.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2020-07-01


Hallo zusammen.

1) Sei $X_1, \dots, X_n$ unabhängig und identisch verteilt (iid). Oft lese ich in dem Zusammenhang, dass $E(X_i)=E(X_1)$ bzw. $\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_1) =\frac{1}{n}n E(X_1)=E(X_1),$ da wir iid haben. Aber eigentlich reicht doch dafür die "identisch verteilt" Argumentation richtig? Selbst wenn die $X_i$'s abhängig wären, würde $E(X_i)=E(X_1)$ gelten?

Da wo die Unabhängigkeit/Abhängigkeit eine Rolle spielt, ist, wenn man die Summe aus der Varianz rausziehen möchte:

$Var(\sum_{i=1}^n X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov(X_i,X_j).$
Aber auch hier würde aufgrund der "identisch verteilt" Eigenschaft wieder
$\sum_{i=1}^n Var(X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_1)= n Var(X_1)$ gelten.

Habe ich das richtig verstanden oder ist irgendwo ein Gedankenfehler?

2) F sei die Verteilungsfunktion der X's.
Sind dann die X's identisch verteilt?





Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1788
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2020-07-01


Hallo MAlipe und Willkommen!

2020-07-01 18:49 - MAlipe im Themenstart schreibt:

1) Sei $X_1, \dots, X_n$ unabhängig und identisch verteilt (iid). Oft lese ich in dem Zusammenhang, dass $E(X_i)=E(X_1)$ bzw. $\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_1) =\frac{1}{n}n E(X_1)=E(X_1),$ da wir iid haben. Aber eigentlich reicht doch dafür die "identisch verteilt" Argumentation richtig? Selbst wenn die $X_i$'s abhängig wären, würde $E(X_i)=E(X_1)$ gelten?


Ja, alles richtig.

2020-07-01 18:49 - MAlipe im Themenstart schreibt:

Da wo die Unabhängigkeit/Abhängigkeit eine Rolle spielt, ist, wenn man die Summe aus der Varianz rausziehen möchte:

$Var(\sum_{i=1}^n X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} Cov(X_i,X_j).$
Aber auch hier würde aufgrund der "identisch verteilt" Eigenschaft wieder
$\sum_{i=1}^n Var(X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_1)= n Var(X_1)$ gelten.


Auch das ist richtig. Du kannst aber nur \(Var(\sum_{i=1}^n X_i)= \sum_{i=1}^n Var(X_i)\) folgern, wenn die \(X_i\) paarweise unkorreliert sind (was ja insbesondere dann der Fall sind, wenn sie paarweise unabhängig sind und das ist wiederum insbesondere dann der Fall ist, wenn \(X_1,..., X_n\) unabhängig sind).

2020-07-01 18:49 - MAlipe im Themenstart schreibt:

2) F sei die Verteilungsfunktion der X's.
Sind dann die X's identisch verteilt?


Die \(X_i\) sind gleichverteilt genau dann, wenn die jeweilige Verteilungsfunktion bei alle gleich ist, also ja



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MAlipe
Neu Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 01.07.2020
Mitteilungen: 2
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-07-01


Hallo Kampfpudel,

vielen Dank für deine Antwort und die Erklärungen! Jetzt fühle ich mich sicherer bei dem Thema.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MAlipe hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.
MAlipe wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]